2020年湖南省永州市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

永州市2020年初中学业水平考试

数学（试卷卷）

温馨提示：

1.本试卷包括试卷卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上

作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.

2.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回.

3.本试卷卷共6页，如有缺页，请声明.

4.本试卷卷共三道大题，26个小题.满分150分，考试时量120分钟.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每个小题只有一个正确选项，请将正确的

选项填涂到答题卡上）

1.-2020相反数为（）

11

A----------B.2020C.-2020D.-------

20202020

2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育.下列安全图

标不是轴对称的是（）

注意安全水深危险必须戴安全帽

3.永州市现有户籍人口约635.3万人，贝上现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）

A.6.353xlO5AB.63.53xlO5AC.6.353xlO6AD.0.6353xlO7

4.下列计算正确是（)

A.crb+lab1=3^B.+/=C.a6-a3=/D.'=a5

5.已知一组数据1,2,8,6,8对这组数据描述正确的是（）

A.众数8B.平均数是6C.中位数是8D.方差是9

6.如图，已知=.能直接判断△ABC/△OCB的方法是（）

C.SSSD.ASA

7.如图，已知PA必是。的两条切线，A,3为切点，线段0P交O。于点给出下列四种说法：①%=依；

②0P_LA8；③四边形。有外接圆；④M是,AQP外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2

8.如图，在ABC中,EF//BC,—=-,四边形BCEE的面积为21,贝1ABC的面积是（）

EB3

A.—B.25C.35D.63

3

9.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）

C.V3D.26

10.已知点p（xo,%）和直线y=^+b,求点p到直线y=履+力的距离”可用公式d=画兽科计算.根据以上

A/1+A:2

材料解决下面问题：如图，C的圆心C的坐标为（1,1）,半径为1,直线/的表达式为y=-2x+6,尸是直线/

上的动点，。是。上的动点，则PQ的最小值是（）

3亚375,「6亚

RD.1C.D.2

5--------------5----------------5

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡的答案栏内）

11.在函数y一中，自变量x的取值范围是.

x-3

12.方程组xI+-y=?4一的解是

2x-y=2

13.若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是.

14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试.从七年级随机抽取

了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：

成绩90<x<10080<x<9070<x<8060<x<70x<60

人数2515541

根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人.

15.已知圆锥的底面周长是TT上分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米.

2

16.已知直线a〃力，用一块含30。角直角三角板按图中所示的方式放置，若Nl=25。，则N2=

17.如图，正比例函数）=一％与反比例函数丁=-9的图象交于A,C两点，过点A作轴于点8,过点C作

X

CDLx轴于点。，则AAB£＞的面积为.

18.44。8在平面直角坐标系中的位置如图所示，且NAQB=60°,在NAOB内有一点尸（4,3）,M,N分别是

边上的动点，连携PM,PN,MN.则PMN周长的最小值是.

三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：2020°+我sin30°-(g).

'1a+2a1-la+V

20.先化简，再求值:■(a+2),其中a=2.

、a+la2-1。2+4。+4,

21.今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动.赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为

人B,C,。四个等级，A：90<S<100,B:80<S<90,C：70<5<80,D:5<70,并绘制了如下两幅

不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)请把条形统计图补充完整.

(2)扇形统计图中"?=,〃=B等级所占扇形的圆心角度数为.

(3)该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有

两名男生(用A，4表示)，两名女生(用用，灰表示)，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名

女生的概率.

22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60。方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行.已

知在A海岛周围50海里水域内有暗礁.(参考数据：73«1.73,»2.24,V7*2.65)

(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由.

(2)渔船航行3小时后到达C处，求A,C之间的距离.

23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数

相同.其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知购进一次性医用外科口罩的单价比

N95口罩的单价少10元.

(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？

(2)该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩

多少只？

24.如图，A6C内接于O,A8是。0的直径，BD与OO相切于点8,3。交AC的延长线于点。，E为8□的

中点，连接CE.

(1)求证：CE是的切线.

(2)已知BD=3底CD=5,求。，E两点之间的距离.

25.在平面直角坐标系x。)‘中，等腰直角ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点人B在x轴上，且A8=4,

抛物线经过A,B,C三点，如图1所示.

(1)求抛物线所表示的二次函数表达式.

(2)过原点任作直线/交抛物线于N两点，如图2所示.

①求△CMN面积的最小值.

②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P,使得点尸与点。关于直线/对称，若存在，求出

点P的坐标及直线/的一次函数表达式；若不存在，请说明理由.

26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm,长足够的矩形纸条.探究两张纸条

叠放在一起，重叠部分的形状和面积.如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45。的角，将该纸

条从右往左平移.

图1图2

(1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状.

(2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCO是菱形.

(3)设平移的距离为xcm(O<x<6+60),两张纸条重叠部分的面积为sen?.求s与x的函数关系式，并求s

的最大值.

永州市2020年初中学业水平考试

数学（试卷卷）

温馨提示：

1.本试卷包括试卷卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上

作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.

2.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回.

3.本试卷卷共6页，如有缺页，请声明.

4.本试卷卷共三道大题，26个小题.满分150分，考试时量120分钟.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每个小题只有一个正确选项，请将正确的

选项填涂到答题卡上）

L—2020的相反数为（）

1

C.-2020D.---------

2020

【答案】B

【分析】

直接利用相反数的定义求解.

【详解】—2020的相反数为-（-2020）=2020.

故选B.

【点睛】考查了相反数，解题关键是正确理解相反数的定义.

2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育.下列安全图

标不是轴对称的是（）

【答案】D

【分析】

根据轴对称图形的概念求解.

【详解】解：A、轴对称图形，故本选项不合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

3.永州市现有户籍人口约635.3万人，贝IJ“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是()

A.6.353x1()5人B.63.53xlO5AC.6.353xlO6AD.0.6353xlO7

【答案】c

【分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lw|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点

移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n

是负数.

【详解】635.3万=6.353x106,

故选：C.

【点睛】此题考察科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1,按此方法

即可正确求解.

4.下列计算正确的是()

A.a2b+2ab2B.a^a^a2C.a^a^a9D.(/丫=/

【答案】C

【分析】

根据整式的加法计算法则，同底数鬲乘法计算法则，同底数累除法计算法则，鬲的乘方计算法则依次判断即可.

【详解】A、a2b与2出？不是同类项，不能合并，故该项错误；

B、a6^a3=a3,故该项错误；

C、a6-a3=a9,故该项正确；

D、(/)2=/故该项错误；

故选：C.

【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的加法计算法则，同底数鬲乘法计算法则，同底数帚除法计算法则,

事的乘方计算法则是解题的关键.

5.已知一组数据1,2,8,6,8对这组数据描述正确的是（）

A.众数是8B.平均数是6C.中位数是8D.方差是9

【答案】A

【分析】

求出该组数据的平均数、众数、中位数及方差，再依次判断即可.

【详解】将数据由小到大重新排列为：1,2,6,8,8,

.。.中位数为6,众数为8,

,1+2+6+8+8

平均数为--------------5,

方差为：-[(1-5)2+(2-5)2+(6-5)2+2X(8-5)2]=8.8,

正确的描述为：A,

故选：A.

【点睛】此题考查统计是计算，正确掌握数据的平均数、众数、中位数及方差的计算方法是解题的关键.

6.如图，已知A8=OC,NA8C=N£>C8.能直接判断△ABC四△OCB的方法是（）

c.sssD.ASA

【答案】A

【分析】

根据三角形全等的判定定理解答.

【详解】在aABC和4DCB中，

AB=DC

<NABC=NDCB,

BC=CB

：.△ABC^ADCB（SAS）,

故选：A.

【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL,根据已知条件找到全等所需的对应相等

的边或角是解题的关键.

7.如图，已知PAPB是〉0的两条切线，A,8为切点，线段0P交于点给出下列四种说法：①=；

②OPLAB；③四边形。4PB有外接圆；④M是AOP外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一

半，判断③，利用反证法判断④.

【详解】解：如图，PA,PB是。的两条切线，

：.PA=PB,NAPO=NBPO,故①正确，

PA=PB,ZAPO=NBPO,

：.PO±AB,故②正确，

PA,PB是。的两条切线，

ZOAP=ZOBP=90°,

取OP的中点。，连接AQ,BQ,

则AQ=g。尸=8Q,

所以：以。为圆心，Q4为半径作圆，则B,O,P,A共圆，故③正确，

M是.AOP外接圆的圆心，

.-.MO=MA=MP=AO,

ZAOM=60°,

与题干提供的条件不符，故④错误，

综上：正确的说法是3个，

故选C.

【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键.

2

8.如图，在A8C中，EF//BC,—四边形3CFE的面积为21,贝/ABC的面积是（）

EB3

A.—B.25C.35D.63

3

【答案】B

【分析】

在，A3C中，EF//BC,即可判断AEF^ABC,然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结

果.

【详解】解：•/EF//BC

:.ZAEF=/B,ZAFE=/C

：.AEFsABC

..AE_2

,EB"3

.AE2

••---——

AB5

:‘S.AEB/2丫=4

S.ABC15J25

.SAEB=4

S四边形BCFE21

・・q=?i

•U四边形6(7尸£一

・，・SAEB=4

・・・S配二25

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.

9.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）

C.73D.2百

【答案】D

【分析】

根据三视图确定底面等边三角形的边长为2,该几何体的高为2,再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可.

【详解】由三视图可知：底面等边三角形边长为2,该几何体的高为2,

该几何体的左视图为长方形，

该长方形的长为该几何体的高2,宽为底面等边三角形的高，

•底面等边三角形的高=2xsin60=2x1C=JJ,

2

它的左视图的面积是26，

故选：D.

【点睛】此题考查简单几何体的三视图，能根据几何体会画几何体的三视图，能依据三视图判断几何体的长、宽、

高的数量，掌握简单几何体的三视图是解题的关键.

10.已知点P（x0,%）和直线y=kx+b,求点尸到直线y="+6的距离d可用公式d=画二年」计算.根据以上

材料解决下面问题：如图，二C的圆心C的坐标为（1,1）,半径为1,直线/的表达式为y=-2x+6,尸是直线/

上的动点，。是C上的动点，则PQ的最小值是（）

B.--1C.D.2

普55

【答案】B

【分析】

过点C作直线1的垂线，交C于点Q,交直线1于点P,此时PQ的值最小，利用公式计算即可.

【详解】过点C作直线1的垂线，交于点Q,交直线1于点P,此时PQ的值最小，如图，

|线一为+4|—2x1-1+6|3A/5

•••点C到直线1的距离d-EJl+（-2『一5，℃半径为「

/.PQ最小值是上一1,

5

故选：B.

L

【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位

置是解题的关键.

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分,共32分.请将答案填在答题卡的答案栏内）

11.在函数y=」一中，自变量x的取值范围是一

x-3

【答案】xr3

【分析】

根据分式有意义的条件，即可求解.

【详解】•.•在函数y=」一中，x-3/O,

x-3

；・x#3.

故答案是："3.

【点睛】本题主要考查函数的自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键.

x+y=4

12.方程组I、°的解是

2x-y=2

x=2

【答案】c

y=2

分析】

直接利用加减消元法求解.

【详解】k二

2x-y=2(2)

由①+②得：3x=6,

解得x=2,

把x=2代入①中得，y=2,

x=2

所以方程组的解为4..

卜=2

故答案为乂x=c2.

卜=2

【点睛】考查了解二元一次方程组，解题关键是利用加减消元法实现消元.

13.若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是.

【答案】m>-4.

试卷分析：：由已知得：△=b?-4ac=(-4)2-4xlx(-m)=16+4m>0,解得：m>-4.

考点：根的判别式.

14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试.从七年级随机抽取

了50名学生的测试成绩(百分制)，整理样本数据，得到下表：

成绩90<x<10080<x<9070<x<8060<x<70x<60

人数2515541

根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人.

【答案】480

【分析】

用七年级的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案.

【详解】600x^^=480（人）

故答案为:480.

【点睛】此题考查用样本的比例估计总体的比例，由此求出对应的总体中的人数，正确理解用样本估计总体的方法

是解题的关键.

15.已知圆锥的底面周长是公分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米.

2

【答案】-

4

【分析】

根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是

扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解.

7T

【详解】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为一分米，扇形的半径等于母线长为1

2

分米，

iITTTT

根据%=5很得,§扇=了54=7平方分米-

故答案为J四T.

4

【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握圆锥的侧面展开图是解答本题的关键.

16.已知直线a//b,用一块含30。角的直角三角板按图中所示的方式放置，若Nl=25°,则N2=.

b

【答案】35。

【分析】

如图，标注字母，延长即交。于C,利用平行线的性质证明N2=NDC4,,三角形的外角的性质证明

ZBDE=ZDCA+Z1,从而可得答案.

【详解】解：如图，标注字母，

延长E£＞交。于C,

由题意得：=30°,ZDEB=90°,

：.NBDE=60°,

a!lb,

：.Z2=ZDCA,

NBDE=ZDCA+Zl,Z1=25°,

ZDC4=60°-25o=35°,

.-.Z2=35°.

故答案为：35°.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键.

17.如图，正比例函数y=-x与反比例函数y=-9的图象交于A,C两点，过点A作A3,无轴于点8,过点C作

【答案】6

【分析】

根据函数解析式算出A、D的坐标，再根据三角形面积公式求出即可.

【详解】令—x=—9,解得x=±#,

X

•A(—V6,A/6),C(-\/6,—A/6)-

.,.B(-V6,0),D(V6,0).

则BD=2^,AB=«,

/.SAABD=—•BD-AD=—x2>/6x瓜=6.

22

故答案为：6.

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于利用联立解析式求解交点.

18.ZAQB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且NAOB=60°,在NA08内有一点尸(4,3),M.N分别是

0A0B边上的动点，连接PM,PN,MN,贝UPAW周长的最小值是

【答案】4亚

【分析】

分别作出点P关于0A和0B的对称点［和鸟，连接4鸟，分别与0A和0B交于点M和N,此时，4£的长

即为PMN周长的最小值.

【详解】解：分别作出点P关于0A和OB的对称点耳和鸟，则鸟(4,-3),连接《外，分别与0A和0B交于

点M和N,此时，44的长即为PMN周长的最小值.

由NAO8=60°可得直线0A的表达式为y=2x,设R(x,y),由尸।g与直线0A垂直及<P,中点坐标在直线0A

上可得方程组：

匕32=_]

<x-4

y+3=2户4

.~2~~-2

x=0

解得：u

[y=5

则4(0,5),

由两点距离公式可得：

桃=J(0-4)2+(5+3)2=475

即，PMN周长的最小值4蓬.

故答案为46.

【点睛】本题考查了轴对称变换中的最短路径问题，解题关键在于找出两个对称点，利用方程求出点耳的坐标.

三、解答题(本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

19.计算：2020°+我sin30°-(g).

【答案】0

【分析】

依次计算零指数黑，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数鬲，最后相加减即可得出答案.

【详解】解：原式=l+2x，-2

2

=1+1-2

=0

【点睛】此题主要考查了实数的运算以及特殊的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键.

a+2ci~—2a+1

2。.先化简，再求值・3+2),其中a=2.

a2-1a2+4a+4^

3

【答案】—,1

【分析】

先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可.

1a+2a?—2a+1

【详解】解：•(47+2)

a+1ci~~1a~+4a+4.

1a+2（。一I）?],「、

屋丁即f而7方『"+2）

-------------------------・(a+2)

a+1(a+1)(〃+2)

Q+2ci—1

Q+1a+1

3

4+1

3

当。=2时，原式=----=1

2+1

【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键.

21.今年6月份，永州市某中学开展“六城同仓『知识竞赛活动.赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为

A,B,C,。四个等级，>4:90<S<100,B：80<S<90,C:70<S<80,D:S<70,并绘制了如下两幅

不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)请把条形统计图补充完整.

(2)扇形统计图中"?=,〃=B等级所占扇形的圆心角度数为.

(3)该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有

两名男生(用A，4表示)，两名女生(用用，灰表示)，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名

女生的概率.

2

【答案】(1)见解析；(2)15,5,252°；(3)y

【分析】

(1)先求出总人数，减去A、B、D等级的人数即可补充统计图；

(2)利用每个等级是人数除以总数再乘以100%求出m与n,根据百分比乘以360。求出B等级所占圆心角的度数；

(3)列树状图解答.

【详解】解：⑴总人数为28+70%=40(人)，

C等级的人数为：40-4-28-2=6(人)，

补充统计图：

ABCD等级

(2)W%=AXIOO%=15%,n%=—X100%=5%,

4040

8等级所占扇形的圆心角度数为70%x360=252,

故答案为：机=15,〃=5,252°；

(3)列树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的有8种，

Q9

.••P(1男，1女)

123

【点睛】此题考查统计的计算：求调查的总人数，计算部分的百分比，计算部分的圆心角的度数，还考查了利用列

树状图求事件的概率.

22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60。方向，距A海岛60海里的8处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行.已

知在A海岛周围50海里水域内有暗礁.(参考数据:73«1.73,A/5«2.24,77«2.65)

(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由.

(2)渔船航行3小时后到达C处，求A,C之间的距离.

【答案】⑴没有危险，理由见解析；⑵79.50海里

【分析】

(1)过A点作AQ_LBC于点在Rt/VlBO中求出AD与50海里比较即可得到答案；

(2)在RtZVLBO中求出BD得到CD,再根据勾股定理求出AC.

【详解】解：(1)过A点作于点£>,

ZADB=ZADC=90。,

由题意可得NB=60°,

...在RtAAB。中，AO=A8sin60°=60x3=306a51.9>50,

2

•••渔船在航行过程中没有触礁的危险；

(2)在RtAAB。中，B£)=ABcos60°=30.

•；BC=3x30=90.

DC=9()-30=6(),

在RtADC中，AC=\lAD2+CD2=7(3073)2+602=30>/7®79.50，

即AC之间的距离为79.50海里.

【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角

形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.

23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数

相同.其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知购进一次性医用外科口罩的单价比

N95口罩的单价少10元.

(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？

(2)该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩

多少只？

【答案】(1)一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元；(2)药店购进一次性医用口罩至少1400只

【分析】

⑴设一次性医用口罩单价为X元，则N95口罩的单价为（X+10）元，列分式方程求解即可；

（2）设购进一次性医用口罩），只，根据题意列不等式求解即可.

【详解】解：（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为（X+10）元

1600_9600

由题意可知,

xx+10

解方程得x=2.

经检验x=2是原方程的解，

当x=2时，x+l（）=12.

答：一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元.

（2）设购进一次性医用口罩y只

根据题意得2y+12（2000-y）＜10000,

解不等式得y21400.

答：药店购进一次性医用口罩至少1400只.

【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握列分式方程与列不等式是解题的关键.

24.如图，ABC内接于一是」O的直径，与（。相切于点B,BO交AC的延长线于点。，E为8D的

中点，连接CE.

⑴求证：CE是—。的切线.

（2）已知8D=3&,CD=5,求。，E两点之间的距离.

9

【答案】⑴见解析；（2）-

2

【分析】

(1)连接0C,先推出NBCD=90°,然后根据CE是用ABC。斜边8。上的中线，得出CE=B£,从而可得

NEBC=NECB,根据8。与二0相切，得到NQBC+NE5C=9()。，

可得NOCB+NECB=90°,即NOCE=90。，即可证明CE是。的切线；

(2)连接OE,先证明△BC—AABO,可得处=乌，可求出AD,根据。£是的中位线,

即可求出

ADBD

OE.

【详解】(1)证明：连接0C,

OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,

；AB是的直径,

•••ZAC8=90。，则NBCD=90。，

•••CE是RMCD斜边BD上的中线，

:.CE=BE.

：.NEBC=/ECB,

BO与。。相切，

?.ZABD=90°,即ZOBC+ZEBC=90°,

ZOCB+ZECB=90°,即NOCE=90°,

/.OCLCE,

/.CE是:0的切线；

(2)连接OE,

D

■:4D=4D,ZBCD^ZABD,

：.ABCD^^ABD,

-B-D-=-C--D-.即…(3^t)-2=5A£),

ADBD

A£>=9,

OE是△ABO的中位线,

：.OE

22

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定进而性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中

线等于斜边上的一半，掌握知识点，结合现有条件灵活运用是解题关键.

25.在平面直角坐标系X。）‘中，等腰直角ABC的直角顶点C在），轴上，另两个顶点A,B在X轴上，且A8=4,

抛物线经过A,B,C三点，如图I所示.

(1)求抛物线所表示的二次函数表达式.

(2)过原点任作直线/交抛物线于M,N两点，如图2所示.

①求△CMN面积的最小值.

②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P,使得点P与点。关于直线/对称，若存在，求出

点P的坐标及直线/的一次函数表达式；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=^x2—2；(2)①4；②点尸(G,—5),y=(1-或点6,-万)，y=(1+y/3)x

【分析】

(1)设抛物线的解析式为y=+"+盘根据等腰直角三角形的性质得到A,B,C三点的坐标，代入解析式即可

得到答案；

(2)①设直线/的解析式为丫=履，交点例(司,必)，Nl%,为)，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元

二次方程根与系数的关系得到归-马|,利用面积与k的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点

使得点p与点。关于直线/对称，利用对称得：OP=OQ列方程求解〃?,再求点P的坐标及直

线/的一次函数表达式即可.

【详解】解：(1)设抛物线的解析式为y=o?+加:+。，

在等腰Rr.ABC中，0C垂直平分AB,且AB=4,

/•OA=OB=OC=2.

・・・A(—2,0)3(2,0)C(0,-2)

4。+2。+c=0

v4〃-2/7+c=0,

c=-2

，1

a--

2

解得：b=0

c=-2

.♦•抛物线的解析式为y=2

（2）①设直线/的解析式为〉=依，交点M（X1,%），N（W，M）

y=~1x2-2°

由«2

可得山2_履_2=0,

2

%+%2=2Z,-x2=-4.

22

・*.(%1-x2)=(%j+x2)-4XJX2=4攵2+16,

2

**•|xj-x2|=2>]k+4.

2

,,SCMN~SOCM+SOCN—].OC-|xj~x2|=2y1k+4.

・・・当左=0时，2>/公+4取最小值4.

:.S.CMN的最小值是4・

②假设抛物线上存在点FL,1m2-2j,使得点P与点。关于直线/对称,

；加3=1，加4=一"（不合题意,舍去）

当町=6时，点退,一；），线段尸。的中点为