第23讲 任意角（教师版）-高一数学同步讲义

第01讲任意角

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课程标准课标解读

理解并掌握正角、负角、零角的概念；

通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用集

掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的

合的形式表示任意角.

表示方法及判定方法.

X%：知识精讲

覆

£'知识点任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.我们规定：按逆

时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,

我们称它形成了一个零角.

(2)象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这

个角是第几象限角.具体表示如下：

象限角角的表示

第一象限的角{a|^360°<a</l-360o+90o,A：eZ}

第二象限的角{]依360。+90。<6(<k360。+180。代2}

第三象限的角{a[A>360。+180yx<"360。+270。4£Z}

第四象限的角{1依360。一90。<1<儿360。法£2}

(3)轴线角：若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.具体表示如下:

轴线角角的表示

终边在X轴非负半轴上的角{a|a=2E,k£Z}

终边在》轴非正半轴上的角{a|a=(2A-l)7i,ZWZ)

终边在y轴非负半轴上的角{a\a=2kn+

终边在），轴非正半轴上的角{a=2E—3£Z}

终边在X轴上的角{a\a=kit,k^Z]

终边在y轴上的角{a\a=kTt+^-,k^Z}

终边在坐标轴上的角{a\a=——,2£Z}

2

（4）终边相同的角：所有与角a终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合S^\p=a+k-360°,k^

Z}={0£=a+2E,ZdZ}.

【即学即练1】下列各角中与225角终边相同的是（）

A.585B.315

C.135D.45

【答案】A

【解析】因为585°-225°=360°，所以585与225终边相同.故选A.

【即学即练2】与T20。终边相同的角是（)

A.-120°B.420°

C.660°D.280°

【答案】C

【解析】与-42（）。角终边相同的角为：/2-360°-420°（/7eZ）,当〃=3时，3x360。一42（）。=660。.故

选C.

【即学即练3】510是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】由于510=360+150，而150位于第二象限，故510是第二象限角.故选B.

【即学即练4】在集合A=｛a|a=120°+h360°,A：€Z｝中，属于一360°〜360。之间的角的集合是

【答案】｛120°,-240°｝

【解析】由于。=120°+匕360°,令k=—T，得&=—240，令人=0，得c=120.令人取其它整数值

时，得到的角不在一360。〜360。之间，故所求角的集合为｛120。,一240。｝.

【即学即练5】在148°,475°--960°--1601°,—185°这五个角中，第二象限角有个.

【答案】4

【解析】90<148<180，所以148是第二象限角.475=360+115是第二象限

角.-960=-3-360+120是第二象限角.-1601=-5-360+199不是第二象限

角.一185=-1-360+175是第二象限角，故第二象限角有4个.

由①②，得a=15°,0=65。.

【即学即练6】下列说法中正确的序号有.

①一65。是第四象限角；②225。是第三象限角；

③475。是第二象限角；④一315。是第一象限角.

【答案】①②③④

【解析】由题意，①-65是第四象限角，是正确的；②225是第三象限角，是正确的；

③475=360+115，其中115'是第二象限角，所以475为第二象限角是正确的；

@-315=-360+45，其中45是第一象限角是正确的，所以正确的序号为①②③④.

【即学即练7】时针走过1小时50分钟，则分针转过的角度是.

【答案】-660

【解析】:50+60=2,则360°X2=300。，时针都是顺时针旋转，二时针走过1小时50分钟，分针

66

转过的角的度数为一660。，故答案为-660。.

考法01

任意角

角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

角的表示：如图，

(1)始边：射线的起始位置

(2)终边：射线的终止位置OB；

(3)顶点:射线的端点O；

(4)记法：图中的角可记为“角a”或2a”或“/A08”或“/O”.

【典例1］求得适合不等式一720。9<360。的元素£.

【详解】

与a=-l910。终边相同的角的集合为{河夕=~360。一1910。，k&Z}.

V-7200<^<3600,即一720°S%3600—1910°<360°(&eZ),：.3—<k<6—(k&Z),故取k=4,5,6.

3636

人=4时，£=4x360°—1910°=—470°；

无=5时,/?=5x3600-1910°=-110°；

%=6时，/(=6x3600-1910°=250°.

【点睛】

该题考查的是有关角的概念的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的集合，终边确定，落在某个范围内

的角的大小的确定，属于简单题目.

D.因为钝角的取值范围为兀)，所以钝角一定是第二象限角，所以D正确.故选D.

【即学即练8】下列说法正确的是()

A.第一象限角一定小于90。

B.终边在X轴正半轴的角是零角

C.若。+月=M360°(Z:eZ),则a与夕终边相同

D.钝角一定是第二象限角

【答案】D

【解析】A.第一象限角范围是2E<x<2E+'7T,ZreZ,所以不一定小于90。，所以A错误，

2

B.终边在x轴正半轴的角a=2E#eZ.不一定是零角，所以B错误，

C.若。+尸=人360°,则a=h360°-6,々eZ.则a应与一£终边相同，所以C错误，

D.因为钝角的取值范围为(微,兀)，所以钝角•定是第二象限角，所以D正确.故选D.

【即学即练9］自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是

_____________度.

【答案】-540。

【解析】因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿.而小链轮有24齿，故小链轮转至=3周，一周为360。,

242

3

而大链轮和小链轮转动的方向相反，故小链轮转过的角度为-360。、一=540。，故答案为：-540。.

2

【名师点睛】

(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向.

(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角a”或“/a”可以简记成“a”.

(3)当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；但当角的始边相同时，若终边也相同，则角不一定

相等.

考法02

角的分类

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向一一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定:

名称定义图形

正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角

负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角q

零角一条射线没有作任何旋转

0~7（B）

这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.

【典例2】已知9为第二象限角，那么匕是（）

3

A.第一或第二象限角B.第一或四象限角

C.第二或四象限角D.第一、二或第四象限角

【答案】D.

【解析】本题是通过给定角的象限情况，来判断此角的整数倍可整分后的角的位置问题.

法一：已知9为第二象限角，所以有2匕r+勺<e<2Qr+4Mez，

2

4HM2,7i02,7i

得到一k7i~——<一<—k兀T——,k&z<

36333

n0.

讨论：当左=3n（nez附，2n兀4-—<—<2n/v-i——,nGz,此时一位于第一象限；

6333

5%00

当k=3n+1（〃Gz）H寸,2n兀+—<—<2〃4+乃,〃ez，此时一位于第二象限；

33

3兀05兀0

当k=3n+2（〃Gz）0寸，<：-<2/i^+—,/tez.此时一位于第四象限;

333

法二：可以用单位圆来上画分角位于的象限:

由图可知一位于一、二、四象限.

3

【即学即练10】下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90。的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；

④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60。；⑥若。=5,则a

是第四象限角.其中正确的题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】

结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.

【详解】

对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角.故①正确；

对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角.故②错误；

对于③：-359显然是第一象限角.故③错误；

对于④：135是第二象限角，361是笫一象限角，但是135<361,故④错误；

对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；

对于⑥：因为L%/X57.3，所以5，%/“5x57.3=286.5,是第四象限角.故⑥正确.

综上，①⑥正确.

故选：B.

【即学即练11］时针走过2时40分，则分针转过的角度是（）

A.80°B.-80°

C.960°D.-960°

【答案】D

2?

【解析】；40:60=—,.1.360ox-=240°,由『时针都是顺时针旋转，，时针走过2小时40分，分针转过的

33

角的度数为-2*360。-240。=960。，故选D.

【名师点睛】（1）正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的

射线按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的.

（2）高中阶段所说的角实际上是初中所学概念“由一点出发的两条射线组成的图形叫做角''的推广.对于角

的形成过程，既要知道旋转量又要知道旋转方向.

（3）角的概念推广后，角度的范国不再限于0。~360。.

(4)正常情况下，如果果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角.

考法03

象限角、轴线角、终边相同的角

(1)在平面直角坐标系中，如果角的顶点在在原点，角的始边与X轴的非负半轴重合，那么，角的终

边在第几象限，便称此角为第几象限角.

(2)轴线角：若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合S={川后a+&-360。次G

Z}={川夕=a+2E,ZGZ}.

CL

(4)确定角一5GN)终边所在象限的方法：

n

a

已知角终边所在的象限，确定一(HGN)终边所在象限的常用方法有以下两种：

n

a

一是分类讨论法.利用已知条件写出。的范围(用攵表示)，由此确定一的范围，然后对攵进行分类讨

n

n

论，从而确定一所在象限.

n

二是几何法.先把各象限均分为〃等份，再从X轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、

三、四，一、二、三、四，…则a原来是第几象限角，标号为几的区域即区终边所在的区域.

n

【典例3】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在0。<&<360。范围内，找出与

下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.

(1)750°；(2)-795°；(3)950。20'.

【答案】(1)30°,一；(2)285°,四；(3)230°20',三

【解析】(1)750°=2x360。+30°，

...在0°We<3600范围内，终边与750°角相同的角是30°角，它是第一象限角.

(2)-795°=一3x360°+285°,

，在0°Va<360°范围内，终边与-795°角相同的角是285°角，它是第四象限角.

(3)•••950。20'=2x360°+230°20',

.•.在0°Wa<3600范围内，终边与950°20'角相同的角是230。20'角，它是第三象限角.

【即学即练12】已知a锐角，那么2a是()

A.小于180。的正角B.第一象限角

C.第二象限角D.第一或二象限角

【答案】A

【解析】锐角，.•.0°<2a<180°,故选A.

【即学即练13】与马终边相同的角的集合是.

12

【答案】{川0=^+2H,keZ}

【解析】所有与角«终边相同的角连同角a在内,可构成一个集合S=(川夕=0(+%360。,左62}=(川夕=6(+2也#€2}.

【名师点睛】(1)a为任意角，‘“ez”这一条件不能漏.

(2)》360。与a中间用“+”连接，k360Jz可理解成『360。+(-a).

(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无

数个，它们相差360。的整数倍.终边不同则表示的角一定不同.

(4)角a+%720°(AGZ)与角a的终边也相同，但不能表示与角a终边相同的所有的角.

【典例4】写出如图所示阴影部分的角a的范围.

【答案】(1){«|-150°+Z:«360o<a<45o+A-360o,MZ}.

(2){a|45o+^360°<a<300°+A:«360°,k^Z}.

【解析】(1)因为与45。角终边相同的角可写成45。+Q360。，Z6Z的形式，

与-180°+30°=-150。角终边相同的角可写成-150°+Jt«360°,kGZ的形式，

所以图⑴阴影部分的角a的范围可表示为{a[-150。+心360。<底45。+h360。,k%.

(2)因为与45。角终边相同的角可写成45。+卜360。，左GZ的形式,

与360°-60。=300。角终边相同的角可写成300。+h360。，kdZ的形式，

所以图(2)中角a的范围为{a|45°+m360”aS3000+如360°,kGZ].

fii分层提分

题组A基础过关练

a

1.已知角a的终边与300。角的终边重合，则年的终边不可能在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】

先求得a的表达式，进而可得女的表达式，对上赋值，分析即可得答案

【详解】

因为角a的终边与300。角的终边重合，

Of

所以。=300。+攵360。入Z,所以］=100°+乂120。次£2,

（y

令％=0,1=100°,终边位于第二象限；

Cf

令k=L|=220°,终边位于第三象限，

（y

令％=2,1=340°,终边位于第四象限，

令k=3,&=1（乂）。+360。，终边位于第二象限

所以?的终边不可能在第一象限，

故选：A

2.若角a的终边与240。角的终边相同，则角券的终边所在象限是（）

A.第二或第四象限B.第二或第三象限

C.第一或第四象限D.第三或第四象限

【答案】A

【分析】

写出a的表达式，计算今后可确定其终边所在象限.

【详解】

由题意。=人360。+240°,所以里=hl80°+120°,k&Z,

2

当％为偶数时，2在第二象限，当”为奇数时，1在第四象限.

22

故选：A.

3.下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90。的角是锐角；④第二象限的角必

大于第一象限的角；⑤若角。的终边经过点M(0,-3),则角a是第三或第四象限角，其中错误的是()

A.③④⑤B.①③④C.①③④⑤D.②③④⑤

【答案】C

【分析】

①取特殊角：0°与360。进行判断；

②根据锐角的范围直接判断；

③取负角进行否定；

④取特殊角进行否定；

⑤取特殊角进行否定.

【详解】

①终边相同的角必相等错误，如0°与360。终边相同，但不相等；

②锐角的范围为(0°,90°),必是第一象限角,正确;

③小于90。的角是锐角错误，如负角；

④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120。是第二象限角，390。是第一象限角；

⑤若角a的终边经过点M(0,-3),则角a是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错误.

其中错误的是①③④⑤.

故选C.

【点睛】

(1)要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.

(2)角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论.

4.若角a=m・3600+60°,分=上360°+120°,(加，攵eZ),则角a与夕的终边的位置关系是()

A.重合B.关于原点对称

c.关于x轴对称D.关于y轴对称

【答案】D

【解析】a="360+60(meZ),所以a与60终边相同，4=-360+120(ZreZ),所以，与120

终边相同，又60+120=180，即终边关于y轴对称，与p终边关于y轴对称，故选D.

5.与-30。角终边相同的角的集合是（)

A.„=h360。+30。,％问B.{a|a=Jt-360°+330°,JteZ)

C.{a|a=h360°-330°MeZ}D.{a|a=h360°-260°,JteZ}

【答案】B

【分析】

根据终边相同的角的定义可得.

【详解】

-30°=330°-360°,所以与-30。角终边相同的角的集合是{a|a=h360。+330。,k^z}.

故选：B.

6.已知角a=2020°,则角a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】

求出在0°~360"内与角a终边相同的角，再判断即可.

【详解】

因为a=2020=5x360,+2200,所以角a和220°的终边相同,

因为180°<220°<270°,所以220°是第三象限角,

故选：C

7.角6（=45。+心180。，《WZ的终边落在（）

A.第一或第三象限

B.第一或第二象限

C.第二或第四象限

D.第三或第四象限

【答案】A

【分析】

利用象限角的定义判断.

【详解】

当人为偶数时，a的终边在第一象限;

当k为奇数时，a的终边在第三象限,

故选：A.

8.若a是第四象限角，则180。一。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】

根据a与-a的对称性，以及-a与180。-&的对称性，即可求出结论.

【详解】

因为a与-a关于x轴对称

而a是第四象限角，所以-a是第一象限角，

又一a与180。-。关于原点对称，

所以180。-。是第三象限角.

故选：C.

9.把一1485。转化为。+匕360°（0°4a<360。«£2）的形式是（）

A.45°-4x360°B.-450-4x360°

C.-45°-5x360°D.315O-5x360°

【答案】D

【分析】

把-1485。加」.360的整数倍即可求解.

【详解】

解：-1485°=315°-5x360°,

故选：D.

10.终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为（）

A.^-180°+135°^eZB,公180°±135。《eZ

C.k-36O°+}35°,k&ZD,加90°+135°,ZwZ

【答案】A

【分析】

直接利用角所在射线分别求解终边相同角，然后得到结果.

【详解】

解：角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：q=公360。+135。=2公180。+135。，keZ,

角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：

4=公360°+315°=（2后+1）T8O°+135°,k&Z.

故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：。=公180。+135。，keZ.

故选：A.

【点睛】

本题考查终边相同角以及轴线角的表示方法，属于基础题.

题组B能力提升练

1.（多选题）已知A=｛第一象限角｝,8=｛锐角｝,C=｛小于90°的角｝,那么A、B、C关系是（）

A.fi=AnCB.BUC=CC.BlA=BD.A=8=C

【答案】BC

【分析】

根据集合4B，C中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.

【详解】

对于A选项，AC除了锐角，还包括其它角，比如-330,所以A选项错误.

对于B选项，锐角是小于90的角，故B选项正确.

对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.

对于D选项，AB,C中角的范围不一样，所以D选项错误.

故选：BC

【点睛】

本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念.

2.（多选题）设a是第三象限角，则春所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】BD

【分析】

用不等式表示第三象限角a,再利用不等式的性质求出(满足的不等式，从而确定］的终边所在的象限.

22

【详解】

Qa是第三象限角，

.-.A:-360o+180o<a<jt-360o+270o,keZ,

则上180。+90。<?<&-180。+135。，keZ,

令k=2n,〃eZ

有6360。+9()。/<〃-360。+135。，〃eZ；在二象限；

k=2n+\,"wz,

有“•360。+270。<晟<小360。+315。，neZ；在四象限；

故选：BD.

【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象

限.

3.已知角夕的终边在直线瓦-y=0上.则角夕的集合S为.

【答案】{£IZ?=60"+〃T80",〃€Z}

【分析】

根据终边相同的角的表示法，可以分别写出终边落在射线OA上的角是60。,终边落在射线。8上的角是240°,

即可得答案：

【详解】

如图，直线&-y=0过原点，倾斜角为60。，在0。〜360。范围内，终边落在射线04上的角是60。，终边

落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA,OB为终边的角的集合分别为

S,={£|£=60°+h360°,keZ},S?={?|/7=240°+公360°,&eZ},

60°

\Ox

所以，角乡的集合

S=S|32={〃IZ?=60"+h360XeZ}u{/7|4=60°+180°+6.360°,无wZ}

={冽/?=60°+2*-180\AreZ}u{z7|^=60o+(2it4-l)-180\)leZ)

={m£=60°+〃T80，”eZ}.

故答案为:伊|£=60°+〃/80°,〃eZ}.

【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，考查运算求解能力.

4.已知白的终边与120'角的终边相同，则在-360—180。之间与最终边相同的角的集合为.

【答案】{-320s,-200\-801,40°,160°}

【分析】

根据终边相同的角的表示方法得a=120°+h360"(%eZ),再求出/=40。+h12O'(ZeZ),解不等式

-360°V40°+h120°<180°即可得解.

【详解】

；a=120"+h360°(〃eZ),

y=40+h120'(左eZ).令-360°<40°+A-120°<180°,

io7

则一UW4v」(后wZ)..・.k=-3,-2,-1,0,1.

36

将它们分别代入40"+h120"可得-320",-200°--80°.40,160’.

故答案为：{-320°,-200°,-800,40°,160°}

【点睛】

此题考查终边相同的角的表示方法，再求出］在-360'~180°之间的集合.

5.已知点P位于x轴正半轴上，射线OP在1秒内转过的角为6>(0°<6<180。),经过2秒到达第三象限,若经过

14秒后又恰好回到出发点，则。=.

【答案】偿)。或偿)。

【分析】

根据2秒到达第三象限，可确定及

结合0°<6<180。得。范围，经过14秒后又恰好回到出发点可得146=〃-360o(“wZ),联立条件即可求出.

【详解】

0°<6<180°且％++

・..必有Z=0,9O°<0<135°.

X146»=w360°(/?eZ),

Yl

.-.0=--180°,

7

n

.•.90°<--180°<135°,

7

即工<"0,

24

〃=4或5.

【点睛】

本题主要考查了角的旋转，象限角，终边相同的角，属于中档题.

C培优拔尖练

a

1.若a是第一象限角，问-a,2a,2是第凡象限角？

a

【答案】-a是第四象限角：2a是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上：?是第一、二或第三象限

角.

【分析】

根据已知写出角a的取值集合，再分别求出-a,2a,(集合即可得到答案.

【详解】

因为a是第一象限角,所以公3600<a<h360°+90°(AeZ),

所以一h360°-90°<-a<-h360°(keZ),

所以一。所在区域与(-90。,0。)范围相同，故-a是第四象限角；

2&•360。<2a<2k-360°+180°(ieZ),

所以2a所在区域与(o°,180。)范围相同，故2a是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上；

k\200<^<k•120。+30°a6Z).

zyrf

^k=3n(neZ)0.1,«.3600<y<n.3600+30°(neZ),所以是笫一象限角；

zyCf

当上=3〃+l(〃eZ)时，n-360°+120o<y<n-360o+150o(weZ),所以§是第二象限角；

ryCt

当左=3〃+2(〃eZ)时，n-360°+240°<-</?-360°+270°(neZ),所以一是第三象限角.

33

综上可知：/是第一、：或第三象限角.

【点睛】

方法点睛：若已知角a是第儿象限角，判断2a,］号等是第几象限角，主要方法是解不等式并对改进行分类

讨论，考察角的终边的位置.

2.已知角a的终边落在图中阴影部分(不包括边界)，试表示角a的取值集合.

U.

____O

45。'"一世f

A/%

【答案】5={回入360。+225。<£<匕360。+330。,4€2}或5={。|h360。-135。<0<h360。-30。,/€2}

【分析】

写出终边在边界上的角，根据由小到大，即可由不等式表示终边落在阴影部分的角.

【详解】

由题图可知,终边落在射线OA上的角构成的集合，{网夕=h360。+225。,&《2},

终边落在射线OB上的角构成的集合S2