对数函数教案1 人教课标版

第二章基本初等函数()§对数函数

—课标要求：

教材把指数函数，对数函数，塞函数当作三种重要的函数模型来

学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异

及其联系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运

用具体函数模型解决一些实际问题.

.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步

理解对数函数的概念，掌握()符号及意义，体会对数函数是一类重要的

函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并

了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点).

.知道指数函数与对数函数(>,W)互为反函数，初步了解反函

数的概念。

二'编写意图与教学建议：

.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内

容做了比较，让学生体会两种函数模型的区别与联系，渗透了类比思

想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.

、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化

指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做

更多的拓展.

.通过运用计算机绘制对数函数的动态图象，使学生进一步体会到

信息技术在数学学习中的作用，教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能..

.教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育,

应指导学生认真研读.

、本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如归纳的思想、数

形结合的思想、类比的思想等，同时编写时以考古、的测定等问题，

充分体现了数学的应用价值。因此，教学时应重视以具体、实际的问

题体现数学的思想方法及价值。

三'教学内容与课时安排的建议

本节教学时间为课时.

本节内容做如下安排:

第一课时：讲授对数函数的定义及对数函数的图象和性质，初步掌握底数a对函数

性质的影响。

第二课时：继续研究对数函数的性质，并用对数函数的性质解决一些具体的问题。

如：比较两个数的大小(本节应控制难度，仅限于比较两个同底数的

对数的大小)，讨论复合函数的定义域、值域，求复合函数的单调区间

等。

第三课时：为研究课，通过对教材中所给出的引例从不同的角度的研究，得出指

数函数和对数函数的依赖关系，从而给出反函数的概念，在此基础上,

从形的角度进行探索，得出互为反函数的两个函数的对称性，加深学

生对函数的模型化思想的理解。

课题§对数函数()

学习目()通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函

标：数的概念，

体会对数函数是一类重要的函数模型；

()能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单

调性与特殊点；

()通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函

数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.

教学重点掌握对数函数的图象和性质

教学难点对数函数的定义，底数a对图象的影响，以及对数函数的性质和应用

课的类型新授课

教学时数一课时教具计算机

§对数函数

引例对数函数的性质例

板书设计

对数函数的定义例例

教学过程.引言：

()学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？

设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练

掌握研究函数性质的方法一一借助图象研究性质.

()对数的定义及其对底数的限制.

设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备.

.(引例)设置情境：

教材引例

处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：

碳的含量

生物死亡年数

然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳的含量的取值，通过对应关系

，=logn-P,生物死亡年数都有唯一的值与之对应，从而是的函数”.同样

5730c

的，对于每一个对数式y=log“x中的无，任取一个正的实数值，）均有唯一的

值与之对应，所以y=log“x是关于x的函数.

（进而引入对数函数的概念）

、新课教学

（-）对数函数的概念

.定义：函数y=log〃x（a＞0,且。工1）叫做对数函数（）

其中x是自变量，函数的定义域是（,8）.

注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：

X

y=21og2x,y=log5-都不是对数函数，而只能称其为对数型函

数.

对数函数对底数的限制：（。＞0,且。声1）.

（-）对数函数的图象和性质

问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内

容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质.

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.

探索研究：选取底数就。＞0,。。7）的若干个不同的值，在同一坐标系内作

出相应的对数函数的图象。观察图象，你能发现它们有哪些共同

的特征吗？

在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助计

算机）

（）y=log,x

类比指数函数图象和性质的研究,研究对数函数的性质并填写如下表格:

图像特征函数性质

()这些图象都位于y轴右方

()x可取任何正数值，函数值ycR

()这些图象都经过(，)点

()无论a为任何正数，loga1-0

()图象可以分为两类：一类图象()当a>1时,

在区间(，)内纵坐标都小于，在

若0<x</,则/og«x<0

区间(I,+8)内的纵坐标都大于；

若x>/,则log.x>0

另一类图象正好相反。

当0<a<7时，

若0<x<7,则x>0

若x>7,则/og“x<0

()自左向右看，

()当a>1时、y=logx是增函数

a>l时，图象逐渐上升：a

0<a<1时，图象逐渐下

当0<a<7时，y=logx是减函

降。a

数

(三)典型例题

例.(教材例).求下列函数的定义域:

2

()y=logax()y=loga(4-x)

解：(略)

说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对

数函数的理解.

巩固练习：(教材练习).

例.(教材例)比较下列各组数中两个值的大小：

()log23.4,log28.5

(「)l°g()3L8，l°g0,32.7

()10gll5.1,10gti5.9(a>0,a*7)

解：(略)

说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性”比较两个数的大小”的方

法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法.

注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法,

规范解题格式.

巩固练习：(教材练习).

例.（教材例）溶液酸碱度的测量。

溶液酸碱度是通过刻画的。的计算公式为PH=—劭"+4其中/H+/

表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升。

（）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中

氢离子的浓度之间的变化关系；

（）已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔开•，计算纯净水的。

解：（略）

说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为

数学问题.

注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象.

巩固练习：（教材习题.组第题）.

（四）归纳小结，强化思想

本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质.在理解对数函数的

定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点.

（五）作业布置

1.必做题：教材习题.（组）第、、、题.

2.选做题：教材习题.（组）第题.

.探索与发现：当a取，，时，画出对数函数的图象，由所画

图象归纳：当底数a满足a>7时，对数函数的图象上升的快慢与底数的

大小有什么关系?当底数。满足0<a</时，你又能发现什么规律？

教学反思略

课题§对数函数（）

教学目标()进一步理解对数函数的图象和性质；

。熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；

()通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力.

()培养学生数形结合的思想以及严谨的科学态度.

教学重点对数函数的图象和性质.

教学难点对数函数的性质的综合运用

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教学时数一课时教具计算机

§对数函数()

回顾与总结例例

板书设计

例例

例例

(-)回顾与总结

1.双.

1..「

=log2x,3^=log5x,y=Igx的

图象如图所示，回答下列问题.。七

()说明哪个函数对应于哪个图象，

并解释为什么？"":

()函数y=log”x与05：

y=logix(a>0,且。/I)有什么关-1：

a

系？图象之间又有什么特殊的关系？

教学过程

()以y=log2X,y=log5X,y=lgx的E引象为基础，在同一坐标系中

画出y=log,=log]=log]x的图笏

25K)

()已知函数y=log3x,y=log%x，y=i°g%x，y=i°g%%

的图象，则底数之间的关系：。

思考：底数a是如何影响函数y=log“x的.X

；

(学生独立思考，师生共同总结)/T'\y=lOk

X

规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数t//

的底数逐渐变大."/'乂=X

2.完成下表(对数函数y=108“无(。>0,且〃？0)的图象和性质)

0<Q<1a>1

图象

定义域

值域

性质

3.根据对数函数的图象和性质填空.

已知函数y=log2X,则当X>0时，yE；当X>1时，yG；当0<X<1

时，ye；当x>4时，yG.

已知函数y=log1x,则当0vxvl时，ye；当x>l时，yw；当x>5

3

时，ye；当0vxv2时、yG；当y>2时，xe.

（-）应用举例

例L比较大小：10g6/71,log,6（〃>0,且。00）;

12

log2—,log2（tz+Q+1）（4£R）.

③logJ5,log,5,log45,log95

32

解：（略）

例.已知log“（3a-l）恒为正数，求a的取值范围.

解：（略）

［总结点评］:（由学生独立思考，师生共同归纳概括）.

例.求函数/（x）=取―炉+8x—7）的值域.

解：（略）

注意：函数值域的求法.

例.（）函数y=log“x在［,］上的最大值比最小值大，求。的值；

（）求函数y=1083（＞2+6彳+10）的最小值.

解：（略）

注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法.

］—X

例.已知/（x）=-X+log2----

1+X

（）/（」一）+/（--L）的值；

20052005

（）当xe（—a,a］（其中且为常数）时，（）是否存在最小值，如果存

在，求出最小值；如果不存在，请说明理由.

（三）归纳小结：

本节课的目的是进一步理解对数函数的图象和性质，重点是应用对数函数的

性质解决一些综合问题。

（四）布置作业：

1、必做题：新教材新学案“、、、、

2、选做题；新教材新学案必、

3、探究题：是否存在实数。，使函数=在区间［,1

上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由。

教学反思略

课题§对数函数（）

教学目标、理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型

化思想的

理解.

、通过作图，体会两种函数的单调性的异同.

、体会指数函数与对数函数内在的对称统一.

、体会对数函数与对数；进一步领悟数形结合的思想.

教学重点两种函数的内在联系，反函数的概念.

教学难点反函数的概念.

课的类型研究课

教学时数一课时教具计算机

§对数函数()

材料一组织探究材料二

板书设计材料一

材料二

教学过程

创设情境------由函数的观点分析例题，引出反函数的概念.

组织探究------两种函数的内在联系，图象关系.

尝试练习------简单的反函数问题.

巩固反思------从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对

—I—数函数的定义、图象、性质作一小结.

课外活动互为反函数的函数图象的关系.

材料一：

当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减，大约每经过年衰减

为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据这些规律，人们获得了生物体碳

含量与生物死亡年数之间的关系.回答下列问题：

()求生物死亡年后它机体内的碳的含量，并用函数的观点来解释和之间的

关系，指出是我们所学过的何种函数？

()已知一生物体内碳的残留量为，试求该生物死亡的年数，并用函数的观

点来解释和之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

学生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果.

教师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：

和之间的对应关系是一一对应；

关于是指数函数尸=(57出)

关于是对数函数，=l°grrP,它们的底数相同，所描述的都是碳的衰变

573归

\2

过程中，碳含量与死亡年数之间的对应关系；

O这两个函数有什么特殊的关系？

本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系(碳含量与

死亡年数之间的对应关系)的不同数学模型.

()由此你能获得怎样的启示？

材料二：

由对数函数的定义可知，对数函数y=log2x是把指数函数y=2'中的自变

量与因变量对调位置而得出的，在列表画y=log2X的图象时，也是把指数函数

V

y=2的对应值表里的尤和y的数值对换，而得到对数函数y=log2x的对应值

表，如下：

在同一坐标系中，用描点法画出图象.

学生：仿照材料一分析：丁=2、与丁=1。82%的关系.

教师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念.

组织探究：

材料一：反函数的概念：

在指数函数y=2*中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x

当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，

请说明理由.

引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.

在指数函数y=2'中，x是自变量(xeR),y是x的函数，

(ye(0,48)),而且它是上的单调递增函数。可以发现，过y轴上任意一点

作x轴的平行线，与y=2"的图象有且只有一个交点。另一方面，根据指数与对

数的关系，由指数式y=2'可得到对数式x=/og2y。这样，对于任意一个

ye(0,+co),通过式子x=/og2y，x在中都有唯一确定的值和它对应。也就

是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=/og2y

(je(0,+oo))是函数y=2*(xGR)的反函数(inversefunction)(.

在函数x=/og2y中，y是自变量，x是函数。但习惯上，我们通常用x表

示自变量，y表示函数。为此，我们常常对调函数x=/og2y中的字母X，％把

它写成y=/og2*，这样，对数函数J=/og2X(XG(0,+8))是指数函数

y=2'(xwR)的反函数。

由上述结论可知，对数函数y=log2x(xe(0,k))是指数函数y=2*

(xeR)的反函数；同时，指数函数y=2'(xeR)也是对数函数y=/og2*

(XG(0,+8))的反函数。因此，指数函数y=2"(XGR)与对数函数

y=log2x(xe(0,+8))互为反函数

学生：仿照以上过程说明指数函数y=a*(a>0,且arl)与对数函数

y=log(Jx(a>0,且a#1)互为反函数。

教师：说明：

()互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；