教材高一数学必修二知识点总结

高中数学必修二复习

基本概念

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：

空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

（1）共面：平行、相交

（2）异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面

直线。

两异面直线所成的角：范围为（0。，9（r）esp.空间向量法

两异面直线间距离：公垂线段（有且只有一条）esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法（找平面的法向量）

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的

角为0。角

由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]

最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它

也与这条斜线垂直

esp.直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说

直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条

直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这

个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条

直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平

面相交，那么这条直线和交线平行。

两个平面的位置关系：

（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

（2）两个平面的位置关系：

两个平面平行--没有公共点；两个平面相交一-有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两

个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范

围为[0°,180°]

（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的

两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记

为±

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂

直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂

直于另一个平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法

向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）

多面体

棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相

平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几

何体叫做棱锥

棱锥的性质：

（1）侧棱交于一点。侧面都是三角形

（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱

锥高的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这

样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相

等，它叫做正棱锥的斜高。

（3）多个特殊的直角三角形

esp：

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的

垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底

面的射影为底面三角形的垂心。

直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行

或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°Wa<180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常

用k表示。即k=tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当ae|o°,9（r）时，Jt>o;

当ae（90°,180°）时，k<0；

当a=90°时，左不存在。

yy

②过两点的直线的斜率公式：k=^'（x,^x2）

x2-X]

注意下面四点：

（1）当当=%2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

（2）k与丹、尸2的顺序无关；

（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：y-必=Z（x-X1）直线斜率左,且过点（x，y）

注意：当直线的斜率为0°时，k=0,直线的方程是y=y”

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因

/上每一点的横坐标都等于刖，所以它的方程是

②斜截式：y=kx+b,直线斜率为在，直线在y轴上的截距为6

③两点式：上二\_=三五（工产用凶工丫2）直线两点（再，加），伉，〉2）

x2-x,

④截矩式：-+^=1

ah

其中直线I与x轴交于点（。,0）,与y轴交于点（0,。），即/与x轴、y轴的截距分别为。

⑤一般式：Ax+3y+C=0（A,B不全为0）

注意：①各式的适用范围

②特殊的方程如：平行于x轴的直线：y^b（6为常数）；

平行于），轴的直线：x=a（°为常数）；

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线A/+综y+c0=o（、,凡是不全为0的常数）的直线系：

A）x+Boy+C=O（C为常数）

（二）垂直直线系

垂直于已知直线4/+为了+6=0（4,练是不全为o的常数）的直线系：

Box-Ai）y+C=0（C为常数）

（三）过定点的直线系

①斜率为k的直线系：y—%=—%），直线过定点（%,%）；

②过两条直线4：++G=0,/2：4%+32丁+。2=0的交点的直线系方程为

（Ax+B,y+C,）+A（A2x+B2y+C2）=0（/l为参数），其中直线“不在直线系中。

（5）两直线平行与垂直

当/]:y=kxx+bx,4：《=%21+〃2时，

I]〃/-<=>&]=&2,，1WA；/]■!~/,=攵1&2=-1

注意「利用斜率判断直线的平行与金直时，要注意斜率的存在与否。

（6）两条直线的交点

Zj\\x+Bxy+Cx=0l24%+B2y+C2=0相交

交点坐标即方程组［Aj+Bj+G=°的一组解。

［A2X+B2y+C2=0

方程组无解。1{///2；方程组有无数解O/］与，2重合

（7）两点间距离公式：设A（x，y）,%）是平面直角坐标系中的两个点，

则IAB|=4尤2-%）2+（%一乂）2

（8）点到直线距离公式：一点。（尤0,X））到直线A：Ax+By+C=0的距离”=\Ax0+By0+d\

-JA2+B2

（9）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

一、选择题

I.设a,p为两个不同的平面，/,〃?为两条不同的直线，且/ua,mup,有如下的

两个命题：①若a〃B，则/〃如②若/L”，则a_Lp.那么（）.

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①②都是真命题D.①②都是假命题

2.如图，ABC。-48C。为正方体，下面结论错送的是（）.

A.平面C8。

B.AC\LBD

C.AGJ_平面CB\D\

D.异面直线4。与C8i角为60°

（第2题）

3.关于直线胆，〃与平面a,p,有下列四个命题:

①加〃a,且a〃p,则〃?〃“；②且a_L|3,贝ij〃?_!_〃；

③〃?_La,〃〃。且a〃J3,则〃?_L"；@m//a,〃J_p且a，。，则机〃〃.

其中真命题的序号是（）.

A.①②B.③④C.①④D.②③

4.把正方形ABC。沿对角线AC折起，当以A,B,C,。四点为顶点的三棱锥体积最

大时，直线BO和平面ABC所成的角的大小为（）.

A.90°B.60°C.45°D.30°

5.异面直线a,b所成的角60。，直线a，c,则直线6与c所成的角的范围为（）.

A.[30°,90°]B.[60°,90°]C.[30°,60°]D.[30°,120°]

二、解答题

6.在四面体ABC。中，△ABC与△QBC都是边长为4的正三角形.

(1)求证：BCLAD-,

(2)若点。到平面48c的距离等于3,求二面角A

-BC-O的正弦值；

(3)设二面角A—BC—。的大小为0,猜想。为何值

时，四面体A-3C。的体积最大.(不要求证明)

7.如图，在长方体中，AB=2,BB尸BC=1,E为。iG的中点,

连结E£),EC,E8和。8.

(1)求证：平面EDB±平面EBC;

(2)求二面角E—OB—C的正切值.

8*.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-A8CD中，AD//HC,ZABC=90°,

SAL^ABCD,SA=AB=BC^1,A£»=L

2

(1)求四棱锥S—ABCD的体积；

(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

(提示：延长BA,CD相交于点E,则直线SE是

所求二面角的棱.)

9*.斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱

的体积.（提示：在AA1上取一点P,过尸作棱柱的截面，使垂直于这个截面.）

圆的方程

(1)标准方程仁一。)2+3-人)2=尸，圆心(。/)，半径为r；

(2)一般方程/+/+瓜+或+尸=0

当。2十七2一4E＞。时，方程表示圆，此时圆心为12_巨)，半径为

当。2+石2-4尸=。时，表示一个点；当。2十七2一4/＜。时，方程不表示任何图

形。

(3)求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程,

需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

(1)设直线/:Ax+By+C=0,圆C:(x-a)2+(y_"=户,圆心C(a,b)到/的距离为

\Aa+Bb+C\!则有"＞「0/与。相离；4=厂=/与。相切；”＜ro/与。相交

(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该

直线距离=半径，求解k,得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆伏文尸+伊勿2=~圆上一点为(四，则过此点的切线方程

为切仪功尸r2

圆与圆的位置关系

通过两圆半径的和(差)，与圆心距(")之间的大小比较来确定。

22

设圆C1+(y-4)2=户,C2：(%—a2)+(j—/＞2)—

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(J)之间的大小比较来确定。

当d＞H+r时两圆外离，此时有公切线四条；

当4=尺+广时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当+r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当＜/=/?—4时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当。时，两圆内含；当d=0时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

圆的辅助线一般为连圆心与切线

例题1.(2013•湖南)已知彳，E是单位向量，a-b=0»若向量3满足-之|=「

则口|的取值范围为?

2.（2013•江西）过点（&，0）引直线1与曲线y=Ji_相交于A,B两点，O为坐标

原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线1的斜率等于

3.圆/+V一〃-5=0与圆（+）2+21—4），-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直

平分线的方程是

4.求圆心在原点，且圆周被直线3x+4y+15=0分成1：2两部分的圆的方程.

5.求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a,6的圆的方程（必#0）.

6.求经过4（4,2）,以一1,3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.

7.求经过点(8,3),并且和直线x=6与x=10都相切的圆的方程.

8.已知P是直线3x+4y+8=O上的动点，是圆/+/—2x—2y+l