2023届北京市顺义区第一中学高三年级上册期中考试数学试题

2023届北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1.已知集合M=,N={X*44},那么MCN=()

A.[-2,-3)B.(-1,2]

C.[2,3)D.[-2,3)

【答案】B

【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合N,再由集合交集的定义求解即可.

【详解】因为集合用=何一1<%<3},/V={X|X2<4}={X|-2<X<2},

所以McN={x[-1<X42}.

故选:B.

2.复数弃1=()

4-31

A12.「12.112.c112.

A.----1B.—I—1C.-------1D.1—1

55552525255

【答案】B

【分析】利用复数运算法则直接求解即可.

【详解,当-=丁=「尸

故选：B.

3.己知{4}是公差为d的等差数列，S“为其前〃项和.若邑=34+3,则”=()

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】C

【解析】根据{%}是公差为d的等差数列，且53=3《+3,利用等差数列的前"项和公式求解.

【详解】因为{4}是公差为4的等差数列，且$3=34+3,

所以3。]+3d=3al+3,

解得d=l,

故选：C

4.已知向量。=(2/)，6=(—2/)且。，(2。一项则实数上=()

A.-14B.-6C.6D.14

【答案】D

【分析】根据题设条件求得2a-6的坐标，再根据。_1（2。-可，得到关于女的方程，解之即可.

【详解】•••:=（2,1）,6=（-2,&）,

2々-。=（6,2-左）,

又：Q_L（2〃一彼），

工2x6+1x（2—&）=0,解得攵=14.

故选：D.

5.设a,b是实数，则“a>b”是〈尹的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】通过列举反例即可说明充分性和必要性.

【详解】当时，有a>b,19-=1>7=-1,

ah

故不能推出!</,

当=1时，有,<4，但a=—l<b=l,

ab

故!〈:不能推出

故“a>〃”是的既不充分也不必要条件

故选：D.

6.将函数y=2cosx的图象向右平移TT］个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来

的!（纵坐标不变），得到的函数解析式为（）

A.j=2cos2xB.^=-2cos2xC.y=-2sin2xD.y=2sin2x

【答案】D

【分析】利用诱导公式以及函数丫=4411（3+0）的图象变换规律，可以求得变换后的函数的解析式.

【详解】将函数y=2cosx的图象向右平移］个单位长度，

可得函数>=2（：0$0-9=2367）=2$出》的图象；

再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变），

可得到的函数y=2sin2x的图象,

故选：D.

7.设函数/(x)=xe",则()

A.户-1为了⑶的极大值点且曲线y=f(x)在点(OJ(O))处的切线的斜率为1

B.x=l为/(x)的极小值点且曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线的斜率为2e

C.户-1为f(x)的极小值点且曲线y=f(x)在点(O,/(O))处的切线的斜率为1

D.4-1为/(x)的极小值点且曲线y=/(x)在点(0，/⑼)处的切线的斜率为2e

【答案】C

【分析】对函数/5)求导，求出函数f(x)的单调性，进而可得出其极值点，由/(0)=1,可得到在

点(OJ(O))处的切线斜率.

【详解】解：因为f(x)=x",所以尸(x)=e*+xe*=(x+l)e",

令广(幻>0,解得x>—l,令/'(x)<0,解得x<—1,

/(%)在(f,-1)上单调递减，在上单调递增,

,x=—1是函数/(A)的极小值点,

又/(0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,7(0))处的切线斜率为1,

故选：C.

8.若函数/(x)=1-2x-a,当时，/(x)40恒成立，则。的取值范围()

x3

A.(-oo,3]B.[3,+oo)C.bg'gD.g'+8)

【答案】D

【分析】依题意，当:时，a2±-2x恒成立，令g(x)=l-2x,则a?g(x)111ax,利用

3xx3

导数求出g(x)的单调性，进而求得最值得解.

【详解】解：依题意，当时，恒成立，

3

令g(x)=J-2x，x>|,则又8'(幻=£-2=-2(9+1]<0,

•••g(X)在!，+8)上单调递减，

(M?2525

•••a*g(x)1rax=g(jJ=9-§=不，即此三

故选：D.

9.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的0倍，且一个顶点的坐标为（2,0）,则双曲线的标

准方程为（）

A.—-^-=1B.=1C.x2-^-=l

D.=1

444444

【答案】A

【分析】根据条件列关于“，b,c的方程组求解即可.

■>2

【详解】设双曲线的标准方程为=-口=1,

b~

'la+2b=2y/2c

a=2

由已知得a=2,解得

b=2'

a2+b2=c2

所以双曲线的标准方程为t-《=1

44

故选：A.

10.过点的直线/与圆C:-2=4交于A、B两点，C为圆心，当NACE最小时，直线

/的方程为（）

A.2x+y+2=0B.2x+y-2=0C.2x-4y+3=0D.2x+4y-3=0

【答案】c

C（l,0）,R=2.

取A8的中点为M,连接CM,则CMdJ且|CW|«|CH，

而8s4用当且仅当即,时等号成立,

故NACB最小时，CPU,此时"”二「=-2,故直线/的斜率为;,

-----12

2

故直线/的方程为：丫=3口-£|+1,即2x-4y+3=0,

故选：C.

二、填空题

11.在/BC中，A,B,C分别是三边“，％,c所对的角，a=15,〃=10,A=（,sinB=.

【答案】走##

33

【分析】利用正弦定理可求sin8.

10=15厂厂

【详解】由正弦定理可得二=三，故而万=一^,故sin8=2=',

sin8sin4sin-153

故答案为：且.

3

12.设函数/。）=以3+法+4在x=2处取得极小值，曲线y=/（x）在点（3J（3））处的切线与直线

y=-卜互相垂直，则函数产fW在（3,0］上的最大值为.

【答案】y

【分析】对f（x）求导，根据题意建立关于。，匕的方程组，解出。，匕的值，进而利用导数可得到答

案.

/,（2）=12a+Z?=01

【详解】解」（…也，依题意，;⑵"居"d——

解得3,经检验，符合题意,

b=-A

/（x）=^x3-4x+4,f\x）=x2-4=（x+2）（x-2）,

易知，当尢«­,-2）时，ru）＞（）,/⑴单调递增，当工«—2,0］时，ru）＜（）,/⑴单调递减,

128

•••函数y=JU）在（YO,0］上的最大值为f（-2）=-x（-8）+8+4=—.

OQ

故答案为：—.

13.设〃，。，c是单位向量，且〃.力=0，则（。-°），色-。）的最小值为.

【答案】1-V2.

【分析】设“与c的夹角为。，根据已知，利用向量的数量积的运算将（a-c）•伍-c）化为关于。的

三角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值.

【详解】ab=O>且a,b,c均为单位向量,

|a+Z>|=yj(^a+bj=\la2+b2+2a-b=Vl2+12+2x0=V2>

mi=i,c2=1,

'.^a-cy^b-c^=a-b-[a+b^c+c'=\-(a+byc.

设a+。与c的夹角为0,

则(a_c).._c)=[_|a+Mc|cose=l_0cose.

故(a-4).仅一c)的最小值为i一夜.

故答案为：1-夜.

三、双空题

14.数列｛6,｝是公差为-2的等差数列，记■“｝的前〃项和为靠,且一双,七成等比数列，则

ai~;S“=-

【答案】8-n2+9n

【解析】由等比数列的性质得解出q的值，再结合等差数列的前"项和公式可得结果.

【详解】因为数列｛““｝是公差为-2的等差数列，4gM成等比数列，

所以4；=44，即（4-4）2=4（4-6）,解得4=8；

所以S“=Sn+^—~—x（-2）=-n2+9〃,

故答案为：8,-n2+9n.

2*—1,x<〃

15.设函数/（x）=J2°八，贝IJ当a=l时，求/⑶的最小值为________;若小）恰有

4（x-3x4-2Lx>«

两个零点，则实数。的取值范围是.

【答案】-1（―,0]51，2]

【分析】当”=1时，分别求解两段函数的最小值，取最小值中的最小者可得了（X）的最小值：分别求

丫=2*-1与丫=412―3尢+2）的零点，再对。分类讨论得答案.

【详解】解：若a=1,则当x<l时，/（x）=2'-l<2-l=l；

当时，/（幻=41-|）一1,当》=；时，/（x）的最小值为-1.

・••Ax）的最小值为-1；

由2*-1=0,解得x=0；

由4y-3x+2)=0,解得x=l或x=2.

若440,则函数/(x)恰有2个零点，分别为1,2,符合题意；

若0＜。41,则函数/(*)有3个零点，分别为0,1,2,不符合题意：

若则函数/(x)有2个零点，分别为0,2,符合题意；

若。＞2,则函数/0)有1个零点0,不符合题意.

综上所述，满足题意的实数。的取值范围是(e,0]u(l,2].

故答案为：-1；(-»,0]u(l,2].

四、解答题

16.已知函数〃x)=asin2x+2cos2x-l,再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(I)f(x)的最小正周期；

(II)“X)的单调递增区间.

条件①：/(X)图像的对称轴为x=(:条件②：=条件③：a=6.注：如果选择多个条件

分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(I)答案见解析；(II)答案见解析.

【解析】选①(I)逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用辅助角公式化简得/(x)=，77isin(2x+*),

根据对称轴求得夕的值，进而求得。的值，得到函数的解析式，求得最小正周期；

(II)根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得/(X)的递增区间.

选②(I)逆用余弦的二倍角公式降累得到〃x)=asin2x+cos2x,根据选择的条件求得〃的值，得到

函数的解析式，并利用辅助角公式化简，然后求得f(x)的最小正周期；

(II)根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得"X)的递增区间.

选③逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用辅助角公式化简得到f(x)=2sin(2x+B)

然后求得/(X)的最小正周期；

(II)根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得/(X)的递增区间.

【详解】选①(/(X)图像的一条对称轴为X=?)

O

解：(I)/(x)=asin2x+2cos2x-1

Vo2+lsin(2x+M(其中tan°=一)

因为/(x)图像的一条对称轴为X=J

O

所以/(—)=7a2+1sin(-+0)=±>]a2+1

84

艮|]有?+0=A7r+g,Z£Z

所以9=kr+工,AwZ

所以tane=tan(Z/r+—)=tan—=1=—

44。

故f(x)=①sin(2x+f)

2万2zr

所以/“)的最小正周期为：T=~~-=—=71

⑷2

JTTT7T

(II)——+2%乃W2x+—W—+2&乃,&eZ

242

所以fM的递增区间为［-*+k),g+攵加,keZ

88

选②(叼=1)

解：(I)/(x)=dsin2x+2cos2x-l

2427r

所以/(X)的最小正周期为：T=—=—=^

\co\2

ITTTTT

(II)——+2k/rV2x+—W2k兀，kwZ

242

所以/(X)的递增区间为［-『kW+EkeZ

oo

选③(〃=G)

解：(I)/(x)=73sin2X+2COS2X-1

所以/(X)的最小正周期为：T=f=9="

⑷2

7TTTIT

(H)——+2k7V<2x-v—<—+2k7r,keZ

262

所以fM的递增区间为［-1+k;r】+k初keZ

36

【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，关键是逆用余弦的二倍角公式降基后，

并使用辅助角公式化简.

17.已知他“｝是各项均为正数的等比数列，其前”项和为S,,,4=2,$3=14.数列也｝满足伪=5,

4=3,且｛2-%｝为等差数列.

(I)求数列｛4｝和｛2｝的通项公式；

(II)求数列也,｝的前”项和却

n+l2

【答案】(1)。“=2"，b“=2"-4n+7,,jeN\(ID7；,=2-2n+5«-2,«eN*.

【分析】(I)设公比为4,公差为d,再利用基本量法求解即可.

(H)由(I)可知勿=2"-4〃+7,再用分组与等差等比数列求和的方法即可.

【详解】解：(I)设等比数列等J的公比为的等差数列等,-4｝的公差为的

因为q=2,$3=4+/+%=14,所以°?+4-6=0.

解得4=2或q=-3(舍).

又因为4-4也-%也一生成等差数列，

所以也-4)=(4-《)+2”.

解得4=-4.

所以4=2"也=2"-4〃+7,〃wN*.

(11)由(I)知也=2"-4”+7.

因此数歹|J｛"｝的前〃项和为1=(2+2?++2")—4(1+2++〃)+7〃，

所以，数列也｝的前“项和为骞=2向-2/+5”-2,〃eN*.

【点睛】本题主要考查了基本量求解数列的方法,同时也考查了等比等差数列求和的公式等.属于中档

题.

18.在［ABC中，角48C的对边分别为a,h,c,且角AB,C成等差数列.

(I)若匕=\/?^,。=3,求边c的值；

(II)设「=sinAsinC,求f的最大值.

3

【答案】(I)4：(II)—.

4

【详解】试题分析：(D由AB,C成等差数列求得B的值，再由余弦定理求得C的值；(II)因为

A+C=T，利用两角和差的正弦公式化简函数t的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得

t的最大值.

试题解析：(I)因为角A，B,C成等差数列，所以28=A+C,

jr

因为A+B+C=乃，所以B=§.........................................2分

因为8=V13?,。=3,b2=a2+C2-2〃ccosB,

所以c2-3c-4=0,

所以c=4或c=T(舍去).

(II)因为A+C=与，

所以r=sinAsinf--4)=sinA—cosA+—sinA

I3JI2-)

6・1(l—cos2A111.(万)

4212J4216J

因为0<A<多，所以一9<24-9<§,

3666

所以当24.=],即A4时，.有最大值

【解析】三角函数的基本性质.

19.已知函数〃x)=gx2+(a-2)x-2机Inx(/«<0).

⑴当〃?=-1时，求〃x)的单调增区间；

(2)当机4-；时，求证：f(x)-〃犹在(0,+8)上是增函数；

(3)求证:当-Iv/nvO时,对任意xe[l,+8),/(x)>2m(l-ln2)-2.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析;

(3)见解析.

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性；

(2)利用判别式可判断导数的符号，从而可证函数在(0,+8)上是增函数:

(3)结合(1)的讨论可求函数的最小值，从而可证不等式成立.

【详解】(1)/,(%)=口伫空72e=(廿〃以上2),

XX

当m=T时，尸(力二(1):,

当Ovxvl或x>2时，元)>0；当lvxv2时，r(x)<0,

故〃力的增区间为(0,1),(2,+助,减区间为(1,2).

(2)设g(x)=/(x)-mr,则g，(x)二厂+(〃L2)X2,/二/旦二网

XX

当时，△=4+8析40,故_?一2;(:-2520恒成立且不恒为零，

故g'(x)20在(0,+功上恒成立且不恒为零，故g(x)在(0,+8)上为增函数.

⑶r(x)=a+?(Tm,

当x>2时，f^x)>o；当l<x<2时，r(x)<0,

故〃x)在(1,2)上为减函数，在(2,+8)上为增函数，

故在［1,+oo)上，/(x)n,n=/(2)=2+2(?n-2)-2/«ln2=2w(l-ln2)-2,

故"x)22〃7(l-ln2)-2成立.

22

20.已知椭圆C：£+£=1(4>沙>0)的长轴长为4,且离心率为g.

⑴求椭圆C的方程；

(2)设过点尸(1,0)且斜率为k的直线/与椭圆C交于A,B两点，线段A3的垂直平分线交x轴于点

\AB\

D求证：了总为定值.

\DF\

v22

【答案】(I)土+乙v=1

43

(2)证明见解析.

【分析】(1)求出。力后可得椭圆的方程；

(2)设直线/的方程为y=k(x-l),用斜率七表示|筋|,|。回|后可证涡为定值.

【详解】(1)由题设可得。=2,

设椭圆的半焦距为C,则£=故c=l,故方=石，

a2

故椭圆的方程为：—+^=1.

43

(2)当2=0时,l：y=0,此时|AB|=4,而0(0,0),故同=1,故粽=4.

当“H0时，直线/的方程为y=乩♦1),A(x，yJ,B(孙％)，

由‘可得(3+4*卜2-85"+4”-12=0，

此时A=64左，一4（3+4人2）（4&2—12）=144+1MA:?>0,

%+x2_4k2一+%二3k

2飞+“2-3+4公'

J144+144及212（1+二）

且|AB|=Jl+rx

3+4公3+4公

14公3k

AB的中垂线的方程为：、=一忆

3+4/

k13（1+用

令y=0,贝！|/=故|DF|=占一1