高中数学-双曲线的几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

双曲线的简单几何性质信息化教学设计

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学科数学年级高二

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教学设计

教学主题双曲线的简单几何性质

一、教材分析

双曲线是一种重要的圆锥曲线，比椭圆和抛物线有更丰富的几何性质。本节课是《全日制

普通高级中学教科书（选修）•数学2-1》第二章“圆锥曲线与方程”第3小节的内容，是在

双曲线的定义和标准方程基础上研究双曲线的性质。双曲线的几何性质揭示了双曲线最基

本的特征，其推导过程蕴含了等价转化、数形结合、函数与方程等重要的数学思想方法，

是训练学生数学思维能力的良好题材。因此，本节课的重点是探究双曲线的几何性质。

二、学生分析

通过对第七章“直线和圆的方程”和椭圆的学习，学生对坐标法有较深刻的认识，懂

得如何通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，可以按照研究椭圆的几何性质的方

法和步骤，推出双曲线的范围、对称性、准线、离心率。因此，学生具备探究双曲线几何

性质的知识和能力基础。但双曲线的标准方程一9•=1m>o,方>o）的等价方程

b~

Ub,lxlJlT亩产反映的几何性质是椭圆所没有的。学生缺乏把标准方程

［一与=13>0,>>0）等价转化为|*=2|x|1-（2）2的意识，对“形”与“数”

aba\|x|

的对应关系认识不够深刻，难以把数量关系转化为图形性质，没有极限的观念，难以认识

卜一（言）2逐渐增大’无限增大’,1一（盘）2接近于1,难以

到当|x|逐渐增大时，、

探究出双曲线的渐近线。因此，本节课的难点是探究双曲线的渐近线。

三、教学目标

（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离

心率、渐近线等几何性质；

②掌握双曲线标准方程中a,b,c的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念;

③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想

象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比

的学习方法及极限思想方法；

②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标

系中曲线与方程的概念的理解。

四、教学环境

J简易多媒体教学环境□交互式多媒体教学环境口网络多媒体环境教学环境口

移动学习口其他

五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术？在哪些教学环节如何使用这些技

术？使用这些技术的预期效果是？）200字

一、运用的信息技术有：几何画板、投影、ppto

二、应用的教学环节有：1、探究性质阶段用几何画板验证双线的几何性质；

2、小组合作阶段用投影展示小组合作成果。

三、教学效果：1、几何画板形象生动的验证了双曲线的一些几何性质，给学生留下了深刻

印象；2、投影展示成果节省时间，细节清楚，便于交流讨论。

六、教学流程设计（可加行）

教学环节

（如：导入、讲授、复习、信息技术支持（资

教师活动学生活动

训练、实验、研讨、探究、源、方法、手段等）

评价、建构）

1.椭圆有哪些几何性

质，是如何探讨的？

投影典型问题作业

（一）复习提问引入新课2.双曲线的两种标准主动回答

学生作答，ppt展示

方程是什么？

下面我们类比椭圆

的几何性质来研究它

的几何性质.

引导学生完成下列关

小组探究双曲线学生投影展示小组

（二）小组探究于椭圆与双曲线性质

的几何性质成果

的表格

几何画板验证（1）

离心率和双曲线开

（三）性质归纳动画演示总结交流

口关系；（2）渐近

线与双曲线图像的

（四）典例探究引导学生归纳总结学生板书

（五）评价练习教师巡视学生独立完成

引导学生总结椭圆和

独立思考，个别ppt展示椭圆和双

（六）小结双曲线的几何性质的

回答曲线性质对比表格

异同

七、教学特色（如为个性化教学所做的调整，为自主学习所做的支持、对学生能力的培养

的设计，教与学方式的创新等）200字左右

1、通过对曲线方程的研究探索出双曲线的几何性质，让学生的思维在数与形之中穿梭，体

现出“以数定形”的数学思想，并且培养了他们分析问题、探索问题的能力.

2、本节课在讨论双曲线性质的一个难点就是双曲线的渐近线及其离心率对曲线形状的影

响，通过几何画板的演示，一方面可以验证性质，另一方面动态效果形象逼真，给学生留

下较为深刻的印象又增加了学生的学习兴趣。

学情分析

通过初中对反比例函数的学习，学生对反比例函数的图象，即双

曲线，有图形上的感知，但没有形成理性认识。认识到双曲线在生产

和科学技术中的广泛应用，以及在高考中的重要地位后，学生较强的

求知欲望。通过对第七章“直线和圆的方程”和椭圆的学习，学生对

坐标法有较深刻的认识，懂得如何通过研究方程的性质间接地来研究

曲线的性质，可以按照研究椭圆的几何性质的方法和步骤，推出双曲

线的范围、对称性、准线、离心率。因此，学生具备探究双曲线几何

性质的知识和能力基础。但双曲线的标准方程=-1=1（。>0,方>0）的

ab

等价方程Iy1=glxIJ1->反映的几何性质是椭圆所没有的。学生缺

乏把标准方程=1（。>03>0）等价转化为|9=2*|口|『的

意识，对“形”与“数”的对应关系认识不够深刻，难以把数量关系

转化为图形性质，没有极限的观念，难以认识到当|x|逐渐增大时，

J1-（含了逐渐增大,|x|无限增大，J1-（含了接近于1,难以探究出

双曲线的渐近线。因此，本节课的难点是探究双曲线的渐近线。

效果分析

在本设计的实施过程中发现，明确核心问题“探究双曲线

。4-白地加>。）的几何性质，归纳其中蕴含的数学思想和方法”

这一课堂任务后，学生能能积极、主动地参与探究活动，大多数学生

能按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，通过分析双曲线。的标准方

程1-4=1（4>0,>>0）的性质，探寻到双曲线C的范围、中心、对称

轴、顶点，能自觉地找到推导标准方程的过程方程

J（X+C）2+/=£|*+且|或J（x—c）2+y2=3x—《|,根据“形”与”“数”

acac

的对应关系，把过程方程等价转化为IP居2或

a-

\PF2\=--d2,发现“双曲线上任意一点P(x,y)到焦点"(-c,0)的

ap-＞/：x=—

2c

2

距离与它到直线］:x=-幺的距离的£倍”“双曲线上任意一点P(x,y)

ca

到焦点6(C,O)的距离与它到直线4：x=《的距离的£倍”这一性质，

ca

2

进而像椭圆一样，探寻到双曲线的准线x=土匕和离心率e=£。由于

ca

学生很少经历把简单方程化为复杂方程的过程，缺乏函数思想方法的

应用意识，没有学生能把方程等价转化为

lyrglxljl-(含)2,进而通过研究方程lyb3xlRI孑的性质探

寻到双曲线。的渐近线。在集体交流、讨论、评价过程中，教师把方

程5多=1(。＞0,方＞0)等价转化为|北汐|口|『，并分析出双曲

线C的渐近线9=±2*时，学生惊叹不已。在归纳提升环节中发现，

a

多数学生能表述根据方程研究曲线几何性质的步骤，能感受到“等价

转化思想”和数形结合思想，却不能感受到“函数与方程的思想”和

“极限的观念:在反馈体验环节中发现，多数学生能顺利完成反馈

习题(1)、(2)、(3),只有及少数学生能完成反馈习题(4),这说明

教学目标基本达成。

教材分析

椭圆、双曲线和抛物线都是平面截圆锥得到的图形，统称为圆锥

曲线。圆锥曲线是生活中常见的曲线，也是平面内符合某种条件的点

的轨迹，如果用综合法来研究它们，是很困难的，而用坐标法就方便

得多。坐标法是解析几何的基本方法，它是借助于坐标系，用坐标表

示点，用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=O表示曲线，通

过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质。教材在第七章“直线和

圆的方程”初步介绍了坐标法，在第八章“圆锥曲线方程”运用坐标

法研究圆锥曲线，一方面系统地研究圆锥曲线的几何性质，一方面进

一步展现坐标法。圆锥曲线的定义、方程和几何性质，在生产和科学

技术中有广泛应用，同时一，这些知识，包括坐标法，是今后进一步学

习数学的基础，也是历年高考考查的重要内容。所以圆锥曲线的定义、

方程和几何性质，以及坐标法是这一章的重点。

双曲线是一种重要的圆锥曲线，比椭圆和抛物线有更丰富的几何

性质。本节课是《全日制普通高级中学教科书(选修)•数学2-1》第

二章“圆锥曲线与方程”第3小节的内容，是在双曲线的定义和标准

方程基础上研究双曲线的性质。双曲线的几何性质揭示了双曲线最基

本的特征，其推导过程蕴含了等价转化、数形结合、函数与方程等重

要的数学思想方法，是训练学生数学思维能力的良好题材。因此，本

节课的重点是探究双曲线的几何性质。

1.等轴双曲线的一个焦点是为(一6,0),则它的标准方程是()

22222222

A卡一喘=1B.-^—1C.^--^-=1

1o1o1o1ooooo

2.已知双曲线方程为过P(l,0)的直线L与双曲线只有一个公共

点，则共有L()

A.4条B.3条C.2条D.1条

3.双曲线=一尸=1的顶点到其渐近线的距离等于（）

A-5Bl。邛D*

4.若双曲线捻一左=1的离心率为小，则其渐近线方程为（）

]历

A.y=+2xB.y—±\[2xC.y=±'xD.y=±勺x

?2

5.已知双曲线”一%=1（。>0，8>0）的两条渐近线均与C：f+y?—6X+5

=0相切，则该双曲线离心率等于（）

A逆B逅c3D或

?2

6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线5一获七=1的离心率为小，则加

的值为.

『V2

7.已知F为双曲线C：甘一讳=1的左焦点，P,。为C上的点.若PQ的

长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则△PQb的周长为.

8.过双曲线f—¥=l的左焦点B,作倾斜角为强的直线AB,其中A、B分

3o

别为直线与双曲线的交点，则的长为.

9.求双曲线9尸一4»=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离

心率和渐近线方程.

课后反思

在以前教学“双曲线的简单几何性质”，考虑到学生不能借助推

导双曲线标准方程4-4=K«>O^>O）的过程方程

ab

22

J（x+cy+y2=3x+幺।或J（x_c）2+y2=£|x一幺|探寻双曲线的离心率

acac

和准线，而直接向学生讲授双曲线。：《-[=1（4>0/>0）和双曲线

ab

G：《-5=l（a>0，b>0）的几何性质，然后，通过大量的习题训练，让

学生理解、掌握双曲线的几何性质。这样，虽能让学生自如地应对高

考。但通过对《普通高中数学课程标准（实验）》的学习，使自己深刻

认识到数学教学应注重培养学生自主探索、动手实践、合作交流、阅

读自学等数学学习方式，注重发挥学生学习的主动性，使学生的学习

过程成为在教师引导下的“再创造”过程，应重视数学内容的展开方

式，努力帮助学生用自己的智慧去获取、发展数学知识，防止把数学

学习变成一种“单纯模仿、记忆题型”的活动。认真分析、深入研究

双曲线的简单几何性质的推导方法发现，双曲线的简单几何性质具有

一定的探究价值，是训练学生学生数学思维能力和发展学生探究能力

的良好题材。事实上,在本设计实施过程中，学生表现出饱满的热情、

浓厚的探究欲望，学生始终以积极主动的状态参与整个探究活动。这

说明本设计具有可行性和可操作性。

心理学的研究表明，学生的探究能力有一定的“阈限”，维果茨

基称之为“最近发展区”。如果学生接受的认知任务超过了这个区域,

就可能会使探究活动流于形式。为了减少探究的盲目性和空泛性，提

高探究的质量和效率，教师应深入了解学生的实际情况，根据具体探

究问题的特点，为学生探究活动的顺利进行巧妙搭建“桥梁”，铺平

探究活