湖南省邵阳市洲下桥中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省邵阳市洲下桥中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则实数的值为（

）A．2

B．1

C．-1

D．-2参考答案：试题分析：先作出不等式组的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得x=1,y=1,即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3x-y-a=0上，∴3-1-a=0，则a=2，故选：A．考点：简单的线性规划2.已知点是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B3.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A.

B.

C.

D.1参考答案：由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.4.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若在内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是

（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C略6.一个几何体的三视图如图2所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：D该几何体是个如下图所示的三棱锥D-ABC，外接球的球心为点，F为AC的中点，设,则，解得.所以外接球的半径为，表面积为.7.若直角坐标平面内的两点p、Q满足条件：①p、Q都在函数y=f（x）的图象上；②p、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（

）对．A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C8.(05年全国卷Ⅱ理)设、、、，若为实数，则（A）（B）（C）（D）

参考答案：答案：C9.已知是虚数单位，则等于A. B. C. D.参考答案：A，选A.10.已知点、、、，则向量在方向上的投影为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A，，，故选A。【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是

.参考答案：5设，，则，又为等差数列，所以，整理得，代入整理得，，解得，所以双曲线的离心率为。12.过点引直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于_____________.参考答案：略13.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为；参考答案：0【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为0．解：模拟执行程序，可得S=1，i=1S=3，i=2，不满足条件i＞4，S=4，i=3不满足条件i＞4，S=1，i=4不满足条件i＞4，S=0，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为0．故答案为：0．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．14.f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=．参考答案：±1【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义，解方程f（﹣x）=﹣f（x），即可得到结论．【解答】解：若f（x）=在定义域上为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即=﹣，则（k?2x﹣1）（1+k?2x）=﹣（k﹣2x）（k+2x），即k2?22x﹣1=﹣（k2﹣22x，则k2?22x﹣1+k2﹣22x=0，即k2﹣1=0，解得k=±1，故答案为：±115.（几何证明选讲）如图，半径为2的⊙D中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙D于点E，则线段DE的长为

。参考答案：16.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则=．

参考答案：1考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题．分析： 将表示为，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解．解答： 解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，＜＞=60°，=180°﹣60°=120°∵=，∴=（+）?=?+?=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1故答案为：1．点评： 本题考查向量的数量积运算．关键是将将表示为．易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以为基底，进行转化计算．17.．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，数列{}的前2016项的和为．参考答案：﹣【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S3=0，S5=﹣5，可得，解得：a1，d，可得an．再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S3=0，S5=﹣5，∴，解得：a1=1，d=﹣1．∴an=1﹣（n﹣1）=2﹣n．∴==，数列{}的前2016项的和=+…+==﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若，求．参考答案：【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）由正弦定理可将已知转化为2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，继而可求得cosA=，从而可求得角A的大小；（2）依题意，利用向量的数量积可求得，从而可得的值．【解答】解：（1）由正弦定理可得：2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA，∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=．（2）∵c=||=，b=||=2，∴=++2||||cosA=7+2，∴=．【点评】本题考查解三角形，着重考查正弦定理的应用，考查向量的数量积，属于中档题．19.公差不为零的等差数列{an}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设an=bn+1﹣bn，b1=1，求数列{bn}的通项公式．参考答案：考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由等差数列{an}中a2，a4，a9成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的通项公式化简，得出首项与公差的关系，根据a3的值，确定出首项与公差，即可得到等差数列的通项公式；（2）分别把n=1，2，…，n﹣1代入an=bn+1﹣bn，等式左右两边分别相加，左边利用等差数列的求和公式化简，右边抵消合并后将b1的值代入，整理后即可得到数列{bn}的通项公式．解答： 解：（1）∵等差数列{an}中，a2，a4，a9成等比数列，∴a42=a2?a9，即（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d），整理得：6a1d+9d2=9a1d+8d2，即d2=3a1d，∵d≠0，∴d=3a1，又a3=a1+2d=7a1=7，∴a1=1，d=3，则数列{an}的通项公式为an=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）∵b1=1，an=3n﹣2，an=bn+1﹣bn，∴a1=b2﹣b1，a2=b3﹣b2，…，an﹣1=bn﹣bn﹣1，∴a1+a2+??+an﹣1=bn﹣b1，即==bn﹣1，则bn=+1=．点评：此题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．20.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CD∥AB,AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,侧棱AA1⊥平面ABCD.且点M是AB1的中点.(1)证明:CM∥平面ADD1A1；(2)求点M到平面ADD1A1的距离.参考答案：（1）取AB的中点E，连结CE、ME.………………1分∵M为AB1的中点∴ME∥BB1∥AA1又∵AA1平面ADD1A1∴ME∥平面ADD1A1……………3分又∵AB∥CD，CD=AB∴AE平行且等于CD∴四边形AECD为平行四边形∴CE∥AD又∵AD平面ADD1A1∴CE∥平面ADD1A1又∵ME∩CE=E∴平面CME∥平面ADD1A1………………5分又∵CM平面CME

∴CM∥平面ADD1A1………………6分（2）由（1）可知CM∥平面ADD1A1，所以M到平面ADD1A1的距离等价于C到平面ADD1A1的距离，不妨设为h，则.………………8分………9分在梯形ABCD中，可计算得AD=，…………………10分则…11分∴=，得，即点M到平面ADD1A1的距离…………12分（另解：可在底面过E点做出E点到平面ADD1A1的垂线段）.21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足a≠b，2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB（Ⅰ）求边c（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角差的正弦函数公式，正弦定理化简已知可得：2acosB﹣2bcosA=a2﹣b2，进而由余弦定理即可解得c的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinC=，cosC=，利用三角形面积公式可求ab，进而利用余弦定理即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，∴2sinAcosB﹣2cosAsinB=asinA﹣bsinB，由正弦定理可得：2acosB﹣2bcosA=a2﹣b2，∴由余弦定理可得：2a×﹣2b×=a2﹣b2，可得：=a2﹣b2，∵a≠b，∴c=2…6分（Ⅱ）∵tanC==2，sin2C+cos2C=1，∴sinC=，cosC=，∵S△ABC=absinC==1，∴ab=，∵cosC===，∴a2+b2=6，（a+b）2=6+2，∴a+b=1+…12分【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（，为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点，曲线C2的极坐标方程为．