小学奥数资料：排列学生版

排列

知识框架图

7-4-1排列的基本应用

7计数综合7-4排列7-4-2捆绑法

7-4-3排列的综合应用

即H隹尊学目假

1.使学生正确理解排列的意义；

2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

3.掌握排列的计算公式；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等.

即H昨闵跟廖彘

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就

是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.

一般地，从〃个不同的元素中取出m(加工〃)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中

取出加个元素的一个排列.

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同.如果

两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺

序不同，它们也是不同的排列.

排列的基本问题是计算排列的总个数.

从n个不同的元素中取出相(加工九)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出用个

元素的排列数，我们把它记做匕根.

根据排列的定义，做一个加元素的排列由m个步骤完成：

步3聚1:从〃个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有几种方法；

步骤2:从剩下的(〃-1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(〃-1)种方法；

步骤相：从剩下的［〃-个元素中任取一个元素排在第根个位置，有孔-(根-1)=〃+1(种)方法；

由乘法原理，从〃个不同元素中取出根个元素的排列数是〃•(n-m+1),即

P^1=n(n—l)(n—2)(n—m+1),这里，m<n,且等号右边从〃开始，后面每个因数比前一^个因数小1,共

有机个因数相乘.

二,排列数

一般地，对于〃?=“的情况，排列数公式变为以-3.21.

表示从〃个不同元素中取〃个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n个排列全部取出的排列，叫做n

个不同元素的全排列.式子右边是从“开始，后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积，记为加，

读做〃的阶乘，则以还可以写为:P"=n\,其中〃!="屋〃-1），（〃-2）--3-2.1.

模块一、排列的基本应用

［例1］计算：⑴6；⑵P；-P；.（2级）

【巩固】（难度等级※）计算：⑴耳;⑵耳-吊.（2级）

【巩固】（难度等级X）计算：⑴耳-耳；⑵3案-6.（2级）

【例2】有4个同学一起去郊游,照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照

相时3人站成一排）（4级）

【巩固】4名同学到照相馆照相.他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？（4级）

【巩固】9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？（4级）

【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？（4级）

【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多

少种不同的站法？（4级）

【例3】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站（包括北京和上海），这条铁路线共需要多少

种不同的车票.（4级）

【例4］班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员.问:

有多少种不同的分工方式？（4级）

【例51有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信

号？（4级）

【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少

种不同的信号？（4级）

【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、

黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种

不同的信号？（4级）

［例6］用I、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？（4级）

【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？（2级）

【例7】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？（4级）

［例8］用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？（2级）

【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶

数？（4级）

【例9】由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数，四位数有多少个？（4级）

【例10】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？（4级）

【例11】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？

（4级）

【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687

是第几个数？（4级）

【例12】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数,按照从小到大排列.2008排在个.（6

级）

【例13】千位数字与十位数字之差为2（大减小），且不含重复数字的四位数有多少个？（4级）

【例14］某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9,

那么确保打开保险柜至少要试几次？（6级）

【例15】幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？（4级）

【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？（4级）

【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种

不同的坐法？（4级）

【例16】一个篮球队有五名队员A,B,C,D,E,由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以

分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？（4级）

【例17】小明有10块大白兔奶糖，从今天起，每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法？（4级）

【例18]一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24:30,那么从8时到9时这段时间里，此表的5个

数字都不相同的时刻一共有多少个？（6级）

模块二、捆绑法

在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体

当作一个整体捆绑在一起进行计算.

【例19】4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有

多少种不同的排法？（4级）

【巩固】4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？（4级）

【例20】将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻.请问共有多少种

不同的排列方法？（2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）（4级）

【巩固】6名小朋友A、B、C、D、E、月站成一排，若A,8两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若

A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？（6级）

若A、B两人必须站在一起，那么可以用"捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个

【例21】某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少

先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？（6级）

【例22］学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相，请问:

（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？

（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？（6级）

【例23】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同

类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？（6

级）

【例24】四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问：如

果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？（4级）

【例25】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起,

一共有多少种不同的停车方案？（4级）

【例26】a,b,c,d,e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？（4级）

【巩固】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？（6级）

模块三、排列的综合应用

【例27】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法?

（6级）

【巩固】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法?

（6级）

【例28】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边,

丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）

【例29】甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不

能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）

［例3014名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法:

（1）甲不在中间也不在两端；

⑵甲、乙两人必须排在两端；

⑶男、女生分别排在一起；

（4）男女相间.（6级）

【例31］小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法?

(1)七个人排成一排;

(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.

(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.

(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.

(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.

(6)七个人战成两排,前排三人，后排四人.

(7)七个人战成两排,前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排.（6级）

【例32］已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次.甲、

乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不

会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？（6级）

【例33】书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排.⑴如果同类的书不分开,

一共有多少种排法？⑵如果同类的书可以分开，一共有多种排法？（6级）

【例34】一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少

种不同的串法？

⑴把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位.

⑵串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位.（4级）

【例35］某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第

一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？（4级）

【例36］从6名运动员中选出4人参加4x100接力赛.试求满足下列条件的参赛方案各有多少种:

⑴甲不能跑第一棒和第四棒；

⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.（6级）

［例37］一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求：（6级）

（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？

【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始

和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？（6级）

【例38】用2,3,4,5排成四位数：（6级）

（1）共有多少个四位数？

（2）无重复数字的四位数有多少个？

（3）无重复数字的四位偶数有多少个？

（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？

（5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？

（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个?

【巩固】用数字0,1，2,3,4,5组成没有重复数字的正整数.（6级）

⑴能组成多少个五位数？

⑵能组成多少个正整数？

⑶能组成多少个六位奇数？

⑷能组成我少个能被25整除的四位数？

⑸能组成多少个比201