2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一年级下册开学测试数学试题

2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册开学诊断性测试数学试题

一、单选题

1.若集合A={XX-2X43},B={X\]<X<5},则AB=()

A.(-1,1)B.[1,3]C.(1,3)D.[-1,3]

【正确答案】B

【分析】解集合A中的不等式，得到集合4再求Ac3.

【详解】不等式d-2xV3解得-14x43,则4=卜|-14彳43},

又8={x|14x<5},Ac8={x|14xM3}.

故选：B

2.命题“*0>0,-5%+6>0”的否定是()

A.Vx<0,x2-5x+6<0B.Vx>0,x2-5x+6<0

22

C.3x0<R,x0-5x0+6<0D.3x0>0,x0-5x0+6<0

【正确答案】B

【分析】由特称命题的否定的定义即可得出结果.

【详解】因为h。>0,与2-5/+6>0,所以其否定为VX>0,X2-5X+6V0.

故选：B.

3.下列四个函数中，周期为兀的是（）

X

A.y=sin—B.y=tan2x

C.y=|sin2x|D.y=5+cos2x

【正确答案】D

【分析】利用三角函数的周期性求解.

【详解】函数y=sin］周期为4兀；函数y=tan2x周期为函数y=卜出2M周期为函

数y=5+cos2x周期为£.

故选：D

4.已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为2cm2,则该扇形的周长为()

A.6cmB.3cmC.12cmD.8cm

【正确答案】A

由题意利用扇形的面积公式可得;长=2,解得R的值，即可得解扇形的周长的值.

【详解】解：设扇形的半径为Rm,则弧长/=&5，

又因为扇形的面积为2c/,

所用心=2,

解得/?=2。”，

故扇形的周长为6c力2.

故选：A.

5.下列不等式一定成立的是（）

A.若a>b,则!B.若则

C.若a>b,则D.若〃</?<（）,则储

【正确答案】C

【分析】对于ABD,举反例排除即可，对于C,利用幕函数的单调性即可判断.

【详解】对于A,令a=l,"=T,则,=显然满足。>人，但不满足上<4,故

aba0

A错误；

对于B,令。=1,6=-1,则/=1,/=1,显然满足a>b,但不满足/>〃，故B错误；

对于C,因为基函数y=d在R上单调递增，

又a>b,所以/>//,故C正确；

对于D,令。=-2,。=-1,则a?=4,“6=2,62=1,

显然满足“<6<0,但不满足〈从，故口错误.

故选：C.

6.己知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少.已知1克碳14经过5730

年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.0625克（）

A.5730B.11460C.17190D.22920

【正确答案】C

【分析】根据由题意可知再经过3个半衰期可消耗到0.0625克.

【详解】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到

0.25克,过11460年后，质量可消耗到0.125克，过17190年后,质量可消耗到40625克.

故选：C.

7.如果角夕的终边过点P(sin(-*),cosl230。｝则cos6=()

A.gB._皂C.6D.-3

223

【正确答案】A

【分析】利用诱导公式化简点P的坐标，再由任意角的三角函数的定义求解即可.

［详解］sin(-^^)=-sin(^^)=-sin(4;t--)=sin—=—,

66662

n

cos1230°=cos(3x360°+150°)=cos150°=cos(l80°-30°)=-cos30°=-^

则角e的终边过点P,

故选：A

已知夕（兀），（

8,£0,sine-cos6=则下列结论不正确的是(

c八4

A.夕wB.tan6=—

3

C.sin20=—D.cos20=—

2525

【正确答案】D

【分析】先求出sindcos。的值，再对四个选项一一验证即可得解.

【详解】兀)，由5,解得sin6=(,cos8=」,

sin26>+cos219=1、5

/兀jr।

6^G(0,7t)sin>cos>0,有夕［1万卜A选项正确；

4

八sin。s4〜,

tan"-----==-,B选项正确；

cos。£3

5

4324

sin26=2sinecosG=2x—x」=—,C选项正确；

5525

-7

cos20=2cos20—\=----,D选项错误.

25

故选：D

9.将函数4x)=3sin(x-1)的图象上的所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将

所得图象向右平移机(加＞0)个单位后得到的图象关于y轴对称，则皿的最小值是()

271c5兀_71c兀

A.—B.—C.—D.一

36123

【正确答案】C

【分析】利用函数y=Asin(ox+⑴的图象变换规律得到y=3sin(2x-2〃?-,由正弦函数

的图象的对称性可得2机+；jr=k乃，从而求得机的最小值.

【详解】将函数/(x)=3sin1Lq的图象上的所有点的横坐标变为原来的9纵坐标不变,

可得y=3sin(2x-q的图象，

再将所得图象向右平移前，〃＞())个单位后，可得y=3sin2(x-m)-y=3sin^2x-2w-yj

的图象，

因为所得到y=3sin(2x-2〃L?的图象关于y轴对称，

所以2，"+工=四+也，keZ,即m=Z+keZ,

32122

因为加＞0,所以SIT+竽KTT＞0,则'

1226

又AeZ,所以&N0,则机=白+”

12212

所以机的最小值为展.

故选：C.

10.已知函数〃x)=3sin(2x-W-l,则下列结论不正确的是()

A.最小值是Y

B.函数/(x)的图象关于直线x=?对称

C.函数/(X)在区间［-J,3上单调递增

64

D./(x+丘)是奇函数

【正确答案】D

【分析】A选项直接计算出值域即可;B选项直接代入检验；C选项代入得到2x-J6，勺，

623

7兀

然后利用正弦函数的性质即可；D选项化简f(x+五)即可.

【详解】因为所以/(x)e［T,2］,故最小值是T,所以A正确；

当》=学时，sin(2x?所以f(x)的图象关于直线》=学对称，所以B正确；

当xe"?,；］,所以2%-卜［'与，由正弦函数的性质可得sin(2x-?在［栏与上单调

64623I6)23

递增，故C正确；

因为=3sin-1=-3sin2x-l,

所以〃x+7/兀)不是奇函数，则D错误.

故选：D

11.设函数/(x)=x|X+加+c,给出如下命题，其中正确的是()

A.y=〃x)的图像关于点(O,c)对称

B.6=0时，y=/(x)不只一个零点

C.y=/(x)最多有两个零点

D.6=0时，函数y=〃x)是奇函数

【正确答案】A

【分析】A选项，验证/(x)+/(r)与2c是否相等即可判断选项正误；

B选项，分c<0,c=0,c>0三种情况分析〃x)零点即可判断选项正误；

C选项，通过找反例否定选项；

D选项，验证/'(x)+/(-x)是否等于0即可判断选项正误.

【详解】A选项，/(x)+/(—x)=xN+fer+c-xN-bx+c=2c,则y=/(x)的图像关于点

(O,c)对称，故A正确；

B选项，b=0时，f(x)=,，-z

[-X~+GX<0

当c=0,得有唯一零点0；

当c>0,得〃x)有唯一零点-〃；

当c<0,得有唯一零点口，

综上可得方=0时，y=.f(x)只有一个零点，故B错误；

_VV>0

C选项，注意到当6=-1,C=0时，.f(x)=x|x|-x=，'-C，得此时“X)有3个

零点-1,0,1,故C错误；

D选项，b=0时，/(x)+/(-x)=2c,因c未知，故无法判断〃x)是否为奇函数，故D错

误.

故选：A

12.已知函数/(x)=or+」：，则正确的有()

A.a>0时，f(x)在(1,W)单调递增

B.g(x)=sin(x-l)+l,当a=l时，Bx)与g(x)交点的横坐标之和为4

C.若方程/(力=0有实根，贝iJae[4,+8)

D./(cosx)为偶函数

【正确答案】D

【分析】根据对勾函数的单调性判断A；分别求解JU)与g(x)的值域判断B；结合二次方程

的判别式求解判断C；根据函数奇偶性的概念判断D.

【详解】解：对于A选项，当a>0,x>l时，=----=a(x—1)4------\-a,

x-\x-\

所以，由对勾函数的性质知，函数〃X)在上单调递增，故A选项错误；

对于B选项，由三角函数的性质知g(x)=sin(x-l)+le[0,2],图象关于点(1,1)对称，

当a=l时，/(xAG-D+U+l的图象关于点(1,1)对称

当x>l时，f(x)=(x-l)+—彳+122小(》-1)•—彳+1=3,当且仅当x=2时等号成立；

所以，根据对称性得，当x<-l时，/(X)有最大值-1,当且仅当x=()时等号成立，

所以，函数/(X)的值域为[3,4W),

所以，当。=1时，/(工)与g(x)的图象无交点，故B选项错误；

对于C选项，方程/(x)=0有实根，则0="+—1,即加-6+1=0(犬工1)有实数根,

X—1

所以，A2“八，解得〃<0或。24,故C选项错误；

△二优一4。20

对于D选项,/(cosx)=acosx+-,--定---义域为{小二2E,keZ},关于原点对称,

cosx-1

/[cos(-x)]=/(cosx),故/(cosx)为偶函数，D选项正确.

故选：D

二、填空题

13.已知幕函数产M的图像经过点(3,9),则°=.

【正确答案】2

【分析】将点的坐标代入函数解析式计算即可.

【详解】由题意知，点(3,9)在)，=""图像上，

所以3"=9,所以a=2.

故2

14.已知函数/")=业二£_的定义域为_____.

Iog3(2-x)

【正确答案】[-4,1)51,2)

【分析】根据函数有意义的条件，解出函数的定义域.

.--------[16-X2>0

【详解】函数〃x)=N16-二有意义,则有题3(2-N)片0,解得且x#l,

皿式2一©[2r>0

所以函数/(*)=普三的定义域为HU)51,2).

故[-4,1)51,2)

-—.（兀110兀

15.已知sm[k-a-,贝Ijcos-——+a

3

【正确答案】

【分析】利用诱导公式化简求值.

【详解】

故

16.已知函数/(x)=3a-4e'f—9e2T有两个零点，则实数。的取值范围为.

【正确答案】(4,+00)

9

【分析】根据给定条件，令，=/一2>0,分析函数g⑺=3〃-今的性质并求出最大值，再

t

列出不等式求解作答.

【详解】函数〃x)=3a-4eg-9e2T的定义域为R,令/二小”?〉。，函数g«)=3a-4f-：,

而对勾函数*(r)=4f+：在(0,1］上单调递减，函数值集合为U2,欣)，在［|,必)上单调递增,

函数值集合为口2,+oo),

9(/—/)(9、

Vrp/2e0,-,/(<t2,8(f|)-。⑹=4&-1)+j'=4(6—2)^~~77T

3

因为0<4々24］,则f1-%<0，0<4能<9,有研4)-0«2)>(),即夕外)>9g),

因此函数S(f)=4f+：在(0?上单调递减，同理可证?⑴在|,+8)上单调递增，

于是，函数g«)=3a-4/-9=在(0；3］上单调递增，在弓3,+8)上单调递减，函数值集合均为

(-00,3a—12］,

9

依题意，函数g(f)=3a-4f-：在(0,+8)上有两个零点，则有3a-12>0,解得〃>4,

所以实数a的取值范围为(4,+8).

故(4,+00)

三、解答题

17.设全集U=R,集合A={X|：42、<641,B={X|X2-2X-15>0}.

⑴求Ac&B）；

（2）设“为实数，集合C={x|x>a}.若“xeC”是“xeB”的充分条件，求”的取值范围.

【正确答案】（1）卜2,5]

⑵[5,+oo）

【分析】（1）解指数不等式和一元二次不等式分别求出集合AB,再根据集合的运算求解;

（2）根据充分条件确定3=C即可求解.

【详解】（1）由:42’<64可得42"<26,所以A={xl—24x<6},

由f一2工一15>0解得1<—3或x>5,

所以8={x<-3或x>5},^B={x\-3<x<5}f

所以Ac（QM）=[-2,5].

（2）因为“xeC”是“xeB”的充分条件，所以BuC,

由（2）知8={》<-3或x>5},所以a25.

所以。的取值范围是[5,+8）.

18.已知函数函x）是定义在尺的奇函数,且当xvO时/（x）=f+2x.

（1）现已画出函数/a）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出函数fa）的完整图象，并根据

图象直接写出函数/（X）的单调区间及X曰-3,3]时），=/（%）的值域；

（2）求/（x）的解析式.

【正确答案】⑴图象见解析；/（X）的单调减区间是（YO,-1）和（1,田），增区间是（T1）；值域

为[—3,3]

-x2+2x,x>0

⑵/(©=

x2-2x,x<0

【分析】（i）根据奇函数的图象关于原点对称可以作出函数f（x）在y轴右侧的图象，并可以

根据图象写出函数/（X）的单调区间及XW[-3,3]时y=f（x）的值域；

（2）根据奇函数的定义先求出x>0时y=.f（x）的解析式，再根据/（0）=0,即可得到函数

fM的解析式.

【详解】（1）〃x）是奇函数，图象关于原点中心对称,

由图象可知，函数AM的单调减区间是（-8,-1）和—）,

增区间是（Tl）,xe[-3,3]时,y=/。）的值域为[-3,3].

(2)/(幻是奇函数，.•"(-x)=-/(x),设x>0时,-x<0,

依题意知/(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,g|J-f(x)=x2-2x,

故/(x)=-/+2x；x=0时，/(0)+/(0)=0,故f(0)=0,

-x2+2x,x>0

故f（x）的解析式为f（x）=

x2-2x,x<0

、(、sin(兀+x)cos(兀-x)

19.已知函数,(“六77^―V

噬+xJ

⑴求函数/件)的值；

⑵若已知=2,求sin、型呼cosq的值

1+cos-a

【正确答案】(1)@

3

(2)1

127r13K

【分析】将函数〃x)化简，将x=?代入即可求得函数/的值.

6

由(1)知“X)的解析式，将x=a代入，再将sin%+sinacosa化简,将i代换成

1+cosa

sin%+sinacosa

sin12a+cos2a,再分子分母同时除以cos?a,即可求得的值.

1+cos2a

sin（兀+x）cos（兀一x）_sinxcosx

=tanx

【详解】⑴

sin2；+xCOS-X

13K137c（_Tt=tan3

tan----=tan2兀+一

6663

(2)由(1)知f(x)=tanx,则/(a)=tana=2,

sin2a+sin«cosa_sin2a+sinacosa_tan2a+tana_22+2_

1+cos2asin2a+2cos2atan2a+222+2

20.已知函数/(x)=a(cos?x+sinxcosx\+b.

(1)当〃>0时，求/(幻的单调递增区间；

TT

(2)当a<0且尢£0,-时，/⑺的值域是[3,4],求。，匕的值.

【正确答案】(1)A万—一，"4+J，kwz：(2)a=2-2>/2,Z?=4

oo_

【分析】(l)首先利用三角恒等变形公式将函数〃x)化为

/(x)=人$巩皿+8)+5(4>0,0>())的形式，再由2%r-1+],解出x的范

围，可得函数的单调递增区间；

(2)由04x4工，得到工42x+f4红，进而得到一把《sin(2x+工]41,从而由(1)所

得式子，可用“、6将函数的最小值及最大值，取立得方程组，解之即可求得“、b的值.

■、*即、/八r(\1+cos2x1...y[2a.a.

【详角军J(1)f=a------------Fci,-sin2尤+b=-------sin2xH—H\-b

222I4)2

2k7i-y<2x+^<2k/r+,则左万一攵4+2,

3乃71

二/(X)的单调递增区间kn———,kK+—,kwz；

oo_

(2)0<x<—,—<2x+—<—,.,.-^^<sinf2x+—^<1,

24442I4；

X

・•・/(x)="近a+b=3,/()niax=b=49

•*•a=2—2A/2,b=4.

本题重点考查了三角函数的图象和性质，属于基础题.

21.(1)已知c>a>b>0,求证〃>卜；

c—ac—h

(2)已知x>0,函数y(x)=x+」-的最小值为M,实数"O,c>-1,且b+c=M,证明:

4x

^+―!—>2

bc+1

【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)由不等式的性质证明；

(2)利用基本不等式证明.

【详解】(1)证明：因为c>a>b>0,所以()<c-a<c-。,

所以」一>」T>0，

c-ac-b

又a>6>0,所以，一>占

c-ac-b

(2)x>0,则/(尤)=》+-!-22，」-=1,当且仅当天=!时等号成立,

4xV4x2

.\b+c=lb+(c+1)=2,即/.—l-------=1

f22

」「1+，丫3)」+旦上+J+2K上

=2,

bc+\"c+1人22122b2(c+l)2\2b2(c+l)

当且仅当詈=备即八9°时等号成立，所以力占"

22.已