上海市三好中学高一数学理月考试题含解析

上海市三好中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，，那么（

） A． B． C．

D．参考答案：C略2.下列函数中，与函数

有相同定义域的是

(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.化简的结果等于

A．

B．

C．

D．参考答案：B

4.给出下列三个函数：①，②，③，其中在区间

上递增的函数有：A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C5.如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（

）A

B

C

D参考答案：C6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（

）

A．

B．C．

D．参考答案：B略7.1920°转化为弧度数为（

）A. B. C. D.参考答案：D已知180°对应弧度，则1920°转化为弧度数为.本题选择D选项8.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A向左平移个单位长度

B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度

D向右平移个单位长度参考答案：A略9.在△ABC中，a=2，b=，c=1，则最小角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】HR：余弦定理．【分析】由题意，C最小，根据余弦定理cosC=，可得结论．【解答】解：由题意，C最小，根据余弦定理可得cosC===，∵0＜C＜π，∴C=．故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．10.已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．9 B．3 C．﹣3 D．﹣9参考答案：D【考点】8G：等比数列的性质．【分析】先把等差数列{an}中a3，a4用a1，d表示，再根据a1，a3，a4成等比数列，得到关于a1的方程，解出a1即可．【解答】解；∵等差数列{an}的公差为3，∴a3=a1+6，a4=a1+9又∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，即（a1+6）2=a1（a1+9）解得，a1=﹣12，∴a2=a1+3=﹣12+3=﹣9故选D【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等比中项的概念，属于数列的基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等比数列的前项和为，公比为，则____。参考答案：略12.．已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且在区间上是单调递增，若，则的取值范围为

．参考答案：略13.若向量=（3，m），=（2，﹣1），?=0，则实数m的值为

．参考答案：6【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标，结合向量数量积的坐标计算公式计算可得?=3×2+m×（﹣1）=6﹣m=0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（3，m），=（2，﹣1），?=3×2+m×（﹣1）=6﹣m=0，解可得m=6；故答案为：6．14.函数的定义域为_________.参考答案：【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．【详解】对数函数f（x）＝log2（x﹣1）中，x﹣1＞0，解得x＞1；∴f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为（1，+∞）．【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．15.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为

参考答案：16.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最大值为

。参考答案：在△ABC中，由正弦定理得，∴，∴，其中．∵0<，∴，∴的最大值为．

17.（5分）函数y=的图象先作关于x轴对称得到图象C1，再将C1向右平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为

．参考答案：y=ln（x﹣1）考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．专题： 计算题．分析： 由函数y=的图象先作关于x轴对称得到图象C1，知C1y=﹣=lnx，由将C1向右平移一个单位得到图象C2，可得答案．解答： ∵函数y=的图象先作关于x轴对称得到图象C1，∴C1：y=﹣=lnx．∵将C1向右平移一个单位得到图象C2，∴C2：y=ln（x﹣1）．故答案为：y=ln（x﹣1）．点评： 本题考查函数解析式的求解方法，解题时要熟练掌握函数的对称变换和平移变换．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在中，是内的一点．（1)若P是等腰直角三角形的直角顶点，求PA的长；（2）若，设，求的面积的解析式，并求的最大值·参考答案：（1）因为是等腰直角三角形的直角顶点，且，所以，………1分又因为，………2分在中，由余弦定理得：，………5分所以.………6分(2)在中，，，所以，………7分由正弦定理得………8分………9分所以得面积………11分

=……12分

=，………14分所以当时，面积得最大值为.………16分19.设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定；8D：等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）．即an+Sn=c，结合数列中an与Sn关系求出数列{an}的通项公式后再证明．（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知an+Sn=fk（n）考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．【解答】（Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且当n≥2时，an+Sn=2，①an﹣1+Sn﹣1=2，②①﹣②得2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．若an=0，则an﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），当n≥2时，an+Sn=bn+c，③an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④③﹣④得2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b﹣d（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），当n≥2时，an+Sn=pn2+qn+t，⑤an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥⑤﹣⑥得2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，考虑到a1=1，所以an=1+（n﹣1）?2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2pn﹣2p+1（n∈N*），此时f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．（4）当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．20.关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是（，0）；④函数是以6为最小正周期的周期函数;写出所有正确的命题的题号：

。参考答案：略21.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知（Ⅰ）讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（Ⅱ）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（Ⅲ）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目？参考答案：解（Ⅰ）当0<t≤10时，f（t）=-t2+24t+100是增函数,且f（10）=f（24）=240,当10<t≤20时，f（t）=240,而当20<t≤40时,f（t）为减函数.所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；……4分（Ⅱ）求函数值比较，f（5）=195,f（25）=205,讲课开始后25分钟比讲课开始后5分钟学生的注意力更集中；……8分（Ⅲ）当0<t≤10时，f（t）=-t2+24t+100=180,则t=4，20<t≤40,f（t）=-7t+380=180,t=28.57,则学生注意力在180以上所持续的时间28.57-4=24.57>24,……10分所以，经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.………12分22.（14分）已知数列中，，．且等比数列满足：。(Ⅰ)求实数及数列、的通项公式；(Ⅱ)若为的前项和，求；(Ⅲ)令数列｛｝前项和为．求证：对任意，都有＜3.

参考答案：解(Ⅰ)当时，，

，即，

故时

……………1分

有，而

……2分

，

从而

……4分