空间向量与空间角 高三数学二轮复习专题

空间向量与空间角考情预览

明确考向1.[异面直线所成的角与线面角](多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则(

)A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°√√√解析:如图,连接B1C,BC1,因为DA1∥B1C,所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角,因为四边形BB1C1C为正方形,则B1C⊥BC1,故直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确;连接A1C,因为A1B1⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,则A1B1⊥BC1,因为B1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1C,又A1C⊂平面A1B1C,所以BC1⊥CA1,故B正确;2.[线线平行与二面角](2023·新课标Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.(1)证明:BD⊥PA;所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,因为PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PD⊥BD,又PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,所以BD⊥平面PAD,又因为PA⊂平面PAD,所以BD⊥PA.(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.考法聚焦

讲练突破热点一异面直线所成的角典例1

(2023·辽宁丹东统考二模)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,平面CDD1C1⊥平面ABCD,AD⊥DC,二面角D1-AD-C的大小为120°,E为棱C1D1的中点.(1)证明:CD⊥AE;(1)证明:因为平面CDD1C1⊥平面ABCD,平面CDD1C1∩平面ABCD=DC,AD⊥DC,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面CDD1C1,又D1D⊂平面CDD1C1,所以AD⊥D1D,所以∠D1DC是二面角D1-AD-C的平面角,故∠D1DC=120°.连接DE,C1D,由题意得四边形CDD1C1为菱形,所以DD1=C1D1,∠C1DD1=60°,所以△C1DD1为等边三角形,又E为棱C1D1的中点,则DE⊥C1D1,因为C1D1∥CD,从而DE⊥CD.又AD⊥CD,DE∩AD=D,DE,AD⊂平面AED,所以CD⊥平面AED,又ED⊂平面AED,因此CD⊥AE.(2)点F在棱CC1上,AE∥平面BDF,求直线AE与DF所成角的余弦值.热点训练1

(2023·天津模拟)如图所示,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AE⊥底面ABCD,AE∥CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.(1)求证:BF∥平面ADE;(1)证明:因为AE∥CF,AE⊄平面BFC,CF⊂平面BFC,所以AE∥平面BFC,因为AD∥BC,同理可得AD∥平面BFC,又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,所以平面BFC∥平面ADE,因为BF⊂平面BFC,所以BF∥平面ADE.(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值.热点二直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则(1)证明:A1C1⊥A1B;(1)证明:取AC的中点D,连接A1D,BD,由A1A=A1C,AB=BC,则AC⊥A1D,AC⊥BD,又A1D,BD⊂平面A1BD,A1D∩BD=D,故AC⊥平面A1BD,因为A1B⊂平面A1BD,故AC⊥A1B,又AC∥A1C1,则A1C1⊥A1B.(2)求直线A1C1与平面A1CB所成的角.(2)利用方程思想求法向量,计算易出错,要认真细心.(1)求证:平面MCE⊥平面ABDE;(2)求直线CD与平面MCE所成角的正弦值.热点三平面与平面的夹角设平面α,β的法向量分别为u,v,二面角α-l-β的平面角为θ,则典例3

(2022·新高考Ⅱ卷)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中点.(1)证明:OE∥平面PAC;(1)证明:连接BO并延长交AC于点D,连接OA,PD,因为PO是三棱锥P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,又AO,BO⊂平面ABC,所以PO⊥AO,PO⊥BO,又PA=PB,所以△POA≌△POB,即OA=OB,所以∠OAB=∠OBA,又AB⊥AC,即∠BAC=90°,所以∠OAB+∠OAD=90°,∠OBA+∠ODA=90°,所以∠ODA=∠OAD,所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以O为BD的中点,又E为PB的中点,所以OE∥PD,又OE⊄平面PAC,PD⊂平面PAC,所以OE∥平面PAC.(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.两向量夹角的范围是[0,π],二面角的平面角与其对应的两法向量的夹角之间不一定相等,而是相等或互补的关系,