上海市浦东新区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

2023学年第二学期高二数学期末质量检测注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．2与8的等比中项是.2．若，则．3．等差数列中，，则．4．若，则．5．等差数列中，，，则．6．函数的驻点是．7．设数列的前项和为，，则.8．函数的极值点的个数是．9．已知数列满足，，则数列的前4项和等于．10．函数的值域为．11．在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是．12．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项．其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13．下列说法正确的是(

).A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值.B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值.C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值.D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值.14．已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（

）A． B． C． D．15．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．16．数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（

）A．①对②错 B．①错②对C．①②都对 D．①②都错三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（1）求函数的单调区间．（2）数列的通项公式是，证明该数列是严格减数列．18．已知数列为等比数列，，．(1)求的值；(2)求数列的前n项和．19．圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示．当圆柱的高h为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？20．已知函数．(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；(2)当时，讨论的单调性．21．已知等差数列和等比数列， ，，，(1)求通项公式、；(2)求满足的正整数m．1．【分析】根据等比中项的定义求解．【详解】设2与8的等比中项是，则，．故答案为：．2．【分析】求导可得，代入计算，即可求解.【详解】因为，则.故答案为：3．0【分析】根据等差数列的通项公式求解即可．【详解】等差数列中，，则公差，则．故答案为：0.4．【分析】利用积的导数法则可求解.【详解】由，可得.故答案为：.5．260【分析】根据等差数列求和公式求解即可．【详解】利用等差数列求和公式：可得，．故答案为：260.6．【分析】求导，根据导数即可求解.【详解】，令，解得，故答案为：.7．【分析】利用求得.【详解】当时，，当时，，所以，也符合上式，所以.故答案为：8．0【分析】利用导数求函数单调区间，判断极值点的个数.【详解】函数定义域为，由，函数在和都单调递增，没有极值点，函数的极值点的个数为0.故答案为：0.9．【分析】根据数列的递推关系式，计算出前4项，再计算前4项和；【详解】，.当时；当时；当时；所以数列的前4项和等于.故答案为：.10．【分析】利用导数判断函数的单调性，再由函数单调性求函数最小值及最大值即可求解.【详解】，令解得或，时，，当时，，在上单调递增，在上递减，，当时，，当时，，，函数的值域为故答案为：11．或【分析】由于1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则，从而得解．【详解】1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则，联立得到，解得或．当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意；当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，符合题意．综上所得，x、y的值分别是或．故答案为：或．12．【分析】令，根据题意可知在上单调递增，进而对函数求导，将问题转化为导函数恒成立，最后解出答案.【详解】令，因为，所以，即，即在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，令.则，所以，所以即的取值范围为.故答案为：.13．B【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断．【详解】如图为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象：对于选项A：极大值极小值，故A错误；对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确；如图所示，函数f(x)在区间[a，b]上的极大值，而不是最大大值，故C错误；同时，最大值不是极大值，故D也错误．故选：B.14．D【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D【详解】设等差数列的公差为，对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误；对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误；对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误；对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；故选：D15．C【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集.【详解】由图象可知，在区间上，在区间上，所以不等式的解集为.故选：C16．C【分析】利用，可判断①，当时，，，可求判断②.【详解】由，可得，故①正确；，当时，，不适合上式，所以，故②正确.故选：C.17．（1）答案见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果；（2）根据题意，由即可证明.【详解】（1）因为，所以单调递增，即函数在上单调递增；（2）证明：因为，则，则，即，所以，所以数列是严格减数列18．(1)(2)【分析】（1）根据题意，由条件可得数列的通项公式，然后代入计算，即可求解；（2）根据题意，由分组求和法结合等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为数列为等比数列，则，即，又，则，所以.（2）由（1）可知，，则，设数列的前n项和，则.19．当时，圆柱的体积最大，最大值为．【分析】先设出圆柱的底面半径，利用三角形相似，推出的表达式，然后求出体积表达式，求导可得体积最大值时的圆柱体的高，进而可得最大体积．【详解】如图作圆锥（圆柱）的轴截面，设圆柱的底面半径为，由∽，所以，所以．由此得，圆柱体的体积．由题意，求导可得，令，可得或（舍）．当，，单调递增，当当，，单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为．20．(1)(2)在上单调递增，在上单调递减.【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率；（2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性.【详解】（1）由题意，在中，，中，当时，，，中，，∴曲线在点处切线的斜率为（2）由题意及（1）得，在中，，当时，，∴即，此时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴函数在上单调递增，在上单调递减.21．(1)；(2)【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，可