高考数学复习第九章平面解析几何9.6双曲线市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

§9.6双曲线1/87基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引2/87基础知识自主学习3/871.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2

等于常数(小于|F1F2|)点轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做

，两焦点间距离叫做

.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当

时，P点轨迹是双曲线；(2)当

时，P点轨迹是两条射线；(3)当

时，P点不存在.知识梳理距离差绝对值双曲线焦点双曲线焦距2a<|F1F2|2a＝|F1F2|2a>|F1F2|4/872.双曲线标准方程和几何性质标准方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)图形性质范围

对称性对称轴：

对称中心：

x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点5/87性质顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线

离心率e＝，e∈

，其中c＝

实虚轴线段A1A2叫做双曲线实轴，它长|A1A2|＝；线段B1B2叫做双曲线虚轴，它长|B1B2|＝；a叫做双曲线实半轴长，b叫做双曲线虚半轴长a、b、c关系c2＝

(c>a>0，c>b>0)(1，＋∞)2a2ba2＋b26/87巧设双曲线方程知识拓展7/87判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差绝对值等于8点轨迹是双曲线.()(2)方程 (mn>0)表示焦点在x轴上双曲线.()思索辨析×√×8/87√√9/87

1.(教材改编)若双曲线 (a>0，b>0)焦点到其渐近线距离等于实轴长，则该双曲线离心率为考点自测答案解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.10/87

2.等轴双曲线C中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C实轴长为答案解析∵抛物线y2＝16x准线为x＝－4，∴a＝2，∴2a＝4.∴C实轴长为4.11/87

3.(·安徽)以下双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x是答案解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.12/87答案解析13/87答案解析双曲线一个顶点坐标为(2,0)，14/87题型分类深度剖析15/87例1已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M轨迹方程为_________________.题型一双曲线定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程答案解析几何画板展示16/87如图所表示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.依据两圆外切条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2距离差是常数且小于|C1C2|＝6.17/87又依据双曲线定义，得动点M轨迹为双曲线左支(点M与C2距离大，与C1距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.18/87命题点2利用待定系数法求双曲线方程解答设双曲线标准方程为∴b＝6，c＝10，a＝8.19/87(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；解答∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.20/87设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).解答21/87命题点3利用定义处理焦点三角形问题例3已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.答案解析∵由双曲线定义有|PF1|－|PF2|22/87引申探究1.本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2面积是多少？解答23/87不妨设点P在双曲线右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得24/87不妨设点P在双曲线右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，解答所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，25/87思维升华(1)利用双曲线定义判定平面内动点与两定点轨迹是否为双曲线，进而依据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，利用平方方法，建立与|PF1|·|PF2|联络.(3)待定系数法求双曲线方程详细过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程形式，然后再依据a，b，c，e及渐近线之间关系，求出a，b值，假如已知双曲线渐近线方程，求双曲线标准方程，可设有公共渐近线双曲线方程为

(λ≠0)，再由条件求出λ值即可.26/87

跟踪训练1(1)已知F1，F2为双曲线 左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|最小值为答案解析几何画板展示27/87由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|最小值，只需求|AP|＋|AF1|最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，28/87

答案解析29/87不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.依据双曲线定义，得r1－r2＝2a，30/87题型二双曲线几何性质

答案解析A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜131/87由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.32/87(2)(·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： (a>0，b>0)渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB垂心为C2焦点，则C1离心率为________.答案解析33/8734/87∵△OAB垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，35/87思维升华36/87

答案解析37/87题型三直线与双曲线综合问题例5(·兰州模拟)已知椭圆C1方程为＋y2＝1，双曲线C2左，右焦点分别是C1左，右顶点，而C2左，右顶点分别是C1左，右焦点.(1)求双曲线C2方程；解答则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.38/87解答39/87由直线l与双曲线C2交于不一样两点，得设A(x1，y1)，B(x2，y2)，40/8741/87思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.(2)用“点差法”能够处理弦中点和弦斜率关系问题，但需要检验.42/87跟踪训练3若双曲线E：－y2＝1(a>0)离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E右支交于A，B两点.(1)求k取值范围；解答43/87故双曲线E方程为x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. (*)∵直线与双曲线右支交于A，B两点，44/8745/87解析46/87整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.47/87∵点C是双曲线上一点.48/87直线与圆锥曲线交点现场纠错系列12(1)“点差法”处理直线与圆锥曲线交点问题，要考虑变形条件.(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点通用方法.错解展示现场纠错纠错心得典例已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB中点？49/87返回50/87解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB中点为(x0，y0)，若直线l斜率不存在，显然不符合题意.设经过点P直线l方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0). ①51/87当k＝2时，方程①可化为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB中点.返回52/87课时作业53/87√答案解析1234567891011121354/8712345678910111213√答案解析∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.55/8712345678910111213√答案解析56/871234567891011121357/871234567891011121358/8712345678910111213√答案解析59/871234567891011121360/8712345678910111213√答案解析61/871234567891011121362/8712345678910111213√答案解析63/87由题意易知点F坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，－)，E(a,0)，∵△ABE是锐角三角形，整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)，故选B.1234567891011121364/877.(·北京)已知双曲线 (a＞0，b＞0)一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝___；b＝______.1234567891011121312由2x＋y＝0，得y＝－2x，解得a＝1，b＝2.答案解析65/87123456789101112138.(·浙江)设双曲线x2－＝1左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|取值范围是________.答案解析66/87如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，因为△PF1F2为锐角三角形，解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，1234567891011121367/87123456789101112139.已知双曲线 (a>0，b>0)左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e最大值为________.答案解析68/87要求e最大值，即求cos∠F1PF2最小值，由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，在△PF1F2中，由余弦定理，1234567891011121369/871234567891011121310.(·课标全国Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1右焦点，P是C左支上一点，A(0,6).当△APF周长最小时，该三角形面积为________.答案解析70/87设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，1234567891011121371/8711.中心在原点，焦点在x轴上一椭圆与一双曲线有共同焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；12345678910111213解答72/87由已知c＝，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.1234567891011121373/87(2)若P为这两曲线一个交点，求cos∠F1PF2值.解答不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，1234567891011121374/871234567891011121312.(·湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9△ABC中， 现建立以A点为坐标原点，以∠BAC平分线所在直线为x轴平面直角坐标系，如图所表示.(1)求AB，AC所在直线方程；解答设∠CAx＝α，则由tan∠BAC＝tan2α得tanα＝2，∴AC所在直线方程为y＝2x，AB所在直线方程为y＝－2x.75/87(2)求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D双曲线方程；解答1234567891011121376/87设所求双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，C(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2>0).1234567891011121377/87＝2x1x2＝9，代入①，1234567891011121378/87(3)过D分别作AB，AC所在直线垂线DF，DE(E，F为垂足)，求值.解答1234567891011121379/87123456789