等差数列的前n项和公式+教学设计 高二下学期数学人教A版（2019）选择性第二册

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期秋季课题等差数列的前n项和公式（第一课时）教科书书名：数学选择性必修第二册教材出版社：人民教育出版社教学目标引导学生结合等差数列的特征，探究等差数列的前n项和公式推导方法.会用等差数列前n项和公式解决一些简单问题.教学内容教学重点：探究等差数列的前n项和公式推导方法.教学难点：为了避免对项数的奇偶讨论，从“首尾相加”到“倒序相加”的转化.教学过程新课引入高斯小故事：很多同学都听说过这样一个故事，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：当其他同学忙于把100个数逐个相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：这是个等差数列求前100项和的问题.思考：1.高斯的求和方法，利用了等差数列怎样的性质？2.我们能参考高斯求数列和的方法，推导等差数列中的公式吗？设数列，那么高斯在计算中利用了高斯的计算方法可以表示为等差数列性质的应用，使不同数的求和问题转化成了相同数的求和，从而简化了运算.将上述方法推广到一般，可以得到：当是偶数时，有于是有当为奇数时，有所以，对任意正整数都有思考：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？如果对公式做变形，可得相当于两个相加，结果变成个相加.受此启发，我们得到下面的方法：将上述两式相加，可得所以.探究：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？公式推导对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示：两式相加，得由此得到等差数列的前项和公式（1）把等差数列的通项公式代入，可得（2）思考：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？公式应用已知数列是等差数列.若求；若求；若求.设计意图：熟悉等差数列前项和公式；熟练等差等差数列前项和公式与等差数列基本量之间的关系.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？设计意图：让学生体会，等差数列的前项和公式是以为变量的函数关系，从函数视角看等差数列前项和公式，公式中含有和两个参数.给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定.逆向探究将等差数列前项和公式变形，可以得到即，的形式.探究1.若数列的前项和公式，则数列是不是等差数列？探究2.若数列的前项和公式，则数列是不是等差数列？设计意图：让学生理解等差数列前项和也是关于的函数关系，并能够进一步明确其函数关系的性质特征.应用练习在等差数列中.已知，，求.已知，，求.已知，，求.已知，，，求和.解：（1）.（2）.（3）设，由，可得解得所以.（4）由解得.设计意图：让学生熟悉等差数列前项和的多种公式形式，并从函数视角理解等差数列前项和与通项公式与各基本量之间的关系.小结倒序相加法求和的适用情境等差数列的前项和的各种形式等差数列的前项和的各种不同形式所强调的等差数列的基本量或函数特布置作业完成作业练习.备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

课程基本信息学科数学年级高二学期秋季课题等差数列的前n项和公式（第二课时）教科书书名：数学选择性必修第二册教材出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教学目标1. 应用等差数列的前n项和公式，求解实际生活中的简单问题.2. 会用等差数列前n项和公式研究等差数列的一些性质.教学内容教学重点：由等差数列的前n项和公式探究等差数列的性质.教学难点：应用等差数列的前n项和公式的性质求解相关问题.教学过程复习回顾等差数列的前n项和公式典例解析某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数构成数列，其前n项和为.根据题意，数列是等差数列，公差为2，且.由公式可得因此，第1排应安排21个座位.设计说明：结合实际问题，抽象出等差数列中的基本量，恰当选择等差数列前n项和公式，求解等差数列的首项，进而解决实际问题，培养学生的数学抽象和数学建模素养.例2.（1）设是等差数列的前n项和，若，则____________.（2）已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.（1）由等差数列前n项和公式，思考：你能由此得到等差数列中的一般性结论吗？（2）解法1：因为所以，当n取最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30.解法2：由，得，所以是单调递减数列.又由，可知：当时，；当时，；当时，.所以.也就是说，当或时，最大，最大值为30.设计意图：让学生体会，在不同情境下，对公式应用的不同选择.从不同视角看等比数列的前n项和公式.应用练习练习1.若等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为多少？分析：已知，求变量太多，不利于运算求解；已知，求利用等差数列的性质，可以求得.思考：你能由此得到等差数列中的一般性结论吗？是等差数列.已知，求联立方程，解得，进而求得.思考：你能由此