2024届上海市数学第一学期期末联考试题含解析

2024届上海市上海师范大学附中高三数学第一学期期末联考试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知是双曲线二-3=1(。>0力>0)的左右焦点，过K的直线与双曲线的两支分别交于48两点(4在右

ab

支，B在左支)若A4B6为等边三角形，则双曲线的离心率为()

A.V3B.75C.76D.V7

2.过点玖2C，2和)的直线/与曲线y=&3-$交于4B两点，若2PA=5AB，则直线/的斜率为()

A.2-73B.2+6

C.2+G或2-6D.2-△或垂>-1

3.已知函数“X)的定义域为(0,+8),且2/⑶.2/(«)=4望，当°<X<1时，〃X)<0.若"4)=2,则函数

在［1,16］上的最大值为()

A.4B.6C.3D.8

4.设"logs。，b=log020.3,C=203,则的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.c<h<a

Q

5.已知｛可｝为正项等比数列，S“是它的前"项和，若［=16,且％与%的等差中项为6，则S5的值是()

O

A.29B.30C.31D.32

6.函数y=/(x)(xeR)在(-8』上单调递减，且/(x+1)是偶函数，若/(2x-2)>/(2),则x的取值范围是

()

A.(2,+oo)B.(-oo,1)U(2,+oo)

C.(1,2)D.(-co,1)

7.已知双曲线C：鸟一/=1(“>0,。>0)的焦距为2c,焦点到双曲线C的渐近线的距离为弓c,则双曲线的渐

近线方程为()

A.y=±>/3xB.y=±\f2xC.y=±xD.y=±2x

8.0是正四面体ABC。的面ABC内一动点，七为棱A£＞中点，记。P与平面BCE成角为定值6,若点P的轨迹为

一段抛物线，贝Utane=（）

A.V2B,也也D.272

2V

9.已知A类产品共两件4*2，B类产品共三件4，B2，B3,混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机

检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时，检测结束，则第一次检测出8

类产品，第二次检测出A类产品的概率为（）

323

C.一D.

25510

下列与函数y={定义域和单调性都相同的函数是（

10.

B.=log,WC.y=log2

A.y=2幅”2D.y=/

,满足,卜忖=a.〃=c.(a+2B-c)=

11.记M的最大值和最小值分别为Mmax和知而「若平面向量4、b、2,

则（）

V3+V7_V3-V7

A.B.a+c

Imaxmax2

=V3+V7II6-布

Dn-a+c.=-o-

min2IImin/

12.已知向量。，人满足|a|=4,人在。上投影为-2,则。-3可的最小值为（)

A.12B.10c.VwD.2

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x—y<6

13.设X,）,满足约束条件x+y>3,若z=x+3y+a的最大值是10,则。=

”3

14.某公园划船收费标准如表:

船型两人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）

每船租金（元/小时）90100130

某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为.元,

租船的总费用共有种可能.

15.已知正数用方满足a+b=L则^+工的最小值等于,此时a=.

ab

16.在三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC两两垂直且以=SB=SC=2,点”为S-ABC的外接球上任意一点,

则MA-MB的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，矩形COEF和梯形A8CO所在的平面互相垂直，ZBAD=ZADC=90，AB=AD=-CD,

2

（D若M为E4的中点，求证：AC//平面MDP；

（2）若45=2,求四棱锥七一ABC。的体积.

18.（12分）如图1,四边形ABC。为直角梯形，AD//BC,AD±AB,NBCD=60°,AB=26BC=3,E

为线段CO上一点，满足3C=CE,F为BE的中点,现将梯形沿BE折叠（如图2）,使平面BCE_L平面A8EZ）.

（1）求证：平面ACE_L平面8CE；

（2）能否在线段A3上找到一点P（端点除外）使得直线AC与平面PC尸所成角的正弦值为正？若存在，试确定

4

点尸的位置；若不存在，请说明理由.

19.（12分）如图，三棱台ABC-A瓦G•中，侧面A片船与侧面4c2cA是全等的梯形，若4A上AB,_LAG，

且AB—2A}B}—4A)A.

AiCi

(I)若O)=2g,AE=2EB，证明：〃平面BCC4；

TT

(ID若二面角G-A4-8为求平面A4BA与平面C43c所成的锐二面角的余弦值.

20.(12分)已知函数f(x)=ar-(a+l)lnx-』，aeR.

x

(1)当aWl时，讨论函数/(x)的单调性；

(2)若。=1,当xe[l,2]时，函数nx)=f(x)+：+口-彳，求函数2幻的最小值.

XX'X

21.(12分)随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

时间代号，123456789

广告收入虫千万元)22.22.52.832.52.321.8

根据这9年的数据，对f和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；

根据后5年的数据，对f和)'作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.

(1)如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案,

方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测.

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表：

小概率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电

子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为10%,现用此统计结果作为概率，若从上述读者

中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

22.(10分)以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断

x=1+2zc

直线/:《,c。为参数)与圆c：P2+20cos6—2Qsine=O的位置关系.

y=\-2t

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】

根据双曲线的定义可得儿486的边长为4a,然后在中应用余弦定理得dc的等式，从而求得离心率.

【题目详解】

由题意|胡|一|伍|=忸可—忸耳|=

2a,2"，X\AF2\=\BF2\=\AB\,

|曲|—忸耳|=|AB|=4a，二防=2a,

在A46工中+|A用之一2|4用|4用cos60。，

即4c2=(6a)2+(4a)2-2x6ax4ax—=28a2，

2

故选：D.

【题目点拨】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A到两焦点距离用。表示，然后用余弦定理建立关系式.

2、A

【解题分析】

利用切割线定理求得利用勾股定理求得圆心到弦AB的距离，从而求得NAPO=30°,结合NPQx=45，

求得直线/的倾斜角为15,进而求得/的斜率.

【题目详解】

曲线y=J13—f为圆1+1=13的上半部分,圆心为(0,0),半径为J将.

设PQ与曲线y=J13—f相切于点。,

则|PQ『=归山忖耳=|「山.(|%+|.|)=［俨*=|PO「_|OQ『=35

所以|%=5,|AB|=2,

25y2^/31

0到弦AB的距离为Jg=2A/3，SinZAPO=-7=—尸=7，所以NAPO=30°,由于NPQx=45,

\OP\2>/6xV22

所以直线/的倾斜角为45-30=15，斜率为tanl5=tan(45-30)=tan45-tan30_26

1+tan45xtan30

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

3、A

【解题分析】

根据所给函数解析式满足的等量关系及指数塞运算，可得/(;)+/(«)=/(M；利用定义可证明函数“》)的单调

性，由赋值法即可求得函数/(x)在［1,16］上的最大值.

【题目详解】

函数/(x)的定义域为(o,+8),且2,⑵,2〃")=4望’

贝!I•/(：)+/(〃)=/(m)；

任取斗工24。，”)，且用<^2,则。<,<1,

故/（五］<0，

\X2）

令"2=%,n=x2,则/—+/（々）=/（%），

即/（%）—/（%）=/隹］<0，

故函数/（X）在（（）,+<»）上单调递增，

故小）皿=/（16），

令加=16,九=4,

故/（4）+/（4）=/。6）=4,

故函数f（x）在［1,16］上的最大值为4.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了指数塞的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.

4、A

【解题分析】

选取中间值。和1,利用对数函数y=log3x,y=log。,2%和指数函数y=2、的单调性即可求解.

【题目详解】

因为对数函数y=log3x在（0,+力）上单调递增，

所以Iog3（）.5<log31=0,

因为对数函数y=10go,2X在（（）,+8）上单调递减，

所以0=log。21<log020.3<log020.2=1,

因为指数函数y=2V在R上单调递增，

所以2°3>2°=1,

综上可知,a<6<c.

故选:A

【题目点拨】

本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是

求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

5、B

【解题分析】

设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计

算即可得到所求.

【题目详解】

设正项等比数列的公比为q,

则a4=16q3,a?=16q6,

9

与a7的等差中项为

9

即有34+37=—,

4

9

即16q3+16q6,=-,

4

解得q=；(负值舍去)，

付q(l-0164一；)

则有s$=」_LL=——、7"=1.

…1-1

2

故选C.

【题目点拨】

本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题.

6、B

【解题分析】

根据题意分析/(x)的图像关于直线x=l对称，即可得到f(x)的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到％的取值

范围。

【题目详解】

根据题意，函数y=/(x)满足/(x+1)是偶函数，则函数的图像关于直线X=1对称，

若函数.V=/(X)在(一8』上单调递减，则fM在［1,收)上递增，

所以要使f(2x—2)>/(2),则相变形可得|2x—3|>1,

解可得：x>2或x<l,即x的取值范围为(―8/)D(2,+8)；

故选：B.

【题目点拨】

本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。

7、A

【解题分析】

利用双曲线C：鸟-，=1（。>0,〃>0）的焦点到渐近线的距离为弓。，求出。，。的关系式，然后求解双曲线的

渐近线方程.

【题目详解】

双曲线C：鸟一/=1（。>0/>0）的焦点（。,0）到渐近线法+羽=0的距离为等,，

可得：=—C,可得2=正，-=V3,则c的渐近线方程为y=±JIx.

yja2+b22c2a

故选A.

【题目点拨】

本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出。力的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.

8、B

【解题分析】

设正四面体的棱长为2,建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE的法向量，设P的坐标，求出向量£>p,

71

求出线面所成角的正弦值，再由角。的范围0,-,结合。为定值，得出sin。为定值，且P的轨迹为一段抛物线，

所以求出坐标的关系，进而求出正切值.

【题目详解】

由题意设四面体A8C。的棱长为2,设。为8c的中点，

以。为坐标原点，以。4为x轴，以QB为丁轴，过。垂直于面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz,

则可得QB=OC=1,OA=—x2=V3,取。4的三等分点G、F如图,

2

则OG=』OA=立，AG=OF=-0A=^-,DG=yjAD2-AG2=^-,EF=-DG=—，

3333323

(h2府(2h

所以8(0,1,0)、C(0,-l,0),A(石,0,0)、DY,0,3、E3

(V32何

由题意设P（x,y,0）,DP=

,ABO和ACD都是等边三角形，E为AO的中点，.•.B£_LAT>,CE1AD,

2百n2而］

BECE=E.♦.ADJ•平面BCE,AD=-：-，U,---为平面8CE的一个法向量,

7T

因为0P与平面BCE所成角为定值。，则0,-

由题意可得

因为P的轨迹为一段抛物线且tan6为定值，则sin3也为定值,

=”得犷=8后,此时sin"/，则C°S6=9,tan"翳考

故选：B.

【题目点拨】

考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题.

9、D

【解题分析】

根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出8类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A类产品的

概率，即可得解.

【题目详解】

A类产品共两件A,A2,B类产品共三件4,,与，

_3

则第一次检测出8类产品的概率为g；

21

不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A类产品的概率为一=—；

42

313

故第一次检测出8类产品，第二次检测出A类产品的概率为-x-=—；

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.

10、C

【解题分析】

分析函数y=J=的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.

yJX

【题目详解】

函数y=亡的定义域为（0,+”）,在（0,+”）上为减函数.

A选项，）'=2咋2'的定义域为（0,+力），在（0,+8）上为增函数，不符合.

B选项，y-log,的定义域为R,不符合.

C选项，^=1082-的定义域为（。,+力），在（0,+8）上为减函数，符合.

D选项，y=f的定义域为［0,+8）,不符合.

故选：C

【题目点拨】

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.

11、A

【解题分析】

设。为匕的夹角，根据题意求得。然后建立平面直角坐标系，设"=。4=（2,0）,b=OB=（l网,

c=OC=（x,y）,根据平面向量数量积的坐标运算得出点C的轨迹方程，将卜-c|和w+c］转化为圆上的点到定点距

离，利用数形结合思想可得出结果.

【题目详解】

由已知可得a/=WWcose=2,则cos6=g,Q0494兀，：.9=三,

建立平面直角坐标系，设”=。4=（2,0）,b=OB小网,c=OC=（x,y）,

由c-（a+2Z?-c）=2,可得（工,），＞（4-2%,26—2〉）=2,

即4%-2/+2底-2/=2,

化简得点C的轨迹方程为（x_1）2+y-^-=；,则卜_q=J（x_2）2+y2,

则|a-c|转化为圆（x—l）2+（y_立］=3上的点与点（2,0）的距离，.・.卜_4

Q+CI转化为圆（x-l）,y*=；上的点与点（一2,0）的距离,

7

，卜+d=%+使1+」=也+返*+d=%+使[一旦后".

1hmx\(2J221ImimV(2J22

故选：A.

【题目点拨】

本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,

考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.

12、B

【解题分析】

根据人在。上投影为-2,以及cos<a,方>e[-l,0),可得卜，「2；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为

模长和夹角运算，代入网即可求得卜-3目..

IIminIImin

【题目详解】

人在a上投影为一2,即>=一2

H>0cos<d,b><0

又cos<a,b>e[-1,0)二,Ln=2

a-3b=d2-6d-b+9b2=|«|'-6|a||/?|cos<a,b>+9|^|=9,+64

:.\a-?>b\=79x4+64=10

IImin

本题正确选项：B

【题目点拨】

本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题

关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到旧的最小值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

7

13、——

2

【解题分析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.

【题目详解】

画出不等式组表示的平面区域如下所示：

97

故可得10='+9+”，解得以=一一.

22

7

故答案为：-彳.

【题目点拨】

本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.

14、36010

【解题分析】

列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.

【题目详解】

当租两人船时，租金为：一x9()=720元,

2

当租四人船时，租金为：一x100=400元,

4

当租1条四人船6条两人船时,租金为：100+6x90=640元，

当租2条四人船4条两人船时,租金为：2x100+4x90=560元,

当租3条四人船2条两人船时,租金为：3x100+2x90=480元,

当租1条六人船5条2人船时,租金为：130+5x90=580元，

当租2条六人船2条2人船时,租金为：2x130+2x90=440元,

当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：130+100+3x90=500元,

当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：130+2x100+90=420元，

当租2条六人船1条四人船时，租金为：2x130+100=360元，

综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.

故答案为：360,10.

【题目点拨】

本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.

1

15、3-

2

【解题分析】

根据题意，分析可得+乎=?+f+l,由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条

ababab

件可得a的值，即可得答案.

【题目详解】

根据题意，正数。、5满足a+8=l,

m,,b1ba+bbaP3,°

则一+—=—+----=—+—+122J—x—+1=3,

ababab\ab

当且仅当a=〃时，等号成立，

2

故2+工的最小值为3,此时a=」.

ab2

故答案为：3:—.

2

【题目点拨】

本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.

16、273+2

【解题分析】

先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到♦SAC外心距离最

大的问题，即可求得结果.

【题目详解】

因为SASB,SC两两垂直且SA=SB=SC=2,

故三棱锥5-ABC的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.

且外接球的球心为正方体的体对角线的中点。，如下图所示：

M

容易知外接球半径为力.

设线段AB的中点为。一

故可得MAMB^(MOt+«A)•("«+0]B)

=(M«+«孙(用《_«4)

222

=|M<91|-|OIA|=|MO,|-2,

故当I取得最大值时，M4.MB取得最大值.

而当M,AB在同一个大圆上，且

点M与线段AB在球心的异侧时，|加«|取得最大值，如图所示：

此时，加0=0,0013=1舸0,-2乌(应+『一=«+

故答案为：26+2.

【题目点拨】

本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析(2)匕

【解题分析】

(1)设EC与DF交于点N,连结MN,由中位线定理可得MN〃AC,故AC〃平面MDF；

(2)取CD中点为G,连结BG,EG,则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出86_1平

面CDEF,故BG±DF,又DF±BE得出DFJ_平面BEG,从而得出DF_LEG,得出RtADEG〜RtAEFD,

列出比例式求出DE,代入体积公式即可计算出体积.

【题目详解】

(1)证明：设EC与DF交于氤N,连接MN,

在矩形COEF中，点N为EC中点，

W为E4的中点，，MN//AC,

又TAC<Z平面MD/,MNu平面MDF,

二4?//平面加。/.

（2）取C。中点为G,连接BG,EG,

平面CDEF±平面ABCD,

平面CDEFc平面ABCD=CD,

ADu平面A8CD,AD±CD,

：.AD±平面CDEF,同理石。_L平面ABCD,

AED的长即为四棱锥七一ABC。的高，

在梯形ABCO中A8=，CD=£）G,AB//DG,

2

四边形ABGO是平行四边形，BG//AD,

:.BG工平面CDEF,

又•:DFu平面CDEF，:.BGLDF,

又BE工DF,BEcBG=B,

；.DF工平面BEG,DFA.EG.

注意到Rt_DEGsRtEFD,

:.DEi1=DGEF=8,DE=20，

VE-ABCD-]SABCD-ED=4A/2.

【题目点拨】

求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊

方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几

何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过

已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，

这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.

18、(1)证明见解析；(2)存在点P是线段A8的中点，使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为".

4

【解题分析】

(1)在直角梯形ABCQ中，根据3E=5C=3,NBCD=60°,得ABCE为等边三角形，再由余弦定理求得AE,

满足AE2+BE2=AB2,得到再根据平面8CE，平面ABED,利用面面垂直的性质定理证明.

(2)建立空间直角坐标系：假设在A3上存在一点P使直线AC与平面PC尸所成角的正弦值为力，且A尸=/lA3,

4

/\I「人\3/16

Ae(O,l),求得平面尸CF的一个法向量，再利用线面角公式cos(C4,〃)=/丫=彳求

解.

【题目详解】

(1)证明：在直角梯形ABCD中，BE=BC=3,ZBCD=60°,

因此ABCE为等边三角形，从而BE=3,又AB=2框,

由余弦定理得：AE?=12+9—2x2百x3cos30。=3,

•*-AE2+BE2=AB2＞即A£_L3£，且折叠后AE与8E位置关系不变，

又•.・平面8CE，平面ABED,且平面8CE平面ABED=BE.

AE_L平面BCE,VAEu平面ACE,

二平面ACE_L平面BCE.

(2)•••△BCE为等边三角形，F为BE的中点,

：.CFVBE,又•••平面BCE_L平面ABED,且平面BCEp)平面反田=BE,

...CF,平面ABED,

取AB的中点G,连结PG,则FG//AE,从而FG上BE,以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：

假设在A8上存在一点P使直线AC与平面所成角的正弦值为手，且/=4潴，AG(0,1),

VZ?kj,o\=(-73,3,0),故4尸=(一6/1,340卜

CP=CA+AP=V3(l-2),|(22-l),-^y-1又忆。弓

该平面PCF的法向量为n=(x,y,z),

V3(l-/l)x+|(2/l-l)y-^z=0

n-CP=0

=><

n-FC^Q3百n

I2

令-1)得〃=(百(2/_1),2("1),0),

:Jcos(CA,〃)3273

273•^3(2/1-1)2+4(2-1)2

解得力=4或%=二(舍),

26

综上可知，存在点P是线段AB的中点，使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为且.

4

【题目点拨】

本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档

题.

19、（I）见解析；（II）—.

4

【解题分析】

试题分析：（I）连接AG,BC},由比例可得DE//BC],进而得线面平行；

（II）过点A作AC的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设的=1,则4q=AG=2,求得平面44氏4的法向量

为m,设平面的法向量为〃，由cos5，〃）=^求二面角余弦即可.

试题解析：

（I）证明：连接AGIG，梯形AC|CA,AC=24G,

易知：AC,n4c=D,AD=2DC,；

又AE=2EB)则DE〃BC1；

BCy<=平面BCC]Bj,DEB平面BCGB,,

可得：DE〃平面BCqB1；

(ID侧面4GCA是梯形，AA^AC，

nA4flAC^AlAB,

TT

则N84。为二面角C-AA-B的平面角，ZBAC^y；

=均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA,=1,

则A4=4G=2,

4。=4。=4,故点4(0,0,1),C(0,4,0),

3(26,2,0),4(6,1,1卜

m-AB=0

设平面448A的法向量为加=(x，y,zj,则有：＜=>

m-AB,=0：；N「二N孙

mCB=0

设平面G4BC的法向量为〃=(马,%,Z2),则有：＜=>

m-CB}-0

/、mn

cos(m,n)=--

H川

故平面9少与平面G“。所成的锐二面角的余弦值若.

7

20、(1)见解析(2)F(x)的最小值为尸(2)=/-21n2

【解题分析】

(1)由题可得函数/(X)的定义域为(。,+8),

ax2-(tz4-l)x+l_(x-l)(ax-l)

fW=a--------+—=(x>0),

xx~

当。40时，ax-1<0,令/'(x)<0,可得X>1；令/'(x)>0,可得()<X<1,

所以函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,”)上单调递减;

当0<a<l时，令/'(x)<0,可得l<x<,；令/'(x)>0,可得()<x<l或x〉L,

aa

所以函数f(x)在(0,1),(4,+00)上单调递增，在(1,L)上单调递减;

aa

当a=l时，/'(x)20恒成立，所以函数/(x)在(0,+8)上单调递增.

综上，当aMO时，函数/*)在(0,1)上单调递增，在(L+w)上单调递减；当0<a<l时，函数f(x)在(0/)，(-,+<»)

a

上单调递增，在(1,!)上单调递减；当。=1时，函数/(X)在(0,+8)上单调递增.

a

412312

(2)方法一当〃=1时，"(X)=/(X)H1—z---=x-2\nx-\1—---工£[1,2],

xxxxx9

2r-2

设g(无)=x-21nx,xe[l,2],则g<x)=l--=-——<0,

XX

所以函数g(x)在U,2]上单调递减，所以g(x)Ng(2)=2-21n2,当且仅当x=2时取等号.当会口⑵时，设'=/,

X

则六[一11],所以三Q十1二一7彳=3，+/一2/，

2xrX

|11O

设〃(f)=3f+f2—2d,re[-,l],贝！1〃⑴=3+2f-6*=-6(f--)2+—,

266

所以函数〃'⑺在[；[]上单调递减，且“(；)=|>0,〃'⑴=一1<0,

所以存在r°eg,l),使得〃4)=0,所以当;4"%时，〃'(。>0；当r°<Tl时，"⑺<0,

所以函数以。在(；,*>)上单调递增，在&』)上单调递减，

因为人(3=3'〃(1)=2,所以/7。注力(g)=入所以3+当且仅当x=2时取等号.所以当x=2时,函

2222xx2x32

37

数F(x)取得最小值，且F(x)n,n=2-21n2+-=--21n2,

7

故函数F(x)的最小值为j21n2.