2024年高考押题预测数学试卷（广东专用1新题型结构）（全解全析）

2024年高考押题预测卷【广东专用01】

数学•全解全析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.己知某地最近10天每天的最高气温（单位：℃）分别为23,18,17,21,22,20,16,14,21,19,则10天最高气

温的第80百分位数是（）

A.15B.21C.21.5D.22

【答案】C

【详解】将此组数据从小到大排列：14,16,17,18,19,20,21,21,22,23,

21+22

且共有10个数，因为10x80%=8,所以第80百分位数为1—=21.5.

故选：C.

2.已知向量。=（2,1）1=（1,2）,若向量c满足a-c=8,且6〃c，则同的值是（）

A.26B.12C.20D.24

【答案】A

【详解】由b可设，=助=（九2彳），

由=8可得24+1x24=8,角军得丸=2,

所以c=（2,4）,则同=亚中=2君.

故选：A

3.已知数列｛%｝为等比数列，£为数列｛%｝的前"项和.若34，%，5。6成等差数列，则（）

a5+a6

、121「11-31-211

94436

【答案】A

【详解】设等比数列｛%｝的公比为q,

若3a曲氏，5R成等差数列，可得：2%=3%+5%,

当4=1时，此时=%wO（"eN*）恒成立，

2G=3%+5%即为24=3。1+5q,得6q=0,即q=0,显然不成立;

当qwl时，2/=3%+5%即为：=3〃⑼3+5〃4,其中％wo,qwo.

得2/-5/-3=0,得/=3或-g（舍去），

%。-q1°）

Sio=1—q=1-（dp=-5=121,

%+“6弓小+aqSq，（1-q2）32（1-3）9

故选：A.

4.已知函数/（x）=2sin（2x+°）,|d<,那么“网=”是在上是增函数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

TT7T

【详解】当一一+2%乃42尤+°4—+2左"，左eZ,/（尤）单调递增.

22

贝1|当一工一2+左％VxV工一0+左万，左eZ时，/（尤）是增函数，

4242

当夕=工时，/（无）在一至+1brV无4工+左巴左eZ单调递增，可得了⑺在-J?上是增函数；

636L66_

当9=时，/（%）在+左=<%<g+Qz■，左£Z单调递增，可得/（x）在—上是增函数；

663|_66

反之，当/⑺在上是增函数时，由「-9，引之「一£，引，可知，止匕时0=。,左二°,即忸|=g不成立.

_ooJ|_0oj|_44J6

所以“忸|7”是“广（X）在-7系上是增函数”的充分而不必要条件.

故选：A.

5.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字

相乘时，乘积仍然由1,4,2,8,5,7这6个数字组成.若从1,4,2,8,5,7这6个数字中任选4个

数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（）

A.87B.129C.132D.138

【答案】A

【详解】若千位数字是5,则百位数字不能是1,故共有C；C；C；=27（个）；

（①一个四位数为偶数，则其个位上的数字一定是偶数；②组成的四位数要大于5200,则其千位上的数字

是5,7或8）

若千位数字是7,则共有C；A：=36（个）；

若千位数字是8,则共有C；A；=24（个）.

故符合条件的四位数共有27+36+24=87（个）.

故选：A

6.如图，四棱锥A-3CDE是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A-CD尸是正四面体，G为BE的中点，则下

列结论错误的是（）

A.点A,3,C,产共面B.平面ABE「平面CDF

C.FG±CDD.FG_L平面AC。

【答案】D

【详解】选项A：如图，取CD中点连接G//,FH,AG,AH,

因为A-3cDE是正四棱锥，A-8尸是正四面体，G为BE的中点，

所以CD_LG”，CDYAH,CD±FH,

因为AH=H,G",/0u平面AG/f,所以CD,平面AGH,

因为AHFH=H,AH,切u平面A'H,所以CD,平面AE,

所以A,G,H/四点共面，

由题意知AG=HF=括，GH=AF=2,所以四边形AGHF是平行四边形，

所以GH〃AF,因为BC〃GH,所以3C〃AF,所以A,3,C,尸四点共面，故A说法正确；

选项B：由选项A知AG〃殖，又AG<z平面CDb,由u平面CD77,所以AG»平面CD歹，

因为CD〃鹿，且BE.平面CDb,CDu平面CDb,所以BE平面CD歹，

又AGu平面ABE,BEu平面ABE,且AGBE=G,所以平面ABEM平面CDF,故B说法正确;

C选项：由选项A可得平面AGHF,又尸Gu平面AGHZ"所以FG_LCE>,故C说法正确；

D选项：假设PG_L平面AC。，因为A"u平面AC。，则FGJ_AH,

由选项A知四边形AGHF是平行四边形，所以四边形AGHF是菱形,

与AG=5GH=2矛盾，故D说法错误；

故选:D

7.已知函数y=/(x)对㈤均满足尸(x)sinx-/(x)cos尤=1-1,其中/''(x)是/(x)的导数，则下列

不等式恒成立的是()

【答案】A

【详解】xe(。㈤，令g(x)=ZB,求导得：⑺=小"丁(3=二,

sinxsinxxsinx

当xe(O,l)时/(力＞0,当万)时g＜x)＜0,因此函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,兀)上单调递减，

对于A,0＜?昔＜1,则8周0图,即扃闱＜/图，人正确;

对于B,1＜三＜(＜万，则g(f)＞g图,即O当图,B错误;

对于c，i＜L〃，则g(f]＞g用，即《分7■用，。错误;

对于D，1告.5则g图＞g用,即当图＞/用,口错误•

故选：A

22

8.己知椭圆+与=1(。＞0)的左焦点为尸，过歹作圆/+y2=〃的一条切线/交椭圆E于A,B两点,

ab

若FB=2AF，则椭圆E的离心率为()

A币RA/5-p＞1^^A/3

3332

【答案】B

22

【详解】设直线/：x=M_V—c,与椭圆二+七=1联立，化简得(片+人川)/一2〃宓62y一〃=0,

ab

2mcb2

♦+%=2岸22

设3(%,%)，则由根与系数的关系得①，

—b

X必二----

、a2+b1m1

又FB=2AF，所以%=-2乂，代入①得8疗，=/+廿疗②,

CJ2ofC2I7

又直线/与圆/+/=反相切，所以-^^-=6,即/=斗r一1,代入②整理得8c2^-1=2c2,

得9c2=5/,因此椭圆E的离心率e=£=好，故B正确.

a3

故选：B.

【点睛】将直线与椭圆联立后结合根与系数的关系及几何关系，从而求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4*2,则下列命题正确的是()

A.若㈤=团，则Z1=±Z2B.若Z]=Z2,则上危卜岗‘

C.若z是非零复数，且z；=z©,则4=Z2D.若4是非零复数，贝尼+,*0

Z]

【答案】BC

【详解】对于A项，若4=l+i,z2=V2i,显然满足㈤=|4,但4=±马，故A项错误;

对于B项，设z=a+6i(a,6eR),则z?=。-历，Z]Z?=(a+bi)(a-bi)-a2+b1,故Iz^|=/+从而|Z]『=/+〃,

故B项正确；

对于C项，由z；=Z[Z2可得：z^-zjz2=z1(z1-z2)=0,因4是非零复数，故Z]-Z2=0,即4=z2,故C

项正确；

对于D项，当4=i时，4是非零复数，但z1+-=i+y=i-i=0,故D项错误.

Z11

故选：BC.

10.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为凡瓦。，且c=%(2cosA+1),则下列结论正确的有()

A.A=23

B.若°=®，则ABC为直角三角形

C.若，ABC为锐角三角形，—一、的最小值为1

tanBtanA

C（Jl2⑻

D.若ASC为锐角三角形，则反的取值范围为

aI23）

【答案】ABD

【详解】对于A,-ABC中，由正弦定理得sinC=2sinBcosA+sinB,

由sinC=sin（A+B）,得sin4cos5—cosAsinB=sinB,即sin（A—B）=sinB,

由。＜A5＜TC,则sinB＞0,故OvA-gvji,所以4一3=3或4一5+5=兀，

即A=25或4=兀（舍去），即A=26,A正确；

对于B,若a=Cb,结合A=25和正弦定理知旦=心"=上,COS3=，L

sinAsin2BsinB2

JTTT

又0vA5＜7i,所以可得A=23=—,C=—,B正确；

32

对于C,在锐角ABC中，0＜5＜女,0＜A=23＜工,0＜。=兀—33〈二，即工＜5＜色,@＜tanB＜L

222643

22

44rl11l-tanBl+tanB.「也、口

tanBtanAtanB2tanB2tanB

对于D,在锐角中，由工＜3＜工，变＜cosB＜且，

6422

csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsinB1

—=------=--------=-------------------------------=2cosn-----------,

asinAsin2Bsin2B2cos3

令cosB=fe¥,q，则£="/）=2f-；,

'乙乙/a/z'

易知函数/⑺=2/-：单调递增，所以可得(e4，WJ，D正确；

故选：ABD.

11.已知函数“X)的定义域和值域均为{x|xwO,xeR},对于任意非零实数尤,y,x+ywO,函数满足:

/(x+j)(/(x)+/(y))=/(x)/(y),且在(一e,0)上单调递减，f(l)=l,则下列结论错误的是()

2023

B.=22023-2

Z=1I

c./(X)在定义域内单调递减D./(x)为奇函数

【答案】BC

【详解】对于A,令》=丫=，则2"1)/(；)="§)匕

因〃g)H。，故得/(；)=2/⑴=2,故A正确；

对于B由/（x+A（f（x）+/（y））=/（x）/（y）,

令'=》，则"2尤）=^^=:/（尤），

2/（x）2

则/（|）=〃2x击）=］（击），即〃击）=2/（：）,

故｛/（：）｝是以A；）=2为首项，2为公比的等比数列,

2023

于是=22024-2,故B错误;

i=l

对于D,由题意，函数〃x）的定义域为（-x,0）U（0,—）,关于原点对称,

“龙)"-2对

令y=-2,x,则〃T)=①,

/(x)+f(-2x)

把苍y都取成-x,可得/（_2x）=〃；：，（「）=牛1②,

“X）T

将②式代入①式，可得"T）=------77TT，

化简可得/'（-司=-〃%）,即/（可为奇函数，故D正确；

对于C,y（%）在（-8,0）上单调递减，函数为奇函数，可得〃x）在（0,+功上单调递减，

但是不能判断f（x）在定义域上的单调性，例如/（x）=:,故C错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据

选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出了（-尤）,/（》）的关系式即

可判断奇偶性等.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合4=卜隧2（3_尤）<2｝,8=｛巾（5_尤）_420｝,则AB=.

【答案】［1,3）

【详解】log?（3-x）<2n0<3-x<4,解得-l<x<3,故4=（—1,3）；

x（5-x）—4N0=d—5x+4W0,解得lVx44,故8=[1,4],故Ac3=[l,3）.

故答案为：[1,3)

13.若-亍J的展开式中有理项的系数和为2,则展开式中厂3的系数为.

【答案】1

6_/Y12-5r

【详解】*=G(网H=q(-1)ZF丁(r=0,L..6)

厂=0,6时为有理项，.•.4。+“6=2=/=],

由I2=-3=1=6一系数:Cg(-l)6a6=1.

6

故答案为：1.

14.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体,

亦称“阿基米德体”.点A,B,M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足AB,

若AB=4,则该多面体的表面积为,点N轨迹的长度为.

【答案】112A8+8/

【详解】根据题意该正四面体的棱长为3AB=12,点4氏M分别是正四面体棱的三等分点.

该正四面体的表面积为4x,xl2xl2xsin60=144«,

2

该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，

每个角上小正四面体的侧面面积为3x,x4x4xsin60=1273,

2

每个角上小正四面体的底面面积为gx4x4xsin60=4有,

所以该多面体的表面积为：144括-4x127^+4x46=1126.

如图设点”为该多面体的一个顶点，尸为所在棱的顶点，则〃F=8=HW=MR,

M

在」HFB中，HB-=HF2+BF2-2BH-HFcos60=8?+4?—2x4x8x；=48,

则"2=4/，所以HB?+BF2=HF?,得HBLBF,即

同理=MB±AB,

由"BcMB=B,HB,MBu平面MBH,所以AB2平面MB".

由点N是该多面体表面上的动点，且总满足MN，AB,

则点N的轨迹是线段MB,HB,MH,

所以点N轨迹的长度为：MB+HB+MH=4y[3+4yf3+8=8+Sy/3.

故答案为：1126；8+86

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)已知函数f(x)=(x+a)d+6m6eR)的图象经过点(1,1),且x=0是的极值点.

⑴求函数“X)的解析式；

⑵求函数的单调区间和最值.

【答案】(D/(X)=(XT)©+1

(2)增区间为(0,+oo),减区间为(-8,0),最小值为0,无最大值

【详解】(1)解：由函数/(x)=(x+a)c'+b,可得_f(x)=(x+a+l)-e，，...................1分

因为函数/(x)过点(1,1),且7=0是/(x)的极值点,

[f(1]=(l+aYe+b=1

可得I，/\n，解得............................................3分

[尸(0)=l+a=0

经检验符合题意；.......................................................................5分

所以函数“X)的解析式为/(x)=(x—l)e'+l..............................................6分

(2)解：由(1)知/'(x)=x-e”,

令/'(x)>0,解x>0；令/'(x)<0,解x<0,........................................................................................8分

所以函数/(x)在(0,+功上单调递增，在(-8,0)上单调递减，..............................10分

所以，当x=0时，函数取得最小值，最小值为/(。)=0,无最大值....................12分

即函数“X)的增区间为(0,+功，减区间为(y),0),最小值为0,无最大值..................13分

16.(15分)如图1,在等边三角形ABC中，45=4,点2E分别是AC,48的中点.如图2,以DE为折痕

将VAOE折起，使点A到达点A的位置(A9平面3CDE),连接43,AC.

(1)证明：平面平面ABC；

(2)当A'B=质时，求直线A5与平面ACD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵半.

【详解】(1)如图所示，取A3的中点尸，连接FC,FE,EC,..............................................................1分

由题意易知A'B=A'C,ZEDC=ABED=120,ED=EB=DC=A'D=A'E=AD=AE=2,EFVAB,

...............................................................................................................................................................................2分

不妨设A5=2a,则AC=2〃，

由余弦定理可知CE?=E£>2+DC2-2E»£)CCOS/E£)C=(2^『=12,

CF2=A'F2+A'C2-2AFA'CcosZBA'C

=/+4/-4/.NY+(2：y-42=8+〃,...............................................................................................4分

8a2

由勾股定理知跖2=22-6,

所以CE2=CF2+EF2EF±CF..................................................................................................................5分

又CFcA'B=F,CF、ABu平面A'BC,

所以£F工平面A'BC,

因为EFu平面A'BE，

所以平面A'BEJ"平面A2C；..........................................................................................................................7分

分别取DE、3c中点。、G,连接AO,80,.............................................................................................8分

由余弦定理可知OB?=22+12-2x2xlcosl20=7,而AO?=2?一俨=3,

显然AB2=OB2+AO2,则AO1.OB,

易知AO_LDE,GO±DE,

又DEcOB=O,ED、O8u平面DEBC,

所以A'O,平面DE3C,..................................................................................................................................9分

因为OGu平面DEBC,所以AOLOG,则AO,OG,OE两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,0,⑹,。（0,l,0）,C（62,0）,B（®-2,0）,

所以=（0,1,-道）,AC=（也,2,-道）,A'B=（石,一2,一班卜

n-A'D=y-y/3z=0

设平面ADC的一个法向量为“=（尤,%z）,则有＜

n-A'c=#>x+2y-<j3z=0

取y=gnz=1,尤=-1,即"=（一1,6,1）,12分

设直线A3与平面ACD所成角为©,

r,.八I,,„in■A'B2A/6,,

贝人111夕=|85〃，4a=>^——।,......................................................................................................14分

117\n7\-\A'B\5

所以直线A3与平面A'CO所成角的正弦值为侦.........................................15分

5

17.(15分)己知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220,2()2).其电压通常有3种状态：

①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V.在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的

概率分别为015,0.05,0.2.

(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；

(2)从该机器生产的零件中随机抽取〃(〃22)件，记其中恰有2件不合格品的概率为2,求外取得最大值

时n的值.

附：若取尸(〃一Z<〃+CT)=0.68,尸(〃-2cr<Z<〃+2cr)=0.95.

【答案】⑴0.09；

(2)77=22.

【详解】(1)记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A,B,C,“该机器生

产的零件为不合格品”为事件。............................................................1分

2

因为U~N（220,20）,所以尸（A）=尸0<200）=1一尸（〃工Z<〃+=匕詈=016；

P（3）=P（200<U<240）=P（〃-b<Z<〃+cr）=0.68,

/、/、l-P（u-cy<Z<Li+cy}1-0.68八

P（C）=P（U>240）=——---------上=—=0.16....................................................................4分

所以P（0=P（A）P（O|A）+P（3）P（03）+P（C）P（0C）

=0.16x0.15+0.68x0.05+0.16x0.2=0.09,................................................................................................6分

所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09........................................................................................7分

(2)从该机器生产的零件中随机抽取〃件，设不合格品件数为X,则*~3(〃,0。9),.................9分

所以p,=尸（X=2）=C；•0.91*2,0092...........................................................................................................io分

nc2-09F-1-0092n+1191

由且JWLU.V吐浮_=5><091>1,解得2V火凹............................................................13分

22

pnC；-0.9r--0.09n-l9

所以当2V〃V21时，p„<p„+1；

当〃222时，P„>Pn+l；所以P22最大.

因此当〃=22时，P“最大.15分

18.（17分）如图，已知四边形ABC。的四个顶点都在抛物线d=4y上，且A,B在第一象限，AC//x轴,

抛物线在点A处的切线为/,且3D〃/.

⑴设直线CB,CD的斜率分别为上和％',求女+〃的值；

（2）P为AC与8。的交点，设△3CD的面积为S],E4D的面积为邑，若tan/3ai=2,求3的取值范围.

d2

【答案】⑴0

(2)(4,+oo)

【详解】（1）设D（X,^

2......................................1分

由AC7/x轴得，点C的坐标为-才],

由f=4y得y="/,y

所以抛物线在点A处的切线斜率为《q,...............................................3分

又k_Z_T_^+^i,由3D〃/得三芋=二，所以尤2+占=2%，

KBD-_42

x2-xx4

x；x；X；XQ

因为小，_丁一了_工2一%,小_丁一4_再一/,.........................................5分

K.——K,——

x2+x04%+/4

所以4+/=上二工+土*=%+4一2/=。；............................................7分

444

(2)因为tan/3C4=2,所以％=2,k'=-2,

所以直线CB的方程为y=2(x+x0),即y=2x+2x0+,,

..............................8分

V=4y

由«f,彳导12—8%—8%0—XQ=0,

y—2x+2%H——

-°4

—

所以王（一九0）=8x0—XQ,得%=%+8,

又直线的方程为y-寸=—2（%+/0）,即y=-2x-2x0+-^~,

x2=4y

由<元2,得了2+8%+8%0—XQ=0,

y=-2x-2XQH--

所以％2（-%（））=8%0-焉，得%2=%-8,

所以直线即的方程为方"一％一8），即y/x+16-9,

所以pjx。一卫，4],......................................................................11分

I/4J

32

由一毛<与<加，gp-x0<x0---<x0,解得：x0>4,.......................................12分

因为|/训=无。一X。一一=—,\PC\=

所以5卓］-口＞＜中-1《］-/）胱=8（门6）,

2

132x；（x0-8）64（x0-4）

2x044x0

所以2=:（犬；+4%）=］（/+2『-4］,....................................................15分

又%＞4,所以5＞4,即六的取值范围为（4,『）.......................................17分

D2

【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立用解析思想解决几何问题，用点A的坐标表示民C。的坐标，从

而达到解决几何问题的目的.

19.（17分）已知数列｛4｝的前〃项和为S,，若数列｛%｝满足：①数列｛q｝项数有限为N；②SN=O；③

N

三⑷=1,则称数列｛4｝为“N阶可控摇摆数列”.

Z=1

⑴若等比数列｛%｝（1W"V1O）为“10阶可控摇摆数列"，求｛q｝的通项公式;

⑵若等差数列｛4｝（14〃42山,加6川）为“2机阶可控摇摆数列”，且册＞4“+1，求数列｛%｝的通项公式;

N

（3）已知数列｛”“｝为"N阶可控摇摆数列”，且存在IVmVN,使得工闷=2旌，探究：数列｛，｝能否为“N阶

1=1

可控摇摆数列"，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.

【答案】⑴4=：•(一1尸(1<〃<10)或%=A•(-lf(l<n<10)

—2〃+2刃+1z*\

(2)a=----------[l<n<2m,meN)

n2m'7

⑶不能，理由见解析

io

【详解】(I)若4=1,则几=10%=。，解得q=0,则£同=0,与题设矛盾，舍去；.......1分

1=1

若4W1，则S]0=%(j)=0,得4=-1,

i-q

1011

而Z|q