新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.1直线与直线平行学生用书新人教A版必修第二册

8.5空间直线、平面的平行直线与直线平行学习任务1．理解并驾驭基本领实4．(数学抽象)2．理解等角定理，并会用其解决有关问题．(直观想象、逻辑推理)在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，假如a∥b，b∥c，那么a∥c.这特性质在空间是否成立呢？学问点1基本领实4(1)内容：平行于同一条直线的两条直线______．这一性质通常叫做平行线的______性．(2)符号表示：a∥bb1．基本领实4的实质及作用是什么？__________________________________________________________________________________________________________________________________________学问点2等角定理假如空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________．2．应用等角定理时，两个角何时相等何时互补？__________________________________________________________________________________________________________________________________________1．在三棱台A1B1C1-ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1的关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．垂直2．空间两个角∠ABC和∠A′B′C′中，AB∥A′B′，BC∥B′C′，若∠ABC＝45°，则∠A′B′C′＝()A．45° B．135°C．30° D．45°或135°类型1平行线传递性的应用【例1】(源自苏教版教材)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF∥A1C1．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基本领实4表述的性质通常叫做平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．证明两直线平行的方法一般有三角形的中位线、平行四边形、点分线段成比例等．[跟进训练]1．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且CGGB＝CH_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2等角定理的应用【例2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________证明两个角相等常有三种途径：三角形相像、三角形全等及空间等角定理．其中依据空间等角定理证明两角相等时要留意两点：①证明两个角的两边分别对应平行；②判定两个角的两边的方向都相同或者都相反．[跟进训练]2．如图，已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD.求证：△EFG∽△BCD._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．若直线a，b，c满意a∥b，a，c异面，则b与c()A．确定是异面直线B．确定是相交直线C．不行能是平行直线D．不行能是相交直线2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′等于()A．130° B．50°C．130°或50° D．不能确定3．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．基本领实4的内容是什么？有什么作用？2．空间等角定理的内容是什么？有什么作用？直线与直线平行[必备学问·情境导学探新知]学问点1(1)平行传递(2)a∥c思索1提示：实质上是说平行具有传递性，是推断空间两条直线平行的依据．学问点2相等或互补思索2提示：假如两角的两条边方向都相同或都相反，则这两角相等；假如两条边的方向一个相同一个相反，则两角互补．课前自主体验1．C[如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.]2．D[由等角定理可知∠A′B′C′＝45°或135°.][关键实力·合作探究释疑难]例1证明：连接AC(图略)．在△ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC.又因为AA1綉BB1，BB1綉CC1，所以AA1綉CC1，从而四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.从而EF∥A1C1.跟进训练1．证明：因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，所以EF∥BD，且EF＝12BD因为G，H分别是BC，CD边上的点，且CGGB＝CHHD＝所以HG∥BD，且HG＝13BD所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四边形GHFE是梯形．例2证明：(1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.跟进训练2．证明：∵在△ABC中，EF∥BC，∴AEEB＝AFFC.又FG∥∴AFFC＝AGGD.∴AEEB＝AGGD，∴∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行，且方向相同，∴∠EFG＝∠BCD.同理∠FGE＝∠CDB.∴△EFG∽△BCD.[学习效果·课堂评估夯基础]1．C[若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相冲突，则b与c不行能平行，故选C.]2．C[∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴∠AOB与∠A′O′B′相等或互补，∵∠AOB＝130°，∴∠A′O′B′＝130°或50°.