【第1部分复习进阶篇】专题05《三角形》数学四升五衔接讲义（教师版）人教版

人教版数学四升五衔接讲义（复习进阶）专题05三角形知识互联网知识互联网知识导航知识导航知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈第三边〈两边之和。判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。3、等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。10、等边三角形是特殊的等腰三角形知识点三：三角形的内角和1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。（2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。（3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成（平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。（4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。（5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。（6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。（7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形百分能力达标百分能力达标一、选择题(共5题；每题2分，共10分)1．（2分）（2022四下·交城期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具。其中1号和2号两个三角形拼成的大三角形的内角和是（）°。A．180 B．360 C．以上答案都不对【答案】A【完整解答】解：大三角形的内角和是180°。

故答案为：A。【思路引导】三角形不管大小，内角和都是180度。2．（2分）（2021四下·花都期末）一个直角三角形有（）条高。A．3 B．2 C．1 D．无数【答案】A【完整解答】解：一个直角三角形有3条高。

故答案为：A。【思路引导】任意一个三角形都有3条高，只不过直角三角形的其中两条高都是直角三角形的两条直角边。3．（2分）（2022四下·洋县期中）在一个三角形中，至少有（）个锐角。A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】B【完整解答】解：在一个三角形中，至少有2个锐角。

故答案为：B。【思路引导】锐角三角形有三个锐角；直角三角形有一个90°的角，其他两个角是锐角；钝角三角形是一个角是钝角，其他两个角是锐角的三角形，本题据此进行解答。4．（2分）（2022四下·韶关期中）三角形中，已知两条边分别长1.6厘米和1.2厘米，第三条边可能长（）。A．3厘米 B．2.8厘米 C．2厘米 D．0.4厘米【答案】C【完整解答】因为1.6-1.2＜第三条边的长度＜1.2+1.6，则0.4＜第三条边的长度＜2.8。

故答案为：C。【思路引导】在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此解答。5．（2分）（2022四下·韶关期中）下面说法错误的是（）。A．等边三角形是特殊的等腰三角形B．一个三角形中最多有一个钝角C．三角形的内角和是180°D．正方形、长方形和梯形都是特殊的平行四边形【答案】D【完整解答】选项A，等边三角形是特殊的等腰三角形，此题说法正确；

选项B，一个三角形中最多有一个钝角，此题说法正确；

选项C，三角形的内角和是180°，此题说法正确；

选项D，正方形、长方形是特殊的平行四边形，梯形不是，原题说法错误。

故答案为：D。【思路引导】在三角形中，三角形的内角和是180°，一个三角形中最多有1个直角或一个钝角；

三条边都相等的是等边三角形，只有两条边相等的是等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形；

因为长方形和正方形都具有平行四边形的特征：对边平行并且相等；但是它们又各有自己的特征，正方形具有长方形的特征：对边平行且相等，四个角都是直角；但是正方形还有自己的特征：四条边都相等，所以说正方形是特殊的长方形，长方形和正方形都是特殊的平行四边形；

只有一组对边平行的四边形叫梯形，据此解答。二、判断题(共5题；每题2分，共10分)6．（2分）在摇晃的书桌腿上斜着钉一根木条固定，是应用了三角形的稳定性。（）【答案】（1）正【完整解答】解：在摇晃的书桌腿上斜着钉一根木条固定，是应用了三角形的稳定性。说法正确。

故答案为：正确。【思路引导】三角形稳定性在生活中的运用有自行车架、篮球架、小别墅的屋顶、高压电线杆的支架等。7．（2分）（2021四下·商丘期末）一个三角形中，有一个角是88°，另外两个角可能是42°，60°。（）【答案】（1）错误【完整解答】解：88°＋42°＋60°

=130°＋60°

=190°

190°＞180°。

故答案为：错误。

【思路引导】三角形的内角和是180°，而题干中三个内角的和是190°，所以错误。8．（2分）（2022四下·莘县期中）三角形至少有2个角是锐角。（）【答案】（1）正【完整解答】解：三角形至少有2个角是锐角，原题干说法正确。

故答案为：正确。【思路引导】一个三角形中最多有1个直角、1个钝角、3个锐角；则说明三角形至少有2个角是锐角。9．（2分）等边三角形可能是直角三角形。（）【答案】（1）错误【完整解答】解：180°÷3=60°

故答案为：错误。【思路引导】等边三角形是锐角三角形，不可能是直角三角形。10．（2分）（2022四下·泾阳月考），左图中从A地到F地最短的路线是A-B-F。（）【答案】（1）正【完整解答】解：左图中从A地到F地最短的路线是A-B-F，原题干说法正确。

故答案为：正确。【思路引导】两点之间的线段最短。三、填空题(共8题；每空1分，共12分)11．（1分）（2022四下·洋县期中）房屋的三角架是利用三角形的性设计的。【答案】稳定【完整解答】解：房屋的三角架是利用三角形的稳定性设计的。

故答案为：稳定。【思路引导】三角形具有稳定、不易变形形，本题据此进行解答。12．（1分）（2022四下·惠东期中）锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内角和都是。【答案】180°【完整解答】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内角和都是180°。

故答案为：180°。【思路引导】任意一个三角形的内角和都是180°，据此解答。13．（1分）（2021四下·黄埔期末）空调机的固定架做成了一个三角形是运用了三角形具有的特性。【答案】稳定性【完整解答】解：空调机的固定架做成了一个三角形是运用了三角形具有稳定性的特性。

故答案为：稳定性。【思路引导】三角形具有稳定性，空调机的固定架做成一个三角形就是利用这一特性。14．（2分）（2021四下·牡丹期末）一个等边三角形的周长是24厘米，它的一条边长是厘米，一个内角是度。【答案】8；60【完整解答】解：24÷3=8（厘米）

180°÷3=60°。

故答案为：8；60。【思路引导】等边三角形的边长=周长÷3；等边三角形的一个内角=三角形的内角和÷3。15．（1分）一个等腰直角三角形的最大角是最小角的倍。【答案】2【完整解答】解：90°÷45°=2。

故答案为：2。【思路引导】求一个数是另一个数的几倍，用除法计算；等腰直角三角形的三个内角分别是90°、45°、45°；一个等腰直角三角形的最大角是最小角的倍数=最大角的度数÷最小角的度数。16．（2分）（2022四下·莘县期中）等腰三角形，一个角是120°，其它两个角分别是°和°。【答案】30；30【完整解答】解：（180°-120°）÷2

=60°÷2

=30°。

故答案为：30；30。【思路引导】等腰三角形其它两个角的度数分别=（三角形内角和-其中一个内角的度数）÷2。17．（2分）（2022四下·惠来期中）一个三角形中，淘气量得其中的两条边长分别是15cm和10cm，第三边最短是cm，最长是cm。（取整厘米数）【答案】6；24【完整解答】解：15-10＜第三边的长度＜15+10，

即5cm＜第三边的长度＜25cm，

所以第三边最短是6cm，最长是24cm。

故答案为：6；24。【思路引导】三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，本题据此进行解答。18．（2分）（2022四下·韶关期中）已知一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，第三边最长是厘米，最短又是厘米。（取整厘米数）【答案】15；5【完整解答】10-6＜第三边＜10+6，4＜第三边＜16，第三边最长是15厘米，最短又是5厘米。（取整厘米数）

故答案为：15；5。【思路引导】在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此解答。四、作图题(共2题；共11分)19．（4分）（2020四下·江都期末）画出下面图形中指定底边上的高。【答案】【思路引导】平行四边形高的画法：在底边对应的边上找一个点，过这个点向底边做垂线，和底边的夹角必须是直角，这个点和垂足之间的线段就是底边上的高；画三角形指定边上的高：先找到三角形底边的对应顶点，利用直角三角形的直角，画一条直线与三角形的底边垂直，交点为垂足，三角形的顶点与垂足之间的线段就是三角形底边上的高。20．（7分）画一画、算一算（1）（3分）以A为顶点画一个70°的角，以B为顶点画一个30°的角，组成一个三角形。（2）（1分）这个三角形的第3个角是度。（3）（3分）以AB为底，画出三角形的高，并量出底和高。底是△厘米，高是△厘米。（结果保留一位小数。）【答案】（1）（2）80（3）根据画出的高，量得底是6.5厘米，高是3.4厘米。

【完整解答】解：（2）这个三角形的第三个角是180-70-30=80度；

故答案为：（2）80。

【思路引导】（1）用量角器作图即可；

（2）三角形的内角和是180度。

（3）作三角形一边的高，用三角尺的一条边与底边重合，顺着这条边平移三角尺，当这条边所对的角的顶点出现在这个三角尺的另一边时，沿着另一边就可以画出高。五、解答题(共9题；共56分)21．（6分）如下图：三个三角形被白纸盖住了一部分，只分别露出各自一个角．请你迅速判断出它们是什么三角形？【答案】解：(1)直角三角形；(2)可能是锐角三角形或钝角三角形或直角三角形；(3)钝角三角形【完整解答】(1)直角三角形；(2)可能是锐角三角形或钝角三角形或直角三角形；(3)钝角三角形【思路引导】(1)露出来的角是直角，这个三角形就是直角三角形；(2)露出来的角是锐角，这个三角形可能是锐角三角形或钝角三角形或直角三角形；(3)露出来的角是钝角，这个三角形就是钝角三角形.22．（8分）给下面的三角形分类，并各画出一条高．（1）（3分）画出一条高（2）（1分）按边来分：是等边三角形；是等腰三角形．（3）（1分）按角来分：是锐角三角形；是钝角三角形；是直角三角形．【答案】（1）解：如图所示（2）2；4，2（3）2，4，6；3；1，5【完整解答】按边来分，图2是等边三角形，图4图2是等腰三角形；按角来分，图2图4图6是锐角三角形，图3是钝角三角形，图1图5是直角三角形，

故答案为：2；42；246；3；15

【思路引导】由三角形的一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高；23．（6分）画一个三角形。说一说三角形有几条边？几个角？几个顶点？【答案】解：如图：观察所画的三角形，发现三角形是由三条线段围成(围成是指每相邻两条线段的端点相连)的，这三条线段叫做三角形的边，三角形有三条边；每两条边所夹的角，就是三角形的内角，三角形有三个内角；三个内角的顶点就是三角形的顶点，所以三角形共有三个顶点。【思路引导】任意画出一个三角形，标出三角形的三个角，三条边和三个顶点，对照图形说出三角形的边、角、顶点的特点即可.24．（6分）在一个直角三角形中。（1）（3分）一个锐角是78°，另一个锐角是多少度？（2）（3分）如果两个锐角相等，这两个锐角各是多少度？【答案】（1）解：90°-78°=12°答：另一个锐角是12°（2）解：90°÷2=45°答：两个锐角各是45°【思路引导】（1）在直角三角形中，已知一个锐角的度数，求另一个锐角的度数，用直角的度数-已知锐角的度数=剩下锐角的度数，据此计算；（2）在直角三角形中，两个锐角的和是90°，如果两个锐角相等，则每个锐角的度数为90°的一半，据此解答.25．（8分）（2021四下·开化期末）根据图意，按要求完成。（1）（2分）看图填一填。树高米，∠1=°（2）（2分）求出下面各角的度数。∠1=°∠2=°【答案】（1）10.3；45（2）115；35【完整解答】解：（1）树高10.3米，∠1=45°；

（2）∠1=180°-65°=115°，∠2=180°-115°-30°=35°。

故答案为：（1）10.3；45；（2）115；35。【思路引导】（1）从图中可知，三角形是等腰直角三角形，两条直角边