高考数学微专题集专题18圆锥曲线中的张角问题微点1椭圆的两焦点(长轴两端点)最大张角问题(原卷版+解析)

专题18圆锥曲线中的张角问题微点1椭圆的两焦点（长轴两端点）最大张角问题专题18圆锥曲线中的张角问题微点1椭圆的两焦点（长轴两端点）最大张角问题【微点综述】在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下．一、常用结论【结论1】如图1，已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大．分析：，而在为减函数，只要求的最小值，又知，，利用余弦定理可得．证明：如图1，由已知：，，∴（当时取等号），由余弦定理得：（当时取等号），∴当时，的值最小，∵，∴此时最大，即点P为椭圆短轴的端点时最大，此时离心率．【结论2】如图2，已知为椭圆长轴上的两个顶点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大．分析：当最大时，一定是钝角，而在上是增函数，利用点的坐标，表示出，再求的最大值．证明：如图，不妨设（，），则，，，∴，，则，又，∴，∵，，∴当时，取得最大值，此时最大，∴当点为椭圆短轴的端点时，最大．二、应用举例例1．1．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得，求椭圆离心率的取值范围．例2．(2023赣州期中）2．已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例3．3．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A． B． C． D．例4．4．已知椭圆，长轴两端点为A，B，如果椭圆上存在点P使得∠APB=120°，求这个椭圆的离心率的取值范围．例5．(2023课标1，文12）5．(2023新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A． B．C． D．例6．（2023·全国）6．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【强化训练】(2023山东高三专题练习）7．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.A． B． C． D．(2023哈尔滨市·黑龙江实验中学高二期中）8．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．(2023福建永春五中高三期中）9．已知，是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得，则该椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．(2023安徽淮南市）10．设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．(2023甘肃兰州市·兰州一中）11．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）12．设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．(2023山东枣庄市·高三二模）13．设、是椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是A． B．C． D．(2023江苏南通市·海门中学高二期中）14．已知椭圆C：的焦点，在x轴上，若椭圆上存在一点P，使得，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．(2023宜宾市叙州区第二中学校）15．已知F1，F2分别是椭圆的左､右焦点，椭圆C上不存在点P使，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．(2023全国高三专题练习）16．已知，为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．17．已知P为椭圆上一点，是焦点，取最大值时的余弦值为，则此椭圆的离心率为_______．18．已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.19．若P是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______．20．已知椭圆C的方程为离心率，，分别为左焦点和右顶点，点在椭圆上，若为锐角，则实数的取值范围是______．21．焦点在轴x上的椭圆方程为，，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点B，使得，那么实数a的取值范围是______．22．已知焦点在x轴上的椭圆，，是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，求b的取值范围．23．椭圆的焦点为、，点P为其上动点，当为钝角时，求点P横坐标的取值范围.专题18圆锥曲线中的张角问题微点1椭圆的两焦点（长轴两端点）最大张角问题专题18圆锥曲线中的张角问题微点1椭圆的两焦点（长轴两端点）最大张角问题【微点综述】在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下．一、常用结论【结论1】如图1，已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大．分析：，而在为减函数，只要求的最小值，又知，，利用余弦定理可得．证明：如图1，由已知：，，∴（当时取等号），由余弦定理得：（当时取等号），∴当时，的值最小，∵，∴此时最大，即点P为椭圆短轴的端点时最大，此时离心率．【结论2】如图2，已知为椭圆长轴上的两个顶点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大．分析：当最大时，一定是钝角，而在上是增函数，利用点的坐标，表示出，再求的最大值．证明：如图，不妨设（，），则，，，∴，，则，又，∴，∵，，∴当时，取得最大值，此时最大，∴当点为椭圆短轴的端点时，最大．二、应用举例例1．1．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得，求椭圆离心率的取值范围．例2．(2023赣州期中）2．已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例3．3．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A． B． C． D．例4．4．已知椭圆，长轴两端点为A，B，如果椭圆上存在点P使得∠APB=120°，求这个椭圆的离心率的取值范围．例5．(2023课标1，文12）5．(2023新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A． B．C． D．例6．（2023·全国）6．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【强化训练】(2023山东高三专题练习）7．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.A． B． C． D．(2023哈尔滨市·黑龙江实验中学高二期中）8．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．(2023福建永春五中高三期中）9．已知，是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得，则该椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．(2023安徽淮南市）10．设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．(2023甘肃兰州市·兰州一中）11．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）12．设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．(2023山东枣庄市·高三二模）13．设、是椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是A． B．C． D．(2023江苏南通市·海门中学高二期中）14．已知椭圆C：的焦点，在x轴上，若椭圆上存在一点P，使得，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．(2023宜宾市叙州区第二中学校）15．已知F1，F2分别是椭圆的左､右焦点，椭圆C上不存在点P使，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．(2023全国高三专题练习）16．已知，为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．17．已知P为椭圆上一点，是焦点，取最大值时的余弦值为，则此椭圆的离心率为_______．18．已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.19．若P是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______．20．已知椭圆C的方程为离心率，，分别为左焦点和右顶点，点在椭圆上，若为锐角，则实数的取值范围是______．21．焦点在轴x上的椭圆方程为，，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点B，使得，那么实数a的取值范围是______．22．已知焦点在x轴上的椭圆，，是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，求b的取值范围．23．椭圆的焦点为、，点P为其上动点，当为钝角时，求点P横坐标的取值范围.参考答案：1．分析：根据结论列出不等式即可得到离心率的取值范围.【详解】方法1：由结论1知：当点为椭圆短轴的端点时，最大，因此要最大角，即，即，也就是，解不等式，得，故椭圆的离心率．方法2：此时离心率，故椭圆的离心率．2．A分析：首先考虑通径上有四个点满足题意，然后根据以为直径的圆与椭圆无交点得到关于，，的不等式，通过不等式求解椭圆离心率即可.【详解】方法一：当轴时，有两个点满足为直角三角形；同理当轴时，有两个点满足为直角三角形．∵使为直角三角形的点有且只有4个，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴，∴，∴，又，解得.方法二：由题意为直角三角形的点有且只有4个，根据椭圆的几何性质可知，当点落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，可得此时,又，故.故选：A．3．C【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以，所以，故选C．【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为．所以由得，由关系求离心率的范围．4．分析：点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可，即当为短轴端点时，即可，再结合离心率公式，即可求解．【详解】点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可，即当为短轴端点时，即可，，，又，该椭圆的离心率的取值范围是．5．A【详解】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．6．B分析：利用结论建立不等式即可求解.【详解】根据题意作图如下：由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆C上存在点（）使得，则，∴，即：，整理得：，又，∴得到：，∴，∴椭圆离心率的取值范围为，故选:B．7．C【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大,则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系,考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.8．D分析：中，设设，，则根据余弦定理写出，解得，根据条件可知，求离心率的范围.【详解】设，，若椭圆上存在点使得，，，即，，即，.故选D【点睛】本题考查椭圆的几何性质与应用，涉及余弦定理，以及不等式关系的建立，意在考查转化思想和计算能力.9．B【详解】根据椭圆的对称性，若椭圆上存在点使得，三角形OBF中，，所以即，因为椭圆的离心率小于1，所以选B．10．C分析：根据题意设坐标，根据结合椭圆方程求出，代入离心率公式求解即可.【详解】设，，，则、，所以，因为，所以，由点P在椭圆上可得，则，解得，所以，故选：C.11．C分析：点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，可得b≥c，利用离心率计算公式即可得出．【详解】∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a．∴故选C．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).12．A分析：分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，设为椭圆短轴端点，由题意，，利用三角函数列出不等式即可得解.【详解】①时，上存在点满足，设为椭圆短轴端点，当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足则，，，解得；②当椭圆的焦点在轴上时，，同理可得；的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查了椭圆性质和三角函数的综合应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.13．A【详解】根据椭圆的性质可知，当点在短轴的端点时，此时角最大，要使得椭圆上存在点满足，则，即，当时，，解得，当时，，解得，所以实数的取值范围是，故选A.点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中根据根据椭圆的性质得到当点在短轴的端点时角最大，要使得椭圆上存在点满足，则，即，进而得到不等关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合法的应用.14．C分析：由焦点在轴得一范围，再由短轴顶点对两焦点张角最大又得一关系．从而可求得结论．【详解】∵椭圆焦点在轴，∴，，是椭圆上的点，当是椭圆短轴顶点时，最大，由题意（为短轴顶点），所以，．综上所述，．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质．注意椭圆的性质：是椭圆的焦点，是椭圆上的点，当是椭圆短轴顶点时，最大．15．D分析：根据题意得到恒成立，得到，计算得到答案.【详解】椭圆C上不存在点P使，即恒成立当在短轴顶点时最大，即，即故选：D【点睛】本题考查了椭圆的离心率，确定角度最大的点是解题的关键.16．C分析：讨论焦点的位置，然后利用焦点三角形顶点的位置和已知条件可找到m的取值范围.【详解】当焦点在轴上时，，，，当为上下顶点时，最大，因为坐标，，，所以，即，解得；当焦点在轴上时，，，，当为左右顶点时，最大，因为，，，所以，即，解得，故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质，考查的核心素养是数学运算、分类讨论思想.17．分析：先利用余弦定理和基本不等式判断时取最大值，余弦值最小为，解得，再利用计算离心率即可.【详解】依题意，，当取最大值时，即最小，即的最小值为.而，而，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，即，故.故答案为：.【点睛】方法点睛：求椭圆离心率常见方法：（1）直接法：由a，c直接计算离心率；（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.18．分析：利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.【详解】由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，因为的最大值为，则，可得，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.19．##分析：先根据椭圆的方程得到，进而