旋转学案 人教版九年级数学上册

第二十三章旋转

23.1图形的旋转（1）

?学'习❷旗:

1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念.

2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题.

卜重，点举焉,

重点：旋转及对应点的有关概念及其应用.

难点：从生活中抽象出数学概念.

［学’前举备》（2分钟）

请同学们完成下面各题.

（1）将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D,作出平移后的图形.

h!>\

B，第⑴小题图）B，第⑵小题图）

（2）如图，已知aABC和直线1,请你画出AABC关于1的对称图形AA，B'C'.

（3）①圆是轴对称图形吗？②等腰三角形呢？③你还能指出其他的吗？

答：（1）①是；（2）②是；（3）③等腰梯形、长方形、正多边形等.

点拨精讲：（1）平移的有关概念及性质；（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对

称图形并口述它有哪些性质；（3）什么叫轴对称图形.

k预'习>

一、自学指导.（10分钟）

观察：让学生看转动的钟表和风车等.

（1）上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？（指针、风车叶片分别绕中间点旋转）

（2）钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？（形状、大

小不变，位置发生变化）

问题：

（1）从3时到5时，时针转动了多少度？（60°）

（2）风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？（60°）

（3）以上现象有什么共同特点？（物体绕固定点旋转）

思考：在数学中如何定义旋转？

归纳：

把一个图形绕着某一点0转动一个角度的图形变换叫做旋转，点0叫做旋转中心，转动

的角叫做旋转角.

如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.（8分钟）

1.下列物体的运动不是旋转的是（C）

A.坐在摩天轮里的小朋友

B.正在走动的时针

C.骑自行车的人

D.正在转动的风车叶片

2.下列现象中属于旋转的有4个.

①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的

运动；⑥荡秋千运动.

3.如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC,

它绕着0点旋转到西边形DOEF位置，在这个旋转过程中：旋转中心是点0,旋转角

是/AOD（或NBOE）,经过旋转，点A转到D点,点C转到£点，点B转到E点,

线段OA,OB,BC,AC分别转到OD,OE,EF,DF,ZA,ZB,ZC分别与/D,/E,NF

是对应角.

点拨精讲：旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角.

上合'作繇一:

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.（8分

钟）

1.如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.

E

G

（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？

（2）请画出旋转中心和旋转角；

（3）经过旋转，点A,B,C,D分别移到什么位置？

解：（1）可以看做是由基本图案正方形ABCD通

过旋转而得到的；（2）画图略；（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点

G、点H.

点拨精讲：旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一

的.

2.如图，aABC与4ADE都是等腰直角三角形，NC和NAED都是直角，

点E在AB上，如果aABC经旋转后能与4ADE重合，那么旋转中心是点_&_；旋转的

度数是45°.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（5分钟）

两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，

不难知道重合部分的面积为:，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心

旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由.

点拨精讲:设任转一角度，如图中的虚线部分,要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，

只要说明SAOET=SAOW,即说明△()££'^AODD*.

,课堂小些一学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)

1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.

2.旋转的对应点及其它们的应用.

?当'曲冽练》学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)

23.1图形的旋转(2)

匕学'习❷舜,

1.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.

2.了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形.

》重，点犀焉:

重点：图形的旋转的基本性质及其应用.

难点：利用旋转的性质解决相关问题.

k预'习――r

一、自学指导.(10分钟)

动手操作：在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点0作为旋转中心，把挖好的硬

纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC),然后围绕旋转中心0转

动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(AA'B'C'),移去硬纸板.

(分组讨论)根据图回答下面问题：(一组推荐一人上台说明)

1.线段0A与0A',0B与OB',0C与0C'有什么关系？

2.ZA0Az,/BOB',ZC0C7有什么关系？

3.AABC与aA'B，C'的形状和大小有什么关系？

点拨精讲：

(1)OA=OA,,OB=OB',OC=OC',也就是对应点到旋转中心距离相等.

(2)ZA0Az=ZB0B(=NCOC',我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线

段的夹角称为旋转角.

(3)aABC和△△'B'C'形状相同且大小相等，即全等.

归纳：(1)对应点到旋转中心的距离相等；

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(3)旋转前、后的图形全等.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.(6分钟)

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=],Z\ABF是4ADE的旋转图形.

(1)旋转中心是哪一点？

(2)旋转了多少度？

(3)AF的长度是多少？

(4)如果连接EF,那么AAEF是怎样的三角形？

分析：由AABF是4ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，

根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到.aABF与4ADE

是完全重合的，所以4AEF是等腰直角三角形.

解：(1)旋转中心是A点；

(2)VAABF是由4ADE旋转而成的，

是D的对应点，

AZDAB=90°就是旋转角；

,、1

(3)VAD=1,DE=-,

_V17

AE—12+

—4,

•..对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点,

V17

；.AF=

4，

(4)VZEAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE,

.,.△EAF是等腰直角三角形.

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.(8分

钟)

1.如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把4ADE顺时针旋转

90°,

画出旋转后的图形.

点拨精讲：关键是确定4ADE三个顶点的对应点的位置.

2.已知线段AB和点0,画出AB绕点0逆时针旋转100°后的图形.

作法：1.连接0A；

2.在逆时针方向作/A0C=100°,在0C上截取0A'=0A；

3.连接0B；

4.在逆时针方向作/B0D=100°,在0D上截取OB'=0B；

5.连接A'B'.

，线段A'B'就是线段AB绕点0按逆时针方向旋转100°后的对应线段.

点拨精讲：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.(9分钟)

1.如图，AD=DC=BC,/ADC=NDCB=90°,BP=BQ,/PBQ=90".

(1)此图能否旋转某一部分得到一个正方形？

(2)若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由.

(3)它的旋转角多大？并指出它们的对应点.

解:⑴能；

(2)由4BCQ绕B点旋转得到.理由：连接AB,易证四边形ABCD为正方形.再证

△ABP^ACBQ.可知4QCB可绕B点旋转与AABP重合，从而得到正方形ABCD.

(3)90°.点C对应点A,点Q对应点P.

p

2.如图，AABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置,

以及旋转后的三角形.

解：⑴连接CD；

(2)以CB为一边作NBCE,使得NBCE=ZACD；

(3)在射线CE上截取CB'=CB,贝IJB'即为所求的B的对应点；

⑷连接DB',贝QDB'C就是AABC绕C点旋转后的图豚

点拨精讲：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是/ACD,根据对应点与

旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即/BCB'=/ACD,又由对应点到旋转中心的距离相

等，即CB=CB',就可确定B'的位置.

3.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM,使L,M在AK的同旁，

连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.

解：...四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，

；.AB=AD,AK=AM,且/BAD=NKAM为旋转角且为90°,

...△ADM是以A为旋转中心，以NBAD为旋转角，由aABK旋转而成的.

；.BK=DM.

点拨精讲：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.

(课受小痣学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)

1.问题：对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？

2.本节课要掌握：

(1)旋转的基本性质.

(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别.

?当'堂叫薛＞学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)

23.1图形的旋转(3)

7学'习日标,

1.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果.

2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.

，重点.举总

重点：用旋转的有关知识画图.

难点：根据需要设计美丽图案.

?预'习■§•晋

一、自学指导.(15分钟)

1.学生独立完成作图题.如图，AABC绕B点旋转后，0点是A点的对应点，作出4ABC

旋转后的三角形.

点拨精讲：要作出AABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋

转角NABO；③C点旋转后的对应点C'.

探究：从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋

转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中

心、不同的旋转角来进行研究.

把一个图案以0点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同

的效果图形.

1.旋转中心不变，改变旋转角.

2.旋转角不变，改变旋转中心

我们可以设计成如下图美丽的图案.

归纳：旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所

以可以经过旋转设计出美丽的图案.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.（2分钟）

如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过3次旋转,每

次旋转120°得到的.

上合'作繇一:

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.（6分

钟）

1.如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图⑤.图①按顺时针方向至少旋

转180度可得图③.

①.②③④⑤

2.如图所示，在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点P是aABC内的一点，且AP=3,

将aABP绕点A旋转后与AACP'重合，求PP'的长.

解：依题意，AP绕点A旋转90°时得AP'=AP=3,则AAPP'是等腰直角三角形.

所以PP，A2r3432=3板

解题的关键是确定AP与AP'垂直且相等.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（9分钟）

如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC,BC为边在同侧作等边三角形ACD

和等边三角形BCE,连接AE,BD,试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋

转中心、旋转角及旋转方向.

解：4ACE旋转后能与ADCB完全重合.

旋转中心是点C,旋转角是60°,旋转方向是顺时针

方向.（也可看作ADCB绕点C逆时针旋转60°得到4ACE）

课堂4渣—学生总结本堂课的收获与困惑.（3分钟）

1.选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案.

2.作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点一一线的端点、

角的顶点、圆的圆心等.

k当'二冽能>学习至此,请使用本课时对应训练部分.(io分钟)

23.2中心对称

23.2.1中心对称

上学'习❷彝,

1.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念.

2.掌握中心对称的基本性质.

If-'点—>

重点：中心对称的性质及初步应用.

难点：中心对称与旋转之间的关系.

k预'习导学,

一、自学指导.(10分钟)

自学1：中心对称，对称中心，对称点等概念：把一个图形绕某一个点旋转180°,如

果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(cwfra/

symmetry)；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点.

自学2：中心对称的性质：

(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所壬

分；

(2)关于中心对称的两个图形是金笠图形.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.(8分钟)

1.如图，四边形ABCD绕D点旋转180°,请作出旋转后的图案，写出作法并回答.

(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理

由.

(2)如果是中心对称，那么A,B,C,D关于中心对称的对称点是哪些点.

解：(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点.

(2)A,B,C,D关于中心D的对称点是A',B',C',D',这里的D'与D重合.

2.如图，已知AD是AABC的中线，作出以点D为对称中心，

B

与aABD成中心对称的三角形.

分析：因为D是对称中心且AD是aABC的中线，所以C,B为一对对应点，因此，只要

再作出A关于D的对应点即可.

解：（1）延长AD,且使AD=DA',因为C点关于D的中心对称点是B（C'）,A点关于中

心D的对称点为A'.

（2）连接A'B',A'C'.则4A'B'D为所求作的三角形，如图所示.

上合'作繇一:

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.（5分

钟）

如图，已知四边形ABCD和点0,画四边形A，B'CD',使四边形A'B'C'D'和四

边形ABCD关于点0成中心对称.（只保留作图痕迹，不要求写出作法）

点拨精讲：（1）画法总结；（2）性质归纳.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（10分钟）

1.如图，等边4ABC内有一点0,试说明：0A+0B>0C.

解：如图，把△A0C以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO'B的位置，则

△AOC四△AO'B.

.".AO=AO,,0C=0（B.

XVZ0A0,=60°,

...△AO'0为等边三角形..\A0=00,.

在△BOO，中，（XT+OB>BO,,

即OA+OB>OC.

点拨精讲：要证明OA+OB>OC,必然把OA,0B,0C转化在一个三角形内，应用两边之

和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转.以A为旋转中心，旋转60。，

便可把OA,OB,OC转化在一个三角形内.

2.教材第66页练习.

恒堂巴金f学生总结本堂课的收获与困惑.（2分钟）

1.中心对称及对称中心的概念；

2.关于中心对称的两个图形的性质.

'当堂研山学习至此，请使用本课时对应训练部分.（10分钟）

23.2.2中心对称图形

k学'习@庭,

1.掌握中心对称图形的定义.

2.准确判断某图形是否为中心对称图形.

匕重，点一点、＞

重点：中心对称图形的判断.

难点：两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定.

k预'习――，

一、自学指导.（7分钟）

自学：自学课本用6〜67的内容.

探究：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形

能够与原来的图形重合.那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.（3分钟）

将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克

吗？议一议.

解：J.

点拨精讲：这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形.

匕合作赛先，

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.（8分

钟）

1.我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？对称中心是什

么？（出示课件图片）

（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形

（5）正三角形（6）线段（7）角（8）等腰梯形

解：常见的中心对称图形：线段（线段中点）、平行四边形（对角线交点）、矩形、菱形、

正方形、圆（圆心）等.

2.中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系.

解：区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成

中心对称.

联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中

心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（15分钟）

1.英文大写字母中有哪些中心对称图形？

答：（//,I,N,0,S,X,力.

2.说一说：在生活中你还见过哪些中心对称图形？

学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结.

3.想一想：你学过的几何图形具有怎样的对称性？

点拨精讲：边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的

正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

4.课本第67页小练习2.

点拨精讲：怎样判断非常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：将书本转180。，即

倒过来后，看图形是否与原来一样.

5.如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一

条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分？

点拨精讲：由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成

的两部分面积相等.

恒堂巴金f学生总结本堂课的收获与困惑.（2分钟）

1.中心对称图形的定义.

2.怎样准确判断某图形是否为中心对称图形.

/当堂研山学习至此，请使用本课时对应训练部分.（10分钟）

23.2.3关于原点对称的点的坐标

k学'习@彝,

掌握两个点关于原点对称时的坐标特征，能够运用特征解决相关问题.

重点：关于原点对称的点的坐标的关系及初步应用.

难点：关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题.

/预'习■§•一、

一、自学指导.（10分钟）

自学：自学课本为8的内容.

思考：关于原点作中心对称时，（1）它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？纵坐

标与纵坐标的绝对值又有什么关系？（2）坐标与坐标之间符号又有什么特点？

点拨精讲：（1）横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等；（2）坐标

符号相反，即P（x,y）关于原点0的对称点为P'（-X,-y）.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.（8分钟）

4-

3C

A2-

B「•1•

-4-3-；2-I012”

I-I

产胃E

1.如图，在直角坐标系中，已知A(-3,1),B(-4,0),C(0,3),D(2,2),E(3,

-2),F(-2,-2),作出A,B,C,D,E,F点关于原点0的中心对称点，写出它们的坐标，

并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

解：A,B,C,D,E,F点关于原点0对称点分别为A'(3,-1),B'(4,0),C(0,

-3),D'(—2,一2),E'(—3,2),F'(2,2).

这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数.

2.如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与AABC关于原点对称的图形.

AABC的三个顶点A(—2,2),B(—4,—1),C(1,1)关于原点的对称点分别为A'(2,

-2),B'(4,1),C(-1,-1),依次连接A'B',B'C',A'C',就可得到与aABC

关于原点对称的AA'B，C',如右图所示.

?合作繇作,

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.(8分

钟)

如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A,B两点，将直线AB绕点0顺时针旋转90°

得到直线AB.

(1)在图中画出直线AB.

(2)求出过线段中点的反比例函数解析式.

4

3

B

-4-3-2/JOI23y

(3)是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b(我们发现互相平行的两条直线斜

率k值相等)，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请

说明理由.

点拨精讲：(1)只需画出A,B两点绕点0顺时针旋转90°得到的点A”B„连接AB.

k

(2)先求出A3中点的坐标，设反比例函数解析式为y=7弋入求k.

(3)要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加以说明.这

一条直线是存在的，因为AB与双曲线是相切的，只要我们通过AB的坐标作A”Bi关于原

点的对称点A”B2,连接

AzB2的直线就是我们所求的直线.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.(7分钟)

1.已知aABC,A(l,2),B(-l,3),C(-2,4),利用关于原点对称的点的坐标的特

点，作出aABC关于原点对称的图形.

点拨精讲：先在直角坐标系中画出A,B,C三点并连接组成AABC,要作出AABC关于

原点。的对称三角形，只需作出AABC中的A,B,C三点关于原点的对称点，依次连接，