人教A版普通高中数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值学案

第二节函数的单调性与最值考试要求：1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．2．理解函数的单调性与最值的作用和实际意义．自查自测知识点一函数的单调性1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)(2)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×2．(多选题)(教材改编题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(AC)A．y＝1x－x B．y＝x2－C．y＝－x2－2x D．y＝ex3．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(A)A．(1，＋∞) B．(－∞，1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为[－1，1]和[5，7]．5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是．(－∞，5]∪[20，＋∞)解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为直线x＝k，由题意可得k≤5或k≥20.故实数k的取值范围是(－∞，5]∪[20，＋∞)．核心回扣1．增函数与减函数注意点：单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．注意点：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.自查自测知识点二函数的最值1．下列函数在区间[1，4]上最大值为3的是()A.y＝x2 B．y＝3x－2C．y＝x2－13 D．y＝1－xC解析：选项A，B，C在区间[1，4]上均单调递增，选项D在区间[1，4]上单调递减，代入端点值，即可求得最大值为3的是y＝x2－13.2．设定义在R上的函数f(x)＝-x，x≤0，x，A．只有最大值B．只有最小值C．既有最大值，又有最小值D．既无最大值，又无最小值D解析：如图，画出f(x)的图象可知，f(x)既无最大值，又无最小值．3．(教材改编题)已知函数f(x)＝2x+1，x∈[0，2]，则f(x)的最大值为，最小值为223解析：因为函数f(x)在[0，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝2核心回扣函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件∀x∈D，都有f(x)≤M；∃x0∈D，使得f(x0)＝M∀x∈D，都有f(x)≥M；∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值注意点：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值．【常用结论】与函数单调性有关的常用结论(1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①fx1-fx2x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)⇔f(x)在区间D上单调递增；②fx1-fx2x1-x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔x1f(x1)＋x2f(x2)＜x(2)函数y＝x＋1x的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞(3)函数y＝ax＋bx(a>0，b>0)的单调递增区间为-∞，-ba和b(4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．应用1(多选题)若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，下列说法正确的是(AD)A．函数f(x)与f(x)－c(c为常数)具有相同的单调性B．函数f(x)与c·f(x)具有相同的单调性C．若f(x)≠0，则函数f(x)与－1fD．若函数f(x)，g(x)都是减函数，则f(x)＋g(x)是减函数应用2若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有faA．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)是先增后减 D．函数f(x)是先减后增A解析：由fa-fba-b>0知，f(a)－f(b)与a－b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(确定函数的单调性(区间)1．下列函数中是增函数的为()A．f(x)＝－x B．f(x)＝23C．f(x)＝x2 D．f(x)＝3D解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝23x是指数函数，且0<23<1，所以函数f(x)＝23x在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；函数f(x)＝32．设函数f(x)＝1，x>0，0，x=0，-1，x<0，g(x)＝x[0，1)解析：由题意知g(x)＝x23．(2024·威海模拟)函数f(x)＝x2-2x-3的单调递增区间是[3，＋∞)解析：由题意，可得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)＝x2-2x-3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．二次函数y＝x2－2x－3图象的对称轴为直线x＝1，且在(－∞，－1]∪[3，＋∞)上的单调递增区间为[3，＋∞)．根据复合函数的单调性，可知函数f(x)＝x24．用定义法证明函数f(x)＝x2－1x在(0，＋∞证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x12-1x1－x22-1x2＝(x12-x22))＋1x2-因为0<x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋x2＋1x则(x1－x2)x1所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．确定函数单调性的常用方法定义法先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论图象法若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性性质法对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断导数法先求导，再确定导数的正负，由导数的正负得函数的单调性复合法对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断求函数的最值【例1】(1)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为3解析：由于y＝13x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(2)已知函数f(x)＝x2，x≤1，x+6x26－6解析：因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0；当x>1时，y＝x＋6x≥26，当且仅当x＝6时，等号成立，此时f(x)min＝26－6.又26－6<0，所以f(x)min＝26(3)函数f(x)＝2x2－x2+1的最小值为－1解析：令x2+1＝t，t≥1，则x2＝t2－1，所以y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2(t≥1)．因为y＝2t2－t－2(t≥1)的对称轴为直线t＝14，所以ymin＝2×12－1－2＝－1，所以函数f(4)f(x)＝2x＋x+1的最小值为－2．求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：求形如y＝cx+dax+b(ac≠(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值．1．当－3≤x≤－1时，函数y＝5x-14x+2的最小值为85解析：由y＝5x-14x+2，可得y＝54－742x+1．因为－3≤x≤－1，所以720≤－742x+1≤72．已知函数f(x)＝x＋4x－a在区间[1，4]上的最小值为5，则实数a的值为；函数f(x)的值域是－1[5，6]解析：由题可得，函数f(x)在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝2＋2－a＝4－a＝5，解得a＝－1，所以f(x)＝x＋4x＋1，f(x)max＝max{f(1)，f(4)}＝6，所以函数f(x函数单调性的应用考向1比较函数值的大小【例2】(2024·徐州模拟)已知对函数f(x)定义域R内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0恒成立．设a＝f-13，b＝f(3)，c＝A．b<a<c B．c<b<aC．b<c<a D．a<b<cD解析：由[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，可得函数f(x)在R上是增函数，所以f-13<f(3)<f(5)，故a＜b＜利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．考向2解函数不等式【例3】(1)已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3]D解析：因为函数f(x)为奇函数，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又函数f(x)在R上单调递减，所以－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.故选D.(2)已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1，1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为．(0，1)解析：由已知得f(x)＝x2，-1<x≤0，-x2，0<x<1在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．考向3利用函数的单调性求参数【例4】(1)设函数f(x)＝-x2+4x，x≤4，log2x，x>4.A．(－∞，1]B．[1，4]C．[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[4，＋∞)D解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.(2)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是．(－∞，1]解析：令t＝|x－a|，所以y＝et.t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．又y＝et为增函数，所以f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1.利用函数的单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值是否可以取到．1．(2024·泰安模拟)已知函数f(x)＝2-ax在区间[0，2]上单调递减，则a的取值范围是()A．(0，1] B．(0，1)C．(0，2] D．[2，＋∞)A解析：因为函数f(x)＝2-ax在区间[0，2]上单调递减，所以a>0，2-2a≥0，解得0<a≤2．已知函数f(x)＝ln2－x－x3，则不等式f(3－x2)>f(2x－5)的解集为()A．(－4，2)B．(－∞，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D解析：由题意知f(x)＝－xln2－x3，易知函数f(x)在R上单调递减，而f(3－x2)>f(2x－5)，所以3－x2<2x－5，即(x－2)(x＋4)>0，解得x＞2或x＜－4，所以x∈(－∞，－4)∪(2，＋∞)．故选D.3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)A解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2)．故选A.[试题呈现]对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，[四字程序]读定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b，求函数h(x)＝min{f想1.图象法．2．单调性法算1.一次函数、对数函数的图象．2．一次函数、对数函数的单调性思最值与图象的最高(低)点、单调性的关系[一题多解]思路参考：先画出函数的图象，然后从图象上观察出最值．1解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.思路参考：先将函数写成分段函数的形式，再分析每一段上函数的单调性，最后确定函数的最值．1解析：依题意，h(x)＝log当0＜x≤2时，h(x)＝log2x单调递增；当x＞2时，h(x)＝－x＋3单调递减，所以h(x)在x＝2处取得最大值h(2)＝1.课时质量评价(六)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x+1C．y＝12x D．y＝x＋A解析：函数y＝ln(x＋2)的单调递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定单调递增．2．(多选题)关于函数f(x)＝3-xx+1A．f(x)在(－1，＋∞)上单调递减B．f(x)在(－1，＋∞)上单调递增C．f(x)在(－∞，－1)上单调递减D．f(x)在(－∞，－1)上单调递增AC解析：因为f(x)＝3-xx+1＝－1＋4x+1，所以f(x)在(－∞，－1)和(－1，＋3．已知函数f(x)＝3x2－3x＋1，则f(x)的单调递增区间为()A．32，+∞C．-∞A解析：函数f(x)＝3x2－3x＋1的定义域为R，令u＝x2－3x＋1，y＝3u，又y＝3u在R上单调递增，u＝x2－3x＋1的单调递增区间为32，+∞，所以f(x4．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax在区间[1，2]上都单调递减，则a的取值范围是A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(0，1]D解析：因为g(x)＝ax在区间[1，2]上单调递减，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以a≤1.故满足题意的a5．若函数y＝x-1x2在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则A．3116 C．94 A解析：令t＝|x|，则1≤t≤4，得y＝t-1t2＝t－1t2，易知y＝t－1t2在[1，4]上单调递增，所以其最小值m＝1－1＝0，最大值M＝2－1166．(多选题)(2024·重庆模拟)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是()A．fxB．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D．fxAB解析：由函数单调性的定义，可知若函数f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以f(x1)，f(x2)的大小关系也无法判断，故C错误．故选AB.7．已知函数f(x)是定义域为[0，＋∞)的减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是．[2，3)解析：f(x)在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝－1，所以f(2x－4)>－1可化为f(2x－4)>f(2)，所以2x-4≥0，2x-4<2，解得28．已知函数y＝kx-2(k>0)在[4，6]上的最大值为1，则k的值是2解析：当k>0时，函数y＝kx-2在[4，6]上单调递减，所以函数y＝kx-2(k>0)在x＝4处取得最大值，最大值为k4-29．(2024·石家庄模拟)若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是．[－6，1)解析：由题意得a-1<0，a-1+2≥-5，解得－610．已知函数f(x)＝3x(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明你的结论；(2)若x∈[2，7]，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝3x1＋2－3x2+2＝3因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝3x＋2在区间(0，＋∞(2)因为函数f(x)＝3x＋2在区间[2，7]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝72，f(x)min＝f(7)＝11．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0B解析：原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，记函数f(x)＝2x－5－x，则原不等式可化为f(x)≤f(－y)．又函数f(x)在R上单调递增，所以x≤－y，即x＋y≤0.12．已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是()A．m－n<0B．m－n>0C．m＋n<0D．m＋n>0A解析：设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，所以f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，所以F(x)是R上的减函数，所以当m<n时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(