高中数学第三章导数及其应用3.1.1平均变化率2省公开课一等奖新名师获奖课件

3.1.1平均变化率1/37平均改变率教材分析教法分析学法分析

板书设计

教学反思

过程分析

2/37一、教材分析1、教材地位和作用2、教学目标3、教材重点和难点3/371、教材地位和作用平均改变率是高中课程标准试验教科书选修1-1第三章《导数及其应用》第一节《导数概念》第一课时。导数是研究函数有力工具，是深入学习数学和其它自然科学基础。本节课从日常生活背景中引出平均改变率实际意义，再由实际意义到数学意义，表达了实际问题数学化过程，为后续建立瞬时改变率和导数数学模型奠定了基础。教材在导数概念处理上与以往有了很大改变。充分注意高中学生认知水平与特点，不专门介绍极限形式化定义及相关知识，不把导数作为一个特殊极限来处理，而是直接经过速度、效率、增加率等反应导数思想和本质实例，引导学生经历由平均改变率到瞬时改变率刻画现实问题过程，引入导数概念。由浅入深，由表及里，层层展示了数形结合、建立数学模型刻画世界数学思想和数学方法，为深入发展学生数学思维能力，也为以后深入学习微积分打好基础。4/372、“三位一体”教学目标（1）知识与技能目标：

了解平均改变率意义，体会实际问题数学化过程，为后续建立瞬时改变率和导数数学模型提供丰富数学背景。并能利用它处理实际问题，体会数学应用广泛性。（2）过程与方法目标：经过对大量实例分析，让学生感受平均改变率广泛存在于日常生活之中，经历利用数学描述和刻画现实世界“数学化”过程，渗透数形结合思想方法，勉励学生善于观察，勤于思索，勇于创新，形成良好学习习惯。（3）情感、态度和价值观目标：让学生在民主、友好共同活动中体会数学博大精深以及学习数学意义，激发求知欲,感受学习乐趣，培养学生探索精神与合作交流意识。

5/373、教学重点和难点教学重点：（1）平均改变率实际意义与数学意义。（2）让学生体会数形结合思想方法，感悟数学建模过程及其应用广泛性。教学难点:

建立数学模型，对生活现象作出数学解释。

6/37二、教法分析

(1)教学方法：

(2)教学伎俩：

7/37（1）教学方法：探究法、启发式教学

新课程理念指出，教师是学生活动组织者、指导者、帮助者和促进者，教学活动是学生作为主体主动建构过程。本节课教学设计力图表达以学生发展为本，遵照学生认知规律，表达循序渐进与启发式教学标准，经过“创设情境-----提出问题-----建立模型-----数学应用”教学模式，调动学生主动性，激发学生创造性思维，让学生在思索中体会数学知识形成过程中所蕴涵思想方法，使之取得内心感受。

8/37利用多媒体辅助教学，能够加大一堂课信息容量，提升学生学习兴趣，电脑软件交互性，能够很好地表达教师在教学过程中思绪和策略。

(2)教学伎俩：多媒体辅助教学

9/37三、学法分析

学生在物理课上已经研究过平均速度、加速度，对改变率问题有一些直观印象，但并没有上升到理论高度。另外学生对直线斜率能够刻画直线陡峭程度以及用函数刻画变量改变过程已经有了一定了解。从这些知识入手，从已知到未知，符合学生认知规律，有利于学生更加快生成新概念。另外大部分学生具备较强直观感受力,而缺乏抽象、概括能力。所以，以问题为背景，让学生经历数学建模过程，能够让学生真正地体会到数学价值，从而促进热爱数学情感，应用数学自信心和形成新学习动力。10/37四、过程分析

课堂练习，巩固新知

创设情境,引入课题提出问题，师生互动

建构数学，形成概念反思小结，深化认识

布置作业，巧设悬念

学以致用，提升能力11/37

世界充满着改变，有些改变几乎不被人们所感觉，而有些改变却让人们发出感叹和惊呼，下面看三个案例：情境1：现有镇江市今年3月和4月某天日最高气温记载.原来前者改变得“太快”，而后者改变得“迟缓”创设情境,引入课题

时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃

从4月18日到4月20日，两天时间，气温“陡增”14.8℃。人们感叹“天气热得太快了！”不过3月18日到4月18日，温差为15.1℃.而人们却不会发出这么感叹，这是什么原因呢？12/37姚明●●●●●●年纪身高47101316●1922●●●●●●●0.82.262.05情境2：看姚明4岁到22岁身高改变图，有何感受？1.6813/37情境3：甲、乙两辆车，速度从0km/h分别加速到100km/h和80km/h，怎样评判两车性能？假如不考虑加速时间，仅仅分别考查0---100，0---80，能作出判断吗？假如甲用时3分钟，乙用时3秒钟呢？乙性能好。因为乙开启得快，即速度改变得快，而甲速度改变得慢。今天我们要研究变量改变速度，也就是变量改变率问题（引出课题）创设情境,激发学生学习兴趣,从而主动参加到知识生成过程中来.14/37设计意图：

当代认知心理学关于思维研究结果表明，思维过程通常是由问题情境产生，而且是以处理问题情境为目标。

从生活实际出发，引入学生所熟悉例子，轻易提升学生学习兴趣，使其更加快地融入学习过程，明确学习目标。这也符合从感性到理性，从详细到抽象认知规律。15/37提出问题：一、用怎样数学模型来刻画变量改变快与慢？二、这么数学模型有哪些应用?提出问题,师生互动“问题是数学心脏”，没有问题就没有数学。16/37提出问题，师生互动用比值来近似地量化之间曲线陡峭程度，并称该比值为气温在区间上平均改变率．即气温在区间[1,32]上平均改变率为

气温在区间上平均改变率为即使AB与BC之间温差几乎相同，但平均改变率却相差很大．

经过比较气温平均改变率感知曲线陡峭程度量化。17/37

位移s是时间t函数，气温是时间函数，我们能够从“形”和“数”两个角度来刻画它们随时间改变快慢。

普通地，对于函数y=f(x),我们怎样刻画其函数值f(x)随自变量x改变快慢？

由特殊到普通，由详细到抽象，引导学生在已经有认知结构基础上进行新概念建构。18/37建构数学，形成概念平均改变率：普通地，函数在区间上

平均改变率为1、平均改变率是曲线陡峭程度“数量化”，曲线陡峭程度是平均改变率“视觉化”。2、用平均改变率来量化一段曲线陡峭程度是粗糙

不准确，但应注意当

很小时，这种量化便由粗糙迫近准确。19/37设计意图：

从实际生活背景中抽象出数学模型，揭示其本质，让学生在思索中体会数学知识形成过程中所蕴涵思想方法，使之取得内心感受是本节课重点，也是难点。在教学设计中我遵照学生认知规律，表达循序渐进与启发式教学标准。让学生经历观察、比较、抽象、概括、归纳过程，在已经有认知结构基础上迁移、建构出新概念。培养学生研究问题习惯，增强其学习能力。在引导学生发觉、思索过程中渗透数形结合思想方法也是本节课重点。教学过程中应与学生共同体会“无形不直观，无数不入微”辩证思想。由学生自行讨论、探究，体会实际问题数学化过程。

20/37学以致用，提升能力例1：某婴儿从出生到第12个月体重改变如图所表示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重平均改变率。T(月)W(kg)639123.56.58.611解：从出生到第3个月，婴儿体重平均改变率为（kg/月）从第6个月到第12个月，婴儿体重平均改变率为（kg/月）问题：这两个不一样改变率实际意义是什么？

用所学知识去解释身边现象，让学生体会数学知识源于生活又能回归生活，加强学生利用数学意识。21/37学以致用，提升能力例2：如图水经过缸吸管从容器甲中流向容器乙，t秒后容器甲中水体积（单位cm3)计算第一个10秒内V平均改变率．解：区间[0，10]上，体积V平均改变率为：

负号表示容器甲中水在降低．平均改变率符号代表改变方向，其绝对值代表改变速度22/37数学应用，例题分析例3．已知，分别计算在以下区间上平均改变率：（1）（2）（3）（4）

（5）[1,1+t](t>0)解：（1）在上平均改变率为：（2）在上平均改变率为：（3）在上平均改变率为：(4）在上平均改变率为：

（5）在[1,1+t](t>0)上平均改变率为：1+t

23/3713xyO指出：平均改变率量化一段曲线陡峭程度是“粗糙不准确”，但应注意当很小时，这种量化便由“粗糙”迫近“准确”。２学以致用，提升能力24/37学以致用，提升能力例4．已知函数，，分别计算在区间，上两个函数平均改变率．解：在区间上平均改变率为：．在区间上平均改变率为：．在区间上平均改变率为：．在区间上平均改变率为：

．问题：一次函数在区间上平均改变率有什么特点？（等于它斜率）．

由特殊到普通，得出结论：一次函数平均改变率与对应直线斜率一样，与“直线”内容互动，反过来加深对斜率概念了解。25/37设计意图：例题解析是培养训练学生利用知识处理问题能力过程。这四个例子都是利用所学概念求平均改变率问题。例1、例2是生活中例子，例3、例4是数学内部例子。解题后让学生自己总结、反思，充分调动学生主动性，提升学生思维能力。26/371：小王做生意赚了10万元，小李做生意赚了5万元。怎样来评价两人经营结果？课堂练习，巩固新知若小王用3年时间赚了10万元，小李用1年时间赚了5万元。怎样来评价两人经营结果？引导学生小结：仅考虑一个变量改变是不行。27/37课堂练习，巩固新知

2、国家环境保护局在要求排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检验，其连续检测结果如图所表示（其中W1（t),W2（t)分别表示甲乙两企业排污量），试比较两个企业治污效果。

引导学生小结：平均改变率符号代表改变方向，其绝对值代表改变速度。28/37课堂练习，巩固新知3、甲、乙两人跑步旅程与时间关系以及百米赛跑旅程和时间关系分别如图1、2，问：（1）甲、乙二人哪一个跑得快？(2)两人百米赛跑,问快到终点时，谁跑得较快？巩固新知同时为下节课瞬时改变率学习作铺垫。29/37设计意图：

练习是为了检验学生对平均改变率概念了解，巩固所学知识。练习解答是培养训练学生利用知识处理问题能力过程，书写解题过程是对学生思绪形成条理化、系统化过程。这里三个题目都是利用平均改变率处理实际生活中效益、效率、速度问题，让学生在解题同时体会数学应用广泛性。

30/371、由平均改变率实际意义到数学意义，表达了实际问题数学化过程，建立数学模型含有抽象特征，也蕴含着数学应用辽阔性。2、注意用数形结合思想方法、运动改变观点分析处理问题；3、观察、比较、抽象、概括、归纳是学习数学有效思维方法；4、因为平均改变率只是一个粗略刻画，从而有待于深入准确化，随之而来便是新数学模型建立。反思小结，深化认识由学生概括,老师补充,共同完成小结,表达师生互动。

经过反思深化知识了解，完善认知结构，领悟思想方法，也培养了学生语言表示、总结归纳能力。31/37必做题：

书本57页练习第4题，65页习题3.1第1题选做题：

一物体按规律作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内平均速度；

思索：它在

2秒末这一时刻速度是多少？布置作业，巧设悬念

依据因材施教标准，使每个层面学生都能在原有基础上有所进步。32/37五、教学反思

数学教学不但是关注结果，更应关注过程与方法，重视培养学生探究数学品质。建构主义理论认为：知识不是被动接收,而是认知主体主动主动建构.本课教学设计正是在这种教学理念指导下，让学生经历“创设情境——提出问题—建立模型——数学应用”活动过程,体验参加数学知识发生、发展过程,重视师生交往、互动,关注学生发展和情感体验,并主动引导学生