三角函数、三角恒等变换与解三角形-2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破

11但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查正角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问1(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数fx=sin(ωx-(0<ω<3)，x=是fx的零点.1(2)求函数y=f（x-+fx+的值域.2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C2α)22+》》〔题目2(2024·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试)已知函数f(x)=(1+3tan2x)cos2x.(1)求函数f(x)在区间-,上的最大值和最小值；(2)求方程f(x)=3的根.33T．若π≤T<4π,且y=f(x)的图象关于直线x=对称.(1)求函数fx的单调增区间；(2)求函数fx在区间0,上的最值.2244(1)若sinB+sinC=2sinA，求△ABC的面积；》》解法指导.33》》(2)求sin2C+B的值.224433(1)求A的大小；(2)求△ABC外接圆的半径与内切圆的半径.》》解法指导.55》》(1)求角A；(2)过点B作BD⊥AB，且A,B,C,D四点共圆，CD=b，求△ABC的面积.2(2023·河南·高三校联考阶段练习)已知△ABC中B为钝角，且3cosA-3sinB=3cosB-sinA.2(2)已知点D在边AC上，且AD=BD=4，求△DBC外接圆面积的取值范围.6633(1)求角A；》》解法指导.77》》acosA-23csinBcosA=0.(1)求A；2(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知=sinA-sinC.2sinA+sinB(1)求角B的大小；8833(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积范围.》》解法指导.(2)S=absinC=acsinB=bcsinA；(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径)；99》》+tanAtanC=1.(1)求角B的大小；2(2024·河北石家庄·高三石家庄市第二十四中学校联考期末)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为2(1)求角A;3=2sinB.3(1)求角A的大小；》》解法指导.(1)利用角度的倍数关系：ZBAC=2ZBAD=2ZCADΔABD+SΔACD=SΔABC，所以c.ADsin+b.ADsin=bcsinA，》》〔题目1(2023·安徽·高三校联考期末)如图,在△ABC中,∠CAB的平分线交BC边于点E,点D在AB边上,AE=7,AD=37,cos∠CAE=(2)若∠ACB=,求△CDE的面积.2(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=,2(1)求tanC；(2)若△ABC的面积为，求BC边上的中线长.12π-+1(1)求函数f(π(的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f(π(在区间-,上的最值.2.2.①-0(=f.3(2024·浙江宁波·高三统考期末)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．3-2b+c(2)若cosB=,AC=2，求△ABC的面积.4csinA+.4(1)求角A的大小；5bsin=asinB.5(1)求角A；6AB,AD,AC之间划分两片三角形区域用来种植花卉(如图中阴影部分所示)，已知∠BAC=120°,AD⊥6(2)求△ABC面积的最小值.1(2023·天津·统考高考真题)在△ABC中，角1(3)求sinB-C的值.2(2023·全国·统考高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为3，2(1)若∠ADC=，求tanB；3(2004·全国·高考真题)已知锐角△ABC中，sin(A+B3(2)设AB=3，求AB边上的高.4(2023·全国·统考高考真题)已知在△ABC中，A+B=3C,2sinA-C=sinB.4(1)求sinA；(2)设AB=5，求AB边上的高.55(2)若-=1，求△ABC面积.66(1)求sin∠ABC；77(1)若f(0)=-，求φ的值.条件③：f(x)在区间-,-上单调递减.分.但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查正角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问1(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数f(x(=sin(ωx-(0<ω<3)，x=是f(x(的零点.1(2)求函数y=f（x-+fx+的值域.(2)由f(x(=sin2x-,可得y=f（x-+fx+=sin（2x-+sinx=-cos2x+sinx=-(1-2sin2x(+sinx=sinx+2-，其中-1≤sinx≤1，则当sinx=-时，函数y=f（x-+fx+取得最小值-，故函数y=f（x-+fx+的值域为-,2.112α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C2α)2》》 (1)求函数f(x)在区间-,上的最大值和最小值；(2)求方程f(x)=3的根.f(x)=当2x+=-；即x=-时，函数f(x)的最小值为-1.所以方程f(x)=3的根是x=kπ+ T．若π≤T<4π,且y=f(x)的图象关于直线x=对称.(1)求函数f(x(的单调增区间；(2)求函数f(x(在区间0,上的最值.22 由函数的最小正周期T满足π≤T<4π,得π≤<4π,解得<ω≤1，2x++1，由f(x(=2sin2x++1，∴当x=0或x=时，[f(x([min=2，当x=时，[f(x([max=34已知A=，a=2.4B-+求解.(1)在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，所以(b+c(2=b2+c2+2bc=16，故b2+3代入可得：sinB-sin-B（=因此sinB-cosB-sinB=sinB-cosB=》》解法指导.》》(2)求sin(2C+B(的值.由正弦定理得2sinA-2sinBsinA=0， 由于锐角三角形中0<A<,sinA>0，所以2-2sinB=0,sinB=而B是锐角，所以B=.,4455 所以sinC=1-cos2C=1-=，所以sin(2C+B)=sin（2C+=(sin2C+cos2C).=2sinCcosC+2cos2C-1=2sinCcosC+2cos2C-22sinC=1-cos2C=1-2=315，(2)因为AD=2DB，AB=c=3，所以AD=2，2-b2+9=6acosB，2-=2acosB，因为tanC=2tanB，所以=．又c=3，由正弦定理得=，2c2=32+3b2=27②33(1)由余弦定理得cosA=ABC2=-，因为0<A<π,所以A=. 由正弦定理得2R===14，则R=7. △ABC的面积S=AB⋅AC⋅sinA=，由r(AB+AC+BC)=S，得r=AB++BC=.》》解法指导.利用正弦定理：===2R可求解三角形外接圆的半径。》》b=bsinA,将b=bsinA,将a=23代入得sinA=最后由三角形面积公式可解.将a=23代入得sinA=.所以AD是△ABC外接圆的直径，设△ABC外接圆的半径为R， 2.266=absin∠ACB=3+3.22利用正弦定理可得==2r，从而可得r=CD=BDsin∠DBC=2=2通过函数性质计算求解即可.sinCsinCsin(2A+【解析】(1)因为3cosA-3sinB=3(cosB-sinA(，所以A-=B-，即B=A+，或A-=-B，即A+B=，设△DBC外接圆半径为r，0<A<0<C=π-A-A-<0<A<0<C=π-A-A-<312，77883sin3sin即2cosAsinA-cosA（+3cos2A=cosAsinA-3cos2A+3cos2A=0， 又0<A<，所以<2A+<，所以2A+=，即A=；=+3==+3=+3=+3=+3，(0<π-C-π<π0<C<62，解得<C<，则<<，所以<tan<1，所以1<1<3，则1+3<1+3<23，》》解法指导.》》acosA-23csinBcosA=0.(1)求A；所以acos(B-C(-acos(B+C(=23csinBcosA，acosBcosC+asinBsinC-acosBcosC+asinBsinC=23csinBcosA，asinBsinC=3csinBcosA，由正弦定理可得sinAsinBsinC=3sinCsinBcosA，故2c-b=43sinC-23sinB=23(2sinC-sinB(，sinA-sinC.sinA+sinB2+c2-b2=ac，9933求解.所以S△ABC=acsinB=2RsinA2RsinCsinB=33sinAsin-A（=33sinAcosA+sinA(=sinAcosA+sin2A=sin2A+⋅=sin2A-cos2A+=sin2A-+，(0<A<π<A<π0<<A<π则<2A-<，则<sin（2A-≤1，所以<S△ABC≤，》》解法指导.(2)S=absinC=acsinB=bcsinA；(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径)；》》+tanAtanC=1.【解析】(1)由tanA+tanC+tanAtanC=1可得：tanA+tanC=1-tanAtanC，由tanB=tan[π-(A+C)]=-tan(A+C)=-1，则a=42sinA,c=42sinC=42sin-A(,2(2024·河北石家庄·高三石家庄市第二十四中学校联考期末)设2(1)求角A; 3【分析】(1)利用正弦定理化简得到3sinAsinB=cosAsinB，进而得到 3即sinAcosB+3sinAsinB=sin(A+B)，所以3sinAsinB=cosAsinB，2=b2+c2-2bccosA可得4=b2+c2-3bc≥(2-3)bc， 2 23=2sinB.3+S△ADC=S△ABC，计算出AD的长度即可.由余弦定理可得cosA===-，设AD=x，由AD平分∠BAC，所以S△ABD+S△ADC=S△ABC,即cxsin+bxsin=cbsin，解得：x==，故AD的长度为.》》解法指导.∆ABD+S∆ACD=S∆ABC，所以c∙ADsin+b∙ADsin=bcsinA，(1)中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2)2=b2+c2+2bccosA》》AE=7,AD=37,cos∠CAE=在△ADE中,根据余弦定理得DE2=AE2+AD2-2AE⋅ADcos∠DAE=49+63-2×7×37×=7 所以DE=7，则cos∠ADE=ADE2=2 -2=,-2=, 3在四边形ADEC中,∠CED+∠CAD=2π-∠ACB-∠ADE=2π--=π,24bcosC=2c+2a.2(1)求tanC；即22cosC=2sinC+2sinA，又A+B+C=π,所以22cosC=2sinC+2sin+C（=22sinC+2cosC，整理得2cosC=22sinC，解得tanC=；又tanA=tan-C（==-3，，解得sinA=,cosA=-，由正弦定理可得===32，设BC的中点为D，则=(+(，所以2=(+)2===，所以BC边上的中线长为. -sin(1)求函数f(从(的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f(从(在区间-,上的最值.-2所以函数f(从(的最小正周期T===π,-=-.①-从(的一个零点；②f(0(=f.因为-<φ<，所以-<φ-<.所以φ-=-.所以φ=-.cosφ-sinφ=，cosφ-整理得sin(φ-=-.因为-<φ<，所以-<φ-<.所以φ-=-.所以φ=-.令t=2x+-≤t≤,当且仅当2x+=-，即x=-时，f(x(取得最小值-.所以m的取值范围是-,∪{1{. -2b+c即sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosA=0，=-，即A=.利用正弦定理得BC=⋅sinA=×=7.而sinC=sin(A+B(=sinAcosB+cosAsinB=×-×=， csinA+.而sinC>0，则sinA=sin（A+，由0<A<π,知0<A<A+<，因此A+=π-A，解得A=，所以角A的大小为.2=b2+c2+2bccosA=22+32+2×2×3×=. bsin=asinB.结合三角恒等变换和三角函数值域即可得到其范围.则根据正弦定理得sinBcos=sinAsinB(sinB>0)，sinAsinBsinCsinAsinBsin[π-+B([，(2)由正弦定理得a=b=sinAsinBsinCsinAsinBsin[π-+B([，a+b+c=23+4sinB+4sin（B+=23+4sinB+4（sinBcos+coB+(0<B<π0<-<<B<，得B+∈,(0<B<π66所以在△ACD中，由余弦定理可得DC2=AD2+AC2-2AD⋅ACcos∠CAD，所以117=36+AC2-12×AC，解得AC=93.所以cosC=1-sin2C=.可得sinB=sin(∠BAC+∠C(=sin∠BACcosC+cos∠BACsinC 则=，解得BC=，所以BD=BC-DC=.-θ(.则∠DAM+∠BAM=∠ABM+∠BAM=90°.所以∠DAM=∠ABM=θ,所以AM=ADcosθ=6cosθ.(cosθ-2θ-2θ--2+》(3)求sinB-C的值. -,sinB-C=sinBcosC-cosBsinC=×-×=-. D为BC中点，且AD=1.在△ABD中，∠ADB=，由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD⋅ADcos∠ADB，sinB=1-cos2B=1-2=，所以tanB==.2=CD2+AD2-2CD⋅ADcos∠ADC，有AC2+AD2=4=CD2，则∠CAD=，C=，过A作AE⊥BC于E，于是CE=ACcosC=,AE=ACsinC=，BE=，所以tanB==53.2=2=而0<∠ADC<π,于是∠ADC=，所以b=c=AD2+CD2=2.2+2=(+)2+(-)2=2(b2+c2)=16，即4+a2=16，解得a=23，而0<∠ADC<π,于是∠ADC=，所以b=c=AD2+CD2=2.33【解析】