2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型三 函数的实际应用 (含答案)

2024甘肃中考数学二轮专题训练题型三函数的实际应用类型一行程问题典例精讲例1已知A、B两地相距240km，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后(在A地停留时间不计)立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：例1题图(1)图中m的值是________；轿车的速度是______km/h；【分层分析】图中折线FEH表示______________，故轿车的速度为________，轿车行驶的总路程为________，因此可得轿车行驶的时间为________，故m的值为________；(2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式；【分层分析】观察图象可得，货车行驶的过程分为三段，第一段：当x＝0时，y＝________，当x＝2.5时，y＝________，列方程组联立求解可得y与x的函数关系式为____________；第二段：当2.5<x<3.5时，货车________，此时y＝________；第三段：当x＝3.5时，y＝________．当x＝5时，y＝____，列方程组联立求解可得y与x的函数关系式为______________．整理即可得解；(3)直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km?【分层分析】设轿车出发a小时与货车相距12km，分两种情况讨论，当货车与轿车相遇前，两车相距12km时，则有“两车合走的路程＋12km＝A、B两地之间的距离，可列方程为______________，当货车与轿车相遇后，两车相距12km时，则有“两车合走的路程－12km＝A、B两地之间的距离，可列方程为____________，求解即可．针对训练1.在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示．(1)在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是________m/min；(2)求AB的函数表达式；(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．第1题图2.李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计)．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：(1)直接写出工厂离目的地的路程；(2)求s关于t的函数表达式；(3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？第2题图3.快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．下图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．请解答下列问题：(1)求快车和慢车的速度；(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．第3题图类型二工程问题典例精讲例2甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装，甲车间工作了9h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)．甲车间加工的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图所示．(1)甲车间每小时加工服装______件，这批服装的总件数为________件；【分层分析】由函数图象可知，甲车间工作9h加工________件服装，根据工作效率＝eq\f(工作总量,工作时间)，则甲车间每小时加工________件服装；在相同时间内，乙车间单独加工了________件服装，所以这批服装的总件数为________件；例2题图(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；【分层分析】由图象可知，乙车间2h加工________件服装，则乙车间每小时加工________件服装，那么乙车间加工490件衣服需要________h，则乙车间停工________h，所以维修设备后对应点的坐标为(______，140)，利用待定系数法求解；(3)求加工过程中甲、乙两车间共加工完1140件时甲车间所用的时间．【分层分析】由函数图象可得到甲车间加工服装数量y1与加工时间x之间的函数关系式为____________，结合(2)中求出的函数关系式可得到________＋________＝1140，求解即可．针对训练1.甲、乙两个车间承接一项加工同一型号的螺丝和螺母的任务，甲车间负责加工螺丝，乙车间负责加工螺母，且一个螺丝配两个螺母，加工螺丝的数量y1个、加工螺母的数量y2个与加工螺丝的时间xh之间的部分函数图象如图所示．(1)求y1、y2与x的函数表达式；(2)在加工的过程中，多长时间刚好配套？多长时间加工螺丝的数量是螺母数量的1.2倍？(3)当加工螺丝的数量是螺母数量的1.2倍时，甲完成全部加工任务，为了尽快完成任务，丙车间参与加工螺母，已知丙与乙的工作效率相同，求再经过多长时间乙、丙完成全部加工任务．第1题图2.某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，甲、乙车负责进货，丙车负责出货．乙车的运输量为每小时4t，下图是某天从早晨上班开始库存量y(t)与时间x(h)之间的函数图象，OA段只有甲、丙车工作，AB段只有甲、乙车工作，BC段只有乙、丙车工作(x为整数)．(1)求甲、丙车每小时的运输量，并求a的值；(2)求BC段y与x之间的函数关系式；第2题图(3)假如一天的工作时间为8h，从早晨开始，先安排甲车单独工作3h后，再安排乙、丙两车的工作，要使当天出货量尽可能大，则应如何安排工作可使当天库存量恰好为0.3.爱贝玩具厂开发了一款新型益智玩具，一期计划生产200万件，预计20天后投入市场．该厂有甲、乙、丙三条生产线，由于丙生产线在技术创新升级中，则由甲、乙两条生产线先开始生产加工玩具．甲、乙两条生产线一起生产加工玩具4天后，乙生产线发生故障停止生产，只剩甲生产线单独加工玩具．为了能在规定时间完成任务，丙生产线加快了技术升级，6天后也投入生产．由于丙生产线技术升级后提高了效率，所以提前一天完成加工任务．已知甲、乙两条生产线生产玩具总量y1(万件)与时间x(天)的关系如图折线段OAB所示，丙生产线生产玩具总量y2(万件)与时间x(天)的关系如图线段CD所示．(1)求第5天结束时，生产玩具总量；(2)求玩具生产总量y(万件)与时间x(天)的函数关系式(注明x的取值范围)；(3)直接写出生产第几天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量的差为20万件．第3题图类型三销售问题典例精讲例3某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元．经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间符合一次函数关系，如图所示：(1)求y与x之间的函数关系式；【分层分析】当x＝25时，y＝____，当x＝35时，y＝________，列方程组联立求解可得y与x的函数关系式为______________；例3题图(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？【分层分析】根据“总利润＝(售价－成本)×销量”，可列方程为__________，由题知x的取值范围为________，综合可得售价应定为________元；(3)设商场销售这种商品每天获利w(元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？【分层分析】根据“总利润＝(售价－成本)×销量”，可得利润w关于x的函数解析式为____________，根据二次函数的性质可得当x＝________时，w有最大值，最大值为________．针对训练1.猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如下表：类别价格A款玩偶B款玩偶进货价(元/个)4030销售价(元/个)5645(1)第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？(注：利润率＝eq\f(利润,成本)×100%)2.某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y(单位：万件)与销售单价x(单位：元)之间有如下表所示关系：x…4.05.05.56.57.5…y…8.06.05.03.01.0…(1)根据表中信息，求出y关于x的函数表达式；(2)设经营此商品的月销售利润为P(单位：万元)．①写出P关于x的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元(不计其它成本)，若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？3.老李做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为8元，该款“中国结”的批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系．(1)当100≤x≤200时，求y与x的函数关系式；(2)某零售商在老李家一次性批发该款“中国结”，共支付1920元，求此次批发件数；(3)某零售商在老李家一次性批发该款“中国结”x(100≤x≤300)件，老李获得的利润为w元，当x为何值时，老李获得的利润最大？最大利润是多少元？第3题图参考答案类型一行程问题典例精讲例1【分层分析】(1)轿车从B地前往A地再返回B地，120km/h，480km，4h，5；(2)240，75，y＝－66x＋240，停止不动，75，75，0，y＝－50x＋250；(3)66(1＋a)＋120a＋12＝240，66(1＋a)＋120a－12＝240.解：(1)5；120；【解法提示】由题意可得折线FEH为轿车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，易知轿车总路程为480km，总时间为4h，故m＝5，速度为480÷4＝120km/h.(2)由图象可知，货车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系可分MN，NG，GH三段，①设MN段的函数关系式为y＝k1x＋b1(k1≠0)(0≤x<2.5)∵图象过点M(0，240)和点N(2.5，75)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝240,2.5k1＋b1＝75))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－66,b1＝240))，∴y＝－66x＋240(0≤x<2.5)；②设NG段函数关系式为y＝75(2.5≤x<3.5)；③设GH段函数关系式为y＝k2x＋b2(k2≠0)(3.5≤x≤5)，∵图象过点G(3.5，75)和点H(5，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.5k2＋b2＝75,5k2＋b2＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－50,b2＝250))，∴y＝－50x＋250(3.5≤x≤5)．∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－66x＋240（0≤x<2.5）,75（2.5≤x<3.5）,－50x＋250（3.5≤x≤5）))；(3)轿车出发1h或eq\f(27,31)h时与货车相距12km.【解法提示】设轿车出发xh与货车相距12km，由图象可得货车的速度为eq\f(240－75,2.5)＝66(km/h)，根据题意得相遇前有66(1＋x)＋120x＋12＝240，解得x＝eq\f(27,31)，相遇后有66(1＋x)＋120x－12＝240，解得x＝1，∴轿车出发1h或eq\f(27,31)h与货车相距12km.针对训练1.解：(1)1；【解法提示】由题图知，“猫”的平均速度为eq\f(30,6－1)＝6(m/min)．“鼠”的平均速度为eq\f(30,6)＝5(m/min)，∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度差是1(m/min)．(2)设AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，根据图象可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7k＋b＝30,10k＋b＝18))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－4,b＝58))，∴y＝－4x＋58；(3)令y＝0，则－4x＋58＝0，解得x＝14.5.∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5min.2.解：(1)工厂离目的地路程为880千米；【解法提示】由图象得t＝0时，s＝880，∴工厂离目的地的路程为880千米．(2)设s关于t的函数表达式为s＝kt＋b(k≠0)，将t＝0，s＝880和t＝4，s＝560分别代入表达式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝880,4k＋b＝560))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－80,b＝880))，∴s关于t的函数表达式为s＝－80t＋880(0≤t≤11)；(3)当油箱中剩余油量为10升时，s＝880－(60－10)÷0.1＝380(千米)，∴380＝－80t＋880，解得t＝eq\f(25,4)(小时)，当油箱中剩余油量为0升时，s＝880－60÷0.1＝280(千米)，∴280＝－80t＋880，解得t＝eq\f(15,2)(小时)．∵k＝－80<0，∴s随t的增大而减小，∴t的取值范围是eq\f(25,4)<t<eq\f(15,2).3.解：(1)由题意可知，快车2小时行驶了180千米，慢车3小时行驶了180千米，∴快车速度为180÷2＝90千米/小时，慢车的速度为180÷3＝60千米/小时；(2)∵快车中途休息了1.5小时，即AE段，∴点E的坐标为(3.5，180)．快车从点E到点C所用时间为eq\f(360－180,90)＝2(小时)，∴点C的坐标为(5.5，360)，设EC段所表示的函数表达式为y1＝kx＋b，将E(3.5，180)，C(5.5，360)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.5k＋b＝180,5.5k＋b＝360))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝90,b＝－135))，∴线段EC段所表示的函数表达式为y1＝90x－135(3.5≤x≤5.5)；(3)点F坐标为(4.5，270)，其实际意义为经过4.5小时，两车均行驶了270千米．【解法提示】∵OD的函数解析式为y2＝60x，∴联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＝90x－135,y2＝60x))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4.5,y＝270))，∴点F的坐标为(4.5，270)．即点F表示的实际意义是经过4.5小时，两车均行驶了270千米．类型二工程问题典例精讲例2【分层分析】(1)810，90，490，1300；(2)140，70，7，2，4；(3)y1＝90x，70x－140，90x；解：(1)90，1300；【解法提示】由题图可得，甲车间每小时加工服装件数为810÷9＝90(件)，这批服装的总件数为810＋490＝1300(件)．(2)由题图可知乙车间每小时加工服装140÷2＝70(件)，乙车间加工490件服装共需要490÷70＝7(h)，∴维修设备时间为9－7＝2(h)，∴维修设备后对应点的坐标为(4，140)，设乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与加工时间x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将点(4，140)、(9，490)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝140,9k＋b＝490))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝70,b＝－140))，∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式是y＝70x－140；(3)设甲车间加工服装数量y与x的函数关系式为y1＝mx，将点(9，810)代入得，9m＝810，解得m＝90，∴y1＝90x，由y＋y1＝1140，得70x－140＋90x＝1140，解得x＝8，答：甲、乙两车间共加工完1140件服装时甲车间所用时间是8小时．针对训练1.解：(1)设y1＝k1x，由于图象经过(2，60)，∴60＝2k1，解得k1＝30，∴y1＝30x，设y2＝k2x＋40，由于图象经过(2，80)，∴80＝2k2＋40，解得k2＝20，∴y2＝20x＋40；(2)当2y1＝y2时，2×30x＝20x＋40，∴x＝1，∴1h时刚好配套．当y1＝1.2y2时，30x＝1.2(20x＋40)，∴x＝8.∴当时间为8时，加工螺丝的数量是螺母数量的1.2倍．(3)由(2)知，当x＝8时，y1＝30×8＝240，y2＝20×8＋40＝200.由于一个螺丝配两个螺母，∴乙还需加工240×2－200＝280(个)螺母．∴20(x－8)＋20(x－8)＝280.解得x＝15.15－8＝7.∴再经过7h，乙、丙完成全部加工任务．2.解：(1)设甲车每小时的运输量为mt，丙车每小时的运输量为nt，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝\f(4,2),m＋4＝15－4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝7,n＝5))，∵BC段只有乙、丙两车工作，∴(5－4)×(8－3)＝15－a，解得a＝10，答：甲车每小时的运输量为7t，丙车每小时的运输量为5t，a的值为10；(2)由(1)知，点C的坐标为(8，10)，设BC段y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将B(3，15)，C(8，10)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝15,8k＋b＝10))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝18))，∴BC段y与x之间的函数关系式为y＝－x＋18；(3)可安排乙车进货1h，丙车出货5h.理由如下：甲车单独工作3h后，库存为3×7＝21(t)，∵要使当天的出货量尽可能大，∴当3≤x≤8时，安排丙车一直工作，则丙车可出货5×5＝25(t)，∴最多可再进货4t，故只需安排乙车进货1h，丙车出货5h，即可满足要求．3.解：(1)由题意可得，甲的生产效率为(96－36)÷(19－4)＝4(万件/天)，则第5天结束时的生产总量为36＋(5－4)×4＝40(万件)，答：第5天结束时，生产玩具总量是40万件；(2)当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝kx，将(4，36)代入得36＝4k，解得k＝9，即当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝9x，当4＜x＜6时，设y与x的函数关系式为y＝ax＋b，将(4，36)，(5，40)代入得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝36,5a＋b＝40))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝20))，即当4＜x＜6时，y与x的函数关系式为y＝4x＋20，当6≤x≤19时，丙的工作效率是104÷(19－6)＝8(万件/天)，将x＝6代入y＝4x＋20中，得y＝44，则当6≤x≤19时，y与x的函数关系式为y＝(4＋8)(x－6)＋44＝12x－28，综上所述，y与x的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9x（0≤x≤4）,4x＋20（4<x<6）,12x－28（6≤x≤19）))；(3)生产第3天和第12天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量的差为20万件．【解法提示】将y＝20代入y＝9x中，解得x＝eq\f(20,9)＝2eq\f(2,9)，设CD段对应的函数解析式为y＝cx＋d，将(6，0)、(19，104)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6c＋d＝0,19c＋d＝104))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝8,d＝－48))，即CD段对应的函数解析式为y＝8x－48，由题意可得(4x＋20)－(8x－48)＝20，解得x＝12，∴在第3天和第12天甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量的差为20万件．类型三销售问题典例精讲例3【分层分析】(1)70，50，y＝－2x＋120；(2)(x－20)(－2x＋120)＝600，20≤x≤38，30；(3)w＝(x－20)(－2x＋120)，38，792.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把(25，70)、(35，50)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25k＋b＝70,35k＋b＝50))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝120))，∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋120；(2)(x－20)(－2x＋120)＝600∴x1＝30，x2＝50，又∵20≤x≤38，∴x＝50(舍)，∴x＝30.答：每件商品的售价应定为30元；(3)w＝(x－20)(－2x＋120)＝－2x2＋160x－2400＝－2(x－40)2＋800∵a＝－2<0，∴抛物线开口向下，又∵对称轴为直线x＝40，∴当20≤x≤38时，w随x的增大而增大，∴当x＝38时，w有最大值，w最大＝792，答：当每件商品售价为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．针对训练1.解：(1)设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30,40x＋30y＝1100))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20,y＝10)).答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；(2)设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30－a)个，根据题意得a≤eq\f(1,2)(30－a)，解得a≤10.设获得利润为w元，则w＝(56－40)a＋(4