《数学归纳法的应用》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】

环节二数学归纳法的应用教学设计

复习导入

问题1:什么时候需要应用数学归纳法？

答案：例如，要证明对任意的正整数〃，等式(〃-1)(〃+2)=〃2+〃—2恒成立，可以

直接利用多项式的乘法法则，左边展开，合并同类项，就能得到右边.这时，我们就不必

应用数学归纳法了.再如，证明(1+工)”(〃wN*)的单调性，用数学归纳法就难以实现.

n

例1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？

求证：『+2?+…+〃2=_L〃(〃+D(2〃+I)(«€N,).

6

证明：假设当〃=时，等式成立，即

12+22+---+^2=-^+1)(2^+1),则当〃=%+1时，有

6

『+22+…+(&+1)2=4(左+1)[(&+1)+1[2伙+1)+1],所以当〃=2+1时等式也成立.

6

由此得出，对任何〃eN*,等式都成立.

答案：证法有错误.

追问1：这道题需要证明〃=1的情况吗？

答案：这道题需要证明"=1的情况.这个证法只有第二步，而缺少了第一步，没有证

明〃=1的情况.第一步是后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水.所以，我们

应该先考虑当〃=1时该式是否成立.当”=1时，该式的左边=『=1.而右边

11x9x3

=-xlx(l+l)x(2xl+l)=------=1.左边等于右边，所以〃=1时该式成立.

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追问2：上述证法如果加上证明〃=1的情况，还有错误吗？

答案：这个证法当”=什1时，有F+2?+…+/+(%+1)2

(左+1)[供+1)+1][2(A+1)+1],直接把左给换成％+1.然后就说当"=%+1时也成立.而

6

把人换成才+1的前提是产+22+…+〃2=工”(〃+1)(2〃+1)当〃=*+1时成立，这正是我们

要证明的结论，不能把它当作己经条件.

追问3：如何修改上述证法？

答案：首先要明确目标：我们是假设"斗时该式成立，并以此为条件证明*%+1时该

式也成立，从而证明命题的成立具有递推性.所以，-+2?+…+左2+供+1)2

='(左+1)[供+1)+1][2/+1)+1]这个式子是需要我们证明的，是我们的目标.那该怎么

6

证明呢？我们一定要用上假设.既然假设当〃=左时该式成立，那么『+22+…+公

=-k(k+l)(2k+1)这个式子就成了已知条件.然后比较一下已知条件和要证明的式子，

6

等号左边多了一个(后+1)2这一项，那不妨在式子两边同时加上(％+1-，就有

F+22+…+^+(%+1)2=_1灯火+1)(24+1)+/+1)2.再进行化简，我们的目标就达成

6

T.说明〃4时该式成立能推出〃=上+1时该式也成立，加之后的任意性，我们由这两个步

骤就可知：对任何〃wN*,等式都成立.

方法归纳

问题2：怎样正确地使用数学归纳法？

答案：首先，一定不要忘了验证第一步，我们称这一步为归纳奠基，它为后续的证明

奠定了基础，是必不可少的.其次，我们的第二步是在第一步基础上证明命题的成立具有

递推性，这实际上是以逻辑的推理代替了无限的验证过程.假设P(左)为真，要用上假

设，以此为已知条件，证明P(K1)也为真，要明确“用上假设，递推才真”.

典例剖析

例2已知数列｛q)满足q=0,2an+l-anan+i=1(neN*),试猜想数列｛a„｝的通

项公式，并用数学归纳法加以证明.

答案：这个数列，已知首项，又已知反映相邻两项关系的递推公式.我们可以对这个

式子稍加变形，把提出来，化为a“M=」一(〃eN*),这样我们就能清晰地看出

2-

后一项与前一项之间的关系.然后我们由4=0,可得a,=——=-.同理可得

'-2-02

—1^-=-3«%==1？=4?.归纳一下：每一项的分母就是该项

2二4s2一35

34

fl—1

的序号，分子比分母小1.故猜想为=生」（〃金N*）.

n

下面用数学归纳法证明这个猜想.第一步，当〃=1时，该式左边=q=0,右边="

=0,猜想成立.第二步，假设〃=%（々eN*）时，该式成立，即q=三，这个式子就

可以作为已知条件，我们后面要用上它.而我们此时要证明n=k+\时也成立，即证明

JU,这是我们的目标.那么为与知之间有什么关系？根据递推公式

Z+1

4+i=」一，把q=工二代入，得出一J，分子分母同时乘上上就得出3,

+l

*2-a,卜k2k-\k+i

一k

也就是出±D二！.这样就证明了片人1时也成立.由这两个步骤可知，猜想对任何〃eN*

k+l

都成立.这样，我们就通过“观察一一归纳——猜想一一证明”的过程解决了这一问题.

例3：已知数列何20,<71=0,a：+i+。“+|-1求证：当"GN*时，

答案：（1）由题意得，当"=1时，a；+a,—1=0,因为a20,所以a,=~~->即ai<

4〃2

〃2成立.（2）假设当n=k（）时，0/以Va^\,所以

d+l~ak=（d+2+ak+2—1）—（。；+1+以+1—1）=（或+2—以+1）（以+2+以+1+1）>0,又

所以诙+2+。a1+1>0，所以像+1V或+2,即当〃=攵+1时，a〃V〃〃+|也成立.

综上可知，an<an+\对任意"£N*都成立.

例4：用数学归纳法证明：l+L+l+…+-L<1+〃（〃GN*）.

232"2

思路点拨：分别确定当〃=1,〃=怎〃=左+1时不等式的左边的值，找到它们之间的关系,

运用数学归纳法证题.

证明（1）当〃=1时，1+工=3①，不等式成立.

22

（2）假设当”=后（无WN*）时，不等式成立,

即l+'+Ld—+」-这」+3贝！I当n—k+1时

232*2

1+-+-+—+—+•••+--!~-<-+k+2k--!-=-+（^+1）,即当

232*2*+122+22*+2*22"2',

+1时，不等式成立.

由（1）和（2）可知，不等式对任意〃WN*都成立.

例5设x为正实数，〃为大于1的正整数，若数列I,1+x,(1+x)2,…，(l+x)"T,-

的前〃项和为S,,试比较S“与〃的大小，并用数学归纳法证明你的结论.这道题有哪些思

路？

答案：一种思路是不求和，直接通过〃取特殊值比较S“与〃的大小关系，并作出猜

想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出S“，再通过〃取特殊值比较S,与〃的大

小关系，然后做出猜想.

追问1：该如何解决这道题？

答案：我们不求和，由已知可得S“=l+(l+x)+(l+x)2+…+(l+x)"，然后我们通

过"取特殊值比较S“与”的大小关系.当"=2时，S?=l+(l+x)=2+x,而此时"=2,

那就是要比较2+x与2的大小.这取决于x的正负.而题目中说了x为正实数，所以可得

22

S2>2.当〃=3时，S3=l+(l+x)+(l+x)=3+3x+x.同样，因为x>0,所以3x+x)

这一部分是大于0的，那自然就有S3>3.由此，我们猜想">〃，这在是x为正实数

(xeR*),”为大于1的正整数的前提下(〃eN*且〃>1).

下面我们用数学归纳法证明这个猜想.首先，我们这里的〃是大于1的正整数，最小是

2.所以第一步应证明n=2时命题成立.而n=2的情况我们前面己经算过了，不等式是成立

的.然后是第二步，假设片上时不等式成立.因为〃最小也得是2,所以无应该是22的正整

数.那么我们就有这个式子就可以作为已知条件使用了.然后，我们必须明确一下

证明的目标，就是要证明片人1时不等式成立，即&用>%+1,那我们接下来就要寻求臬

与&用之间的关系。不难发现，S*+1=S*+(l+x)«,而&>左，所以S*M>Z+(l+x)。

而我们要证明的是既+|>女+1,如果有(l+x»>1就可以了.因为x>0,所以1+%>1,而后

又是大于等于2的正整数，所以1+x的k次塞一定是大于1的.这就说明当n=k+\时不等

式也成立.综合以上两步，就证明了S“>〃对任何大于1的正整数〃都成立.

追问2：这道题还有其他解法吗？

答案：实际上这个数列是一个以1为首项，以1+x为公比的等比数列，我们可以先把前

〃项和给求出来，s“=]x[l_(l+x)”.〕=(l+x)”_l.我们接下来通过〃取几个特殊值来比

l-(l+x)x

较S“与”的大小关系.当〃=2时，S,=(1+X)2T=%+2,因为x为正实数，所以可得

X

1+2

5,>2.当〃=3时，S3=--=X+3%+3.因为X>0,所以S3>3.由此，我们猜

X

想Sn>n.

下面我们用数学归纳法证明这个猜想.第一步，应证明片2时命题成立.而〃=2的情

况我们前面已经算过了，不等式是成立的.然后是第二步，假设片人时不等式成立，那么

我们就有Sk>k,即(""7>k这个式子就可以作为已知条件使用T-而我们的目标