4.4数学归纳法-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页4.4：数学归纳法【考点梳理】考点一：数学归纳法1．数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)

P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．结论：P(n)为真．3.数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．【题型归纳】题型一：数学归纳法的定义1．（2023下·陕西西安·高二期中）用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（

）A．当时，成立B．当时，成立C．当时，成立D．当时，成立【答案】C【分析】根据，结合数学归纳法的证明步骤，即可求解.【详解】根据题意，证明的结论为“”，所以第二步的假设应写出：假设时命题成立，即成立.故选：C.2．（2023下·河南驻马店·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据归纳法即可得到答案.【详解】解：根据数学归纳法可知：当时，当时，相比从到，可知多增加的项为故选：D3．（2023下·四川成都·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据数学归纳法的知识确定正确答案.【详解】在等式中，当时，，故等式的左边为，右边为.所以第一步应该验证的等式是.故选：D题型二：数学归纳法证明恒等式4．（2021·高二课时练习）用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为.【答案】1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k【分析】分析由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加的项可得结果.【详解】因为由n＝k到n＝k＋1时，等式的左边增加了一项，该项为，所以当n＝k＋1时应得到的式子为1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，故答案为：1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k5．（2022·高二课时练习）用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为．【答案】【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义及证明命题的方法步骤直接写出结论作答.【详解】依题意，当时，应证明的等式为：.故答案为：6．（2023上·高二课时练习）用数学归纳法证明以下恒等式：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可；（2）按照数学归纳法的步骤证明即可；【详解】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；②假设当时，等式成立，即，则当时，左边右边，即当时，等式也成立；综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.（2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；②假设当时，等式成立，即，则当时，左边右边，即当时，等式也成立；综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.题型三：数学归纳法证明整除问题7．（2022·高二课时练习）已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为．【答案】36【分析】求出，归纳出，然后用数学归纳法证明．【详解】，，，都能被带除，猜想能被36带除，（1）时，是36的整数倍，（2）假设时，是36的整数倍，即（），时，，由假设是36的整数倍，又是偶数，是36的整数倍，所以是36的整数倍，综上，对一切正整数，是36的整数倍，即能被36整除，而，所以是最大的数，即．故答案为：36．8．（2023·全国·高二随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数．【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立．【详解】（1）当时，能被64整除，命题成立．（2）假设当时，能够被64整除．当时，能够被64整除，能够被64整除．即当时，命题也成立．由（1）（2）可知，能被64整除，即是64的倍数．9．（2022·四川眉山·统考三模）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.已知是数列前n项和，___________.(1)求的通项公式；(2)证明：对一切，能被3整除.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）若选①，类比作差证明数列是隔项等差数列即可；若选②，利用类比作差和阶差法可以求解；若选③，利用公式作差后因式分解，找出与的关系，再根据等差数列的定义和通项公式即可求出.（2）利用数学归纳法证明结论即可.【详解】（1）若选①：因为所以，两式相减得，所以是隔项等差数列，且，所以为奇数，为偶数，所以.若选②：，所以，两式相减得，，所以，所以.若选③：因为①，所以②，所以，即，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以的通项公式.（2）当时，，能够被3整除；假设当时，能被3整除，则有,所以，则当时，，所以当时能被3整除.综上所述，对一切，能被3整除.4整除．题型四：数学归纳法证明数列问题10．（2023上·高二课时练习）已知数列：，，，…，，…，设为该数列的前项和.计算，，，的值；根据计算的结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法加以证明.【答案】，，，，证明见解析【分析】代入数值计算，，，的值；根据前4项的规律可猜出的表达式，再用数学归纳法证明.【详解】，，，，猜想（为正整数），下面用数学归纳法证明：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，所以当时，，所以当时猜想成立.由①②得，得证.11．（2023上·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通项公式，并加以证明．【答案】(1)，，，，(2)，证明见解析【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.【详解】（1）因为数列的各项均为正整数，所以数列是递增数列，因为，，所以舍去，同理可得：舍去，舍去，舍去，所以，，，，；（2）猜想：，证明过程如下：当时，显然成立，假设当时成立，即，当时，，解得：，或，因为数列的各项均为正整数，所以数列是递增数列，显然，所以，舍去，所以当时，成立，综上所述：12．（2023下·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．(1)计算，，，的值；(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．【答案】(1)，，，(2)，证明见解析.【分析】（1），从而可得出，（2）猜想，然后根据数学归纳法的步骤证明即可.【详解】（1）因为，所以，，，.（2）猜想，下面用数学归纳法进行证明：当时，，猜想正确，假设当时，猜想也正确，则有，当时，，所以时，猜想也正确，综上所述，.题型五：数学归纳法证明不等式13．（2019·上海宝山·统考二模）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】分别令，计算左右两边，观察不等式是否成立，即可求出正确答案.【详解】当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，成立；即左边大于右边，不等式成立，则对任意的自然数都成立，则的最小值为，故选：B．14．（2022下·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知，用数学归纳法证明时，比多了项．【答案】【分析】作差分析可得答案.【详解】因为，，所以，所以比多了项.故答案为：15．（2022下·广西玉林·高二校联考期中）（1）请用分析法证明：；（2）用数学归纳法证明不等式：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据分析法，寻找命题成立的充分条件即可证；（2）由数学归纳法的步骤证明．【详解】证明：（1）要证：，只需证：，只需证：，即证：，即证：，也就是证：42>40，而42>40显然成立，故原不等式得证．（2）证明：①当时，左边，时成立②假设当时成立，即那么当时，左边∴时也成立根据①②可得不等式对所有的n>1都成立．题型六：数学归纳法解决探究性问题16．（2023上·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知函数.(1)依次求，，的值；(2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)，，；(2)猜想，证明见解析【详解】（1），，，，，，，所以，，；（2），，，所以猜想，当时，，成立，假设当时，命题成立，即，即那么当时，，，，，所以当时，猜想成立，综合以上可知，当时，成立.17．（2022·高二课时练习）请观察下列三个式子：①；②；③．归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明．【答案】，证明见解析【分析】观察各个式子左右两边的关系以及与正整数的关系，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明．【详解】．证明：①当时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边．②假设当时，命题成立，即；则当时，，所以当时命题立，由①②知，命题成立．18．（2022·高二课时练习）（1）分别计算：，，的值；（2）根据（1）的计算，猜想的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1），，；（2）（）；（3）证明见解析【分析】（1）直接计算；（2）观察规律，猜想出结论（）；（3）用数学归纳法证明．【详解】（1），，；（2）猜想：（）；（3）证明：（i）时，，成立；（ii）假设时，命题成立，即，则时，，命题也成立，综上，对一切且，成立．【双基达标】一、单选题19．（2023下·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（）A．假设正确，再推正确B．假设正确，再推正确C．假设正确，再推正确D．假设正确，再推正确【答案】B【分析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；故选：B．【点睛】本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键20．（2023下·上海·高二期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式．【详解】解：当时，左端＝，当时，左端＝，故左边要增乘的代数式为.故选：B．21．（2023下·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；当时，等式左边等于，共项求和；所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.故选：B.22．（2023下·高二课时练习）用数学归纳法证明时，由的假设证明时，不等式左端的变化是（

）A．增加项 B．增加和两项C．增加和两项，减少项 D．以上结论均不正确【答案】C【分析】根据题意写出和的表达式，进而得到到的变化，得到答案.【详解】由题意，不等式，当时，不等式的左端，当时，左端，所以从到，不等式的左端增加和两项，减少项.故选：C.23．（2023下·北京·高二北京八中校考期中）在用数学归纳法证明的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.【详解】当时，左边，当时，左边，则.故选：D.24．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析【分析】按数学归纳法的步骤证明即可，即验证时等式成立，且假设时等式成立，证明时等式成立即可.【详解】当时，等式左边，等式中间，等式右边，即等式左边=等式中间=等式右边，等式成立；假设时等式成立，即有成立，我们分两步来证明当时，等式成立，即分别证明此时等式左边=等式中间，等式中间=等式右边即可，第一步：由假设可知，当时，有成立，即当时，等式左边=等式中间成立；第二步：由假设，所以此时有成立，从而可知，当时，有成立，即当时，等式中间=等式右边成立；结合以上两步有：若当时等式成立，则当时等式成立；综上所述：由数学归纳法可得.25．（2023上·高二课时练习）用数学归纳法证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立；（2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立.【详解】（1）证明：记，当时，则有，等式成立，假设当，等式成立，即，则，这说明当时，等式成立，故对任意的，.（2）证明：设，当时，，等式成立，假设当时，等式成立，即，所以，，这说明当时，等式成立，所以，对任意的，.26．（2023·全国·高二课堂例题）设，．(1)当时，计算的值；(2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．【答案】(1)8，32，144，680；(2)猜想：当时，能被8整除，证明见解析.【分析】（1）根据给定关系式，代入计算作答.（2）由（1）的结果，猜想结论，再利用数学归纳法证明作答.【详解】（1）由，，得；；；．（2）由（1）猜想：当时，能被8整除．①当时，有，能被8整除，命题成立；②假设当时命题成立，即能被8整除，则当时，，显然和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除，又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除，因此当时命题也成立，由①②知，当时，能被8整除.【高分突破】一：选择题27．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（，，是正整数），在验证时，左边所得的项为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令即可得出答案.【详解】当时，，在验证时，左边所得的项为.故选：C.28．（2022下·上海徐汇·高二上海市西南位育中学校考期末）用数学归纳法证明：“”，设，从到时（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】计算出，结合的表达式可得出结果.【详解】因为，则，即.故选：B.29．（2022·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）A．时不等式成立 B．时不等式成立C．时不等式成立 D．时不等式成立【答案】B【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．30．（2022上·上海·高二期中）已知是关于正整数n的命题，现在小杰为了证明该命题，已经证明了命题、、均成立，并对任意的且，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切且均成立，则m的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．不存在【答案】C【分析】由归纳法的步骤知，在假设f（k）成立的前提下，证明了f（k+m）成立，由此类推，对n＞m的任意整数均成立，而小明证明了命题f（1），f（2），f（3）均成立，由此可得m的最大值．【详解】由题意可知，对都成立，假设成立的前提下，证明了成立，所以m的最大值可以为3．故选：C．31．（2022上·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（

）①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立”③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【答案】D【分析】根据数学归纳法的定义逐一分析即可得出答案.【详解】解：对于①，对任意正整数k，“当时，均成立，则当时，成立，故①可证明某个命题对一切正整数n都成立；对于②，因为，均成立，成立，则当为奇数时，成立，当为偶数数时，成立，所以②可以证明某个命题对一切正整数n都成立；对于③，因为成立，对任意正整数，成立，所以也成立，又成立，成立，则也成立，所以③可以证明某个命题对一切正整数n都成立.故选：D.二、多选题32．（2023下·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期中）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（

）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数【答案】AB【分析】A、B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断.【详解】A：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立；B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立；C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题成立；D：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题不成立.综上可知，满足条件的选项为AB故选：AB.33．（2022上·山东淄博·高三校联考阶段练习）小明和小童两位同学玩构造数列小游戏,规则是:首先给出两个数字1,10,然后小明把两数之积插入这两数之间得到第一个新数列1,10,10,再然后小童把每相邻两项的积插入此两项之间,得到第二个新数列1,10,10,100,10,如此下去,不断得到新数列．假设第n个新数列是:记:,则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据数列的新定义,写出前4项,即可判断选项AD的正误,再根据新定义找到项数,,与第几个数列之间的关系,利用数学归纳法即可判断选项B的正误,根据和之间的联系即可得到选项C的正误.【详解】解:由题可知:第一个新数列为:1,10,10,项数为:3,,第二个新数列1,10,10,100,10,由于第二个新数列的得到是第一个数列的基础上,相邻两项积插入,故项数为:,,第三个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故项数为:,,第四个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故项数为:,,故选项A正确;不妨记第个数列时，为,当时,即第一个数列时,满足,不妨假设当时,即第个数列时满足,且数列有项,则当时,即第个数列时,数列的项数有项,此时,满足,故选项B正确;由于新数列是将两数之积插入这两数之间得到,且,故在中比多出来的部分需要乘2次,需要乘一次,再加上乘以,故有,即,故选项C正确;由选项A中可知:,,故选项D错误.故选:ABC34．（2022·高二课时练习）下列结论能用数学归纳法证明的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论.【详解】数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知BC能用数学归纳法证明.故选：BC.35．（2021下·江苏无锡·高二校考期中）对于不等式，某学生用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立②假设，时，不等式成立，即，则时，，∴当时；不等式成立．关于上述证明过程的说法正确的是（）A．证明过程全都正确B．当时的验证正确C．归纳假设正确D．从到的推理不正确【答案】BD【分析】写出正确的数学归纳法的证明过程，对比即可判断证明过程的正确性【详解】对于不等式①当时，代入上式可得：，不等式成立，故题干中当时的验证正确，所以选项B正确②假设，时，不等式成立，即，所以题干中时步骤错误，即归纳假设错误，所以选项A，C错误；当时，，由假设得：，所以即，∴当时；不等式成立．对比可得：题干中从到的推理不正确，选项D正确故选：BD36．（2021·高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（

）A．过程全部正确 B．时证明正确C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确【答案】BD【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可.【详解】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.故选：BD.三、填空题37．（2023上·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上【答案】【分析】由题意，整理取不同值时的式子，对比可得答案.【详解】由题意，当时，所得等式左端为；当时，所得等式左端为；所以当时，左端应在时的左端上加上.故答案为：.38．（2023下·高二课时练习）已知，则．【答案】【分析】根据题意得到和的表达式，进而得到和的关系式，得到答案.【详解】由，可得则，即.故答案为：.39．（2023·高二课时练习）若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测．【答案】3【分析】计算出前几项，得出是周期为6的数列，即可根据周期得出答案.【详解】，，则，，，，，，即，，所以是周期为6的数列，，，故答案为：3.40．（2022上·上海徐汇·高二位育中学校考期末）用数学归纳法证明等式时，第（ii）步从n=k到n=k+1时等式左边应添加的项是【答案】【分析】根据数学归纳法的证明步骤解答.【详解】时，左边；当时，左边；观察两式易知增加的项为：.故答案为：.41．（2022下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）观察下列数表：13

57

9

11

1315

17

19

21

23

25

27

29…

…

…设1025是该表第m行的第n个数，则.【答案】12【分析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，…第十行有29个数，分别求出左起第一个数的规律，按照此规律，即可求出答案.【详解】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1

…第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，第2个数为1025，所以1025是第10行的第2个数，所以m=10，n=2，所以m+n=12；故答案为：12四、解答题42