第14讲 平行线与相交线中的三种模型（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（解析版）

第14讲平行线与相交线中的三种模型（核心考点讲与练）模型一：猪脚模型一．填空题（共2小题）1．（2021春•徐汇区期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，则下列四个结论中：①∠1＝∠2；②∠2+∠4＝90°；③∠1+∠3＝90°；④∠4+∠5＝180°．正确的序号是①②③④．【分析】利用平行线的性质直接判断①④，再利用平角判断②，最后判断③．【解答】解：由已知知：∠6＝90°，AB∥CD．∵AB∥CD，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2，∠4+∠5＝180°，故①④正确；∵∠2+∠6+∠4＝180°，6＝90°，∴∠2+∠4＝90°，故②正确；∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，∠2+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，故③正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等（同旁内角互补）”是解决本题的关键．2．（2017春•闵行区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于60°．【分析】作辅助线，过点O做OP∥AB∥CD，再结合两直线平行内错角相等的性质，即可得出∠3的度数．【解答】解：过点O做OP∥AB∥CD，∴∠A＝∠AOP＝30°，∠D＝∠POC，∵∠2＝90°，即∠AOC＝90°，∴∠POC＝60°，∴∠POC＝60°．故答案为：60．【点评】本题主要考查了对平行线性质的综合应用，关键在于做对辅助线，找出相等的内错角，结果便一目了然．二．解答题（共4小题）3．（2021春•徐汇区期中）如图，点E、F分别在DA和CB的延长线上，已知∠A＝∠C，AB∥CD，那么∠E与∠F相等吗？请说明理由．【分析】由平行线性质及∠A＝∠C得到AD与BC的关系，再利用平行线的性质得结论．【解答】解：相等．理由：∵AB∥CD（已知），∴∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A＝∠C（已知），∴∠A+∠ABC＝180°（等量代换）．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．4．（2021春•青浦区期中）已知，直线AB∥CD（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．【解答】（1）过点G作GE∥AB，因为AB∥GE，所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，因为AB∥GE，AB∥CD，所以GE∥CD（平行的传递性），所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．（2）过点G作GF∥AB，因为AB∥GF，所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），因为AB∥GF，AB∥CD，所以GF∥CD（平行的传递性），所以∠C＝∠CGF，所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，因为∠A＝x°，∠C＝y°所以∠AGC＝（x+y）°，（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，∠FGC＝∠NFG+GCD，而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．【点评】本题考查平行线的性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．5．（2018春•浦东新区期中）（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？解：过点E作EF∥AB①，如图（b），则∠ABE+∠BEF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（已知）所以∠FED+∠EDC＝180°（等式的性质）所以FE∥CD②（同旁内角互补，两直线平行）由①、②得AB∥CD（平行线的传递性）．（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件∠1+∠3＝∠2时，有AB∥CD．（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B+∠E+∠F+∠D＝540°时，有AB∥CD．【分析】（1）过点E作EF∥AB．由两直线平行，同旁内角互补及已知条件∠B+∠E+∠D＝360°求得∠FED+∠EDC＝180°；然后根据平行线的传递性证得AB∥CD；（2）过点E作EF∥AB．由两直线平行，内错角相等求得∠1＝∠BEF；再用已知条件∠1+∠3＝∠2，∠2＝∠BEF+∠DEF推知内错角∠3＝∠DEF，所以EF∥CD；最后根据平行线的传递性得出结论；（3）过点E、F分别作GE∥HF∥CD．根据同旁内角互补以及已知条件求得同旁内角∠ABE+∠BEG＝180°，所以AB∥GE；最后根据平行线的传递性来证得AB∥CD．【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图（b），则∠ABE+∠BEF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°，（已知）所以∠FED+∠EDC＝180°，（等式的性质）所以FE∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）∴AB∥CD（或平行线的传递性）．（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件∠1+∠3＝∠2时，有AB∥CD．理由：过点E作EF∥AB．∴∠1＝∠BEF；∵∠1+∠3＝∠2，∠2＝∠BEF+∠DEF，∴∠3＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD（平行线的传递性）；（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B+∠E+∠F+∠D＝540°时，有AB∥CD．理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD．则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；又∵∠B+∠E+∠F+∠D＝540°，∴∠ABE+∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD；故答案是：（1）两直线平行，同旁内角互补、已知、180、同旁内角互补，两直线平行或平行线的传递性；（2）∠1+∠3＝∠2；（3）∠B+∠E+∠F+∠D＝540°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．6．（2008春•崇明县期末）（1）如图1，已知直线m平行于直线n，折线ABC是夹在m与n之间的一条折线，则∠1、∠2、∠3的度数之间有什么关系？为什么？（2）如图2，直线m依然平行于直线n，则此时∠1、∠2、∠3、∠4之间有什么关系？（只需写出结果）【分析】（1）过点B作DE∥m，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得到结论．（2）过点B作BE∥m，过点C作CF∥m，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得到结论．【解答】解：（1）点B作DE∥m．（1分）因为DE∥m（已知），所以∠1＝∠ABE（两直线平行，内错角相等）．（1分）因为m∥n，且DE∥m（已知），所以DE∥n（平行于同一条直线的两条直线互相平行），（2分）所以∠3＝∠EBC（两直线平行，内错角相等），（1分）因为∠2＝∠ABE+∠EBC，所以∠2＝∠1+∠3（等量代换）；（1分）（2）∠1+∠3＝∠2+∠4．（2分）【点评】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．正确作辅助线是解题关键．（2）中将∠2、∠3拆分是解题的关键．模型二：铅笔模型1．（2014春•闵行区期中）探究并尝试归纳：探究1如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明．探究2如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝540度．探究3如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：180•（n+1）°【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：探究一：过A作AB∥直线a，则AB∥直线b，∴∠1+∠3＝∠4+∠2＝180°，∴∠1+∠2+∠A＝360°；探究二：过A作AC∥直线a，BD∥直线a，则AC∥BD∥直线b，∴∠1+∠3＝∠5+∠6＝∠4+∠2＝180°，∴∠1+∠2+∠A+∠B＝540°，故答案为：540；探究三：由探究一，探究二知，当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和＝180•（n+1）°，故答案为：180•（n+1）°．【点评】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．模型三：锯齿模型一．选择题（共3小题）1．（2021秋•宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．（2021春•漯河期中）如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD∥AB”．其依据是（）A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据．【解答】解：根据作图过程可知：画图的依据是：同位角相等，两直线平行．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．3．（2021•旌阳区模拟）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（）A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质，解题的关键是是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角．二．填空题（共1小题）4．（2022春•泰兴市校级月考）如图，直线AB∥CD，∠B＝66°，∠D＝37°，则∠E的度数是29°．【分析】由平行线的性质可求得∠CFE＝∠B＝66°，再利用三角形的外角性质即可求∠E的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠B＝66°，∴∠CFE＝∠B＝66°，∵∠CFE是△DEF的外角，∠D＝37°，∴∠E＝∠CFE﹣∠D＝66°﹣37°＝29°．故答案为：29°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．三．解答题（共3小题）5．（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若∠ABE＝140°，∠DCE＝120°，求∠BEC的度数．老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．解：如图②，过点E作EF∥AB．∴∠BEF+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠ABE＝140°，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣140°＝40°．∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．∴∠CEF+（∠DCE）＝180°．∴∠DCE＝120°，∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣120°＝60°．∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝（180）°．【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若∠DEP＝40°，∠GFP＝30°，求∠EPF的度数．【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若∠DEP＝α，∠GFP＝β，直接写出∠EPF与α、β之间的数量关系．【分析】【阅读理解】：如图②，过点E作EF∥AB，根据推理步骤，写出理由；【问题迁移】：如图，过点P作PQ∥DE，先求出∠EPQ＝∠DEP＝40°，再求∠FPQ＝∠GFP＝30°，得∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝70°，【拓展应用】当点P在线段DG上，过点P作PQ∥DE，先证明∠EPQ＝∠DEP＝α，再证明∠FPQ＝∠GFP＝β，得∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝α+β，当点P在线段DG的延长线上时，先证明∠FHE＝∠DEP＝α，已知∠EPF＝∠FHE﹣∠PFA，得∠EPF＝α﹣β．【解答】解：【阅读理解】如图②，过点E作EF∥AB．∴∠BEF+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠ABE＝140°，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣140°＝40°．∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．∴∠CEF+（∠DCE）＝180°．∴∠DCE＝120°，∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣120°＝60°．∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝（100）°．故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；100；【问题迁移】如图，过点P作PQ∥DE，∴∠EPQ＝∠DEP＝40°，∵DE∥FG，∴PQ∥FG，∴∠FPQ＝∠GFP＝30°，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝70°，【拓展应用】当点P在线段DG上，过点P作PQ∥DE，∴∠EPQ＝∠DEP＝α，∵DE∥FG∴PQ∥FG，∴∠FPQ＝∠GFP＝β，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝α+β，当点P在线段DG的延长线上时，∴∠FHE＝∠DEP＝α，∵∠EPF＝∠FHE﹣∠PFA，∴∠EPF＝α﹣β，∴∠EPF＝α+β或∠EPF＝α﹣β．【点评】本题考查了平行线的性质与判定、三角形的外角性质、角的和差等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．6．（2022春•义乌市校级月考）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠4＝∠A，试说明∠ACB＝∠DEB．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵∠1+∠5＝180°（平角的意义），∴∠2＝∠5（同角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴∠3＝∠A（等量代换），∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行），∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵∠1+∠5＝180°（平角的意义），∴∠2＝∠5（同角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴∠3＝∠A（等量代换），∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行），∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．故答案为：内错角相等，两直线平行；∠4；∠3；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．7．（2022春•阳高县月考）问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的