重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）

重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法

❶【目录】

题型一：弦长问题

题型二：面积问题

题型三：中点弦问题

题型四：范围问题

题型五：定点问题

题型六：定值问题

题型七：向量共线问题

延技巧方法

1.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法

涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与

系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.

2.解决中点弦的问题的两种方法：

（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点

坐标公式解决；

（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，

构造出中点坐标和斜率关系求解.

3.圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

4.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（士,乂）,（£,%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算△；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为占+々、x,x,（或x+%、外%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

5.求解定点问题的常用方法有：

（1）从特殊入手，求出定点（通常为特殊位置，如轴上的点），再证明这个点与变量无关；

（2）直接通过题目中的几何关系进行推理、计算、化简，消去变量，从而得到定点.

处理定点问题的思路：

（1）确定题目中的核心变量（此处设为Z）,

（2）利用条件找到改与过定点的曲线F（x,y）=O的联系，得到有关人与的等式，

（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点（工,%）,使得无论女的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于左

与x，》的等式进行变形，直至找到（事,％）,

①若等式的形式为整式，则考虑将含左的式子归为一组，变形为“人（）”的形式，让括号中式子等于0,求

出定点；

②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去左变为常

数.

求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明“：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，

再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点（%,%）,常利用直线的点斜式方程丫-%=%（犬-%）或截距式>=依+6来证明.

6.求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消

去变量，从而得到定值.

与相交有关的向量问题的解决方法

在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为

端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解.

u能力拓展

题型一：弦长问题

一、填空题

1.(2023•上海•高二专题练习)抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于48两点，若线段AB长为8,。为坐

标原点，则4AOB的重心的横坐标为

【答案】2

【分析】先求得抛物线焦点坐标，进而设出过焦点的直线方程代入抛物线方程消去x,根据韦达定理求得

玉+々和玉工2,代入|4却的表达式中即可求得左,进而根据三个定点的横坐标求得△AO3的重心的横坐标.

【详解】由题意知抛物线焦点厂(1，0).

设过焦点尸。，0)的直线为尸从一。，(无=0),A&,x),研工2,%).

代入抛物线方程消去y得炉了2-2(公+2卜+公=0.

•••公工0,根据F(LO)在抛物线内，则直线与抛物线必有两交点，

3+行当/，书4

k

***!c=\.

/.Xj+X2=6

A4OB的重心的横坐标为x=("产=2,

故答案为：2.

二、解答题

2.(2023春•上海奉贤•高二校考阶段练习)已知焦点在y轴上的椭圆C,过点(-2,0),离心率e=更直线

/：y=2x+b被椭圆C所截得的弦长为后，

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求实数b的值.

【答案】(1)二+二=1;

164

⑵6=±2.

【分析】(1)根据给定条件，求出椭圆C的长短半轴长即可作答.

(2)联立直线/与椭圆C的方程，利用弦长公式求解作答.

【详解】(1)因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点(-2,0),则椭圆C的短半轴长为2,设其长半轴长为“，

由离心率6得：e2=——=1--^-=—,解得/=16,

2a2a24

所以椭圆C的标准方程是£+工=1.

164

(y=2x+t>

(2)由；，2，/消去y并整理得：8/+4云+〃-16=0，

[4x2+/=16

有△=16/一32s2_16)>0,即从v32,设直线I被椭圆C所截弦的端点AQ,y),B&,%)，

于是玉+/=~~z>x\xi=T~~~»|AB\=J1+2?♦+x))2—4X[X)=V5•./——4(——2)=\/35，

2~8V48

解得b=±2,满足条件，

所以匕=±2.

22

3.(2023春•上海浦东新•高三上海市进才中学校考阶段练习)己知双曲线C:「-马=1的焦距为4,虚轴长

cTb

为2,左右焦点分别为£和工•直线/：>="+皿，"。)与曲线C交于不同的两点AB.

(1)求双曲线C的方程及其离心率e；

(2)如果直线/过点尸2且|=2后，求直线I的方程；

(3)是否存在直线/使得A,8两点都在以D(0,T)为圆心的圆上？如果存在，求机的取值范围；如果不存在，

请说明理由.

【答案】(1)£-丁=1,空

33

(2»=0或y=x-2或y=-x+2

(3)存在，当上=0时，加可取不等于0的一切实数；当女*0时，〃"[一!，0)=(4,+8).

【分析】(1)利用焦距和虚轴长直接求出c=2,6=l,从而求出双曲线方程；

(2)联立方程，韦达定理，利用弦长公式即可求出直线的斜率，从而求出直线方程；

(3)把43两点都在以D(O,-D为圆心的圆上转化为AB中点与。的直线与直线A8垂直，分类讨论，当出=0

时，机可取不等于0的一切实数，当AHO时，联立方程，韦达定理，求出A8中点坐标，利用垂直关系建

立方程求解即可.

【详解】(1)由题意得，2c=4,26=2,所以c=28=l,所以/=c2=3,

所以双曲线C的方程为其离心率为《=£=2=2叵；

3aV33

2=1

(2)设/：y=%(x-2),联立《可一)一消y得：(1-3/)/+12/X-12&2-3=0,

[y=k(x-2)

工4/、n/、闭」1一3公*012k212/+3

设⑶必)‘(孙必)'人%=i2%2+i2>o'%+"4?'中2=中『

所以

22

\AB\=Vi+FIX,-x,I=y/\+k-7(^I+X2)-4X,X2=J1+”='所

以1+^2=*-1|,解得

&=0或±1,所以直线方程y=0或y=x-2或y=-x+2：

(3)当k=0时，加可取不等于0的一切实数；

V_2=1

当&H0时，联立方程｛5一)一消y得：(1—3公卜2-6切it-(3疗+3)=0,

y=kx-\-m

公人/、口/、口」1-3%2Ho6km3/n2+3

设(228(22)，人心=]2田+12-36/>0'^+%2=r3?,

所以A8中点M的横坐标为百芋=代入直线丫=辰+机得"(当门丁冬]由题意鼬>=-1,

21一3%\i-3k1一次)k

m.

----7+11

所以」二器„一=-工,

3kmk

1一3公

化简得3公=4m+1,代入A>。得：w2+1>4m+l,解得机>4或机<0,

又3A2=4帆+120,所以加2-1，所以一14机<0或m>4,即加£[-!，0)U(4,+OO),

444

综上，当％=0时，加可取不等于0的一切实数；当出W()时，“€[-!，0)=(4,-).

4

r22

4.(2022春•上海普陀•高二校考期中)已知椭圆C:=+4v=l(a>〃>0)的左右焦点分别为6、行，点”(。，2)

ab

是椭圆的一个顶点，△耳闻名是等腰直角三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）写出椭圆C的长轴长；短轴长；焦距；离心率

（3）求直线y=x+l被椭圆C截得的弦长.

22

【答案】（1）二+—=1

84

（2）长轴长4夜，短轴长4,焦距4,离心率孝

⑶处

3

【分析】（1）根据题意分析可得b=c=2,结合/=^+c2可求0,即可得结果;

（2）根据（1）中的a,"c,结合椭圆的相关概念运算求解；

（3）联立方程，根据弦长公式运算求解.

【详解】（1）因为点M3,2）是椭圆的一个顶点，△片用入是等腰直角三角形，

所以8=c=2,所以/=/?+<?=8,

22

故椭圆C的方程为土+么=1.

84

(2)由(1)可得：a=2>/2,b=c=2,

故长轴长40，短轴长4,焦距4,离心率日.

（3）设交点4（内,乂）,8（七,力），

y=x+l

联立方程J2,消去y得3d+4x-6=0,

—+—=1

184

4

—

则A-16—4x3x（—6）=88〉0,再+x2=~,X|X0——2,

所以I=J1+二+xj-4玉》2=y/2xJ,+8=~~~•

【点睛】方法定睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关

系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法筒化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定

义求解.

5.（2022秋・上海徐汇・高三位育中学校考期中）已知椭圆C：£+2=l,尸为椭圆。的右焦点，过点尸的

43

直线/交椭圆C于A、8两点.

（1）若直线/垂直于X轴，求椭圆C的弦AB的长度:

（2）设点P（-3,0）,当NP4S=90。时，求点A的坐标；

（3）设点“（4,3）,记加4、MB的斜率分别为勺和勺，试探讨人+&是否为定值？如果是，求出该定值；如果

不是，求出的取值范围.

【答案】（1）3

⑵（0,⑹或（0,-5/3）

（3）是定值，定值为2

【分析】（1）若直线/垂直于x轴，知点A8的横坐标，代入椭圆方程即可求得点AB的纵坐标，即可求得弦

A8的长度；

（2）由/PAB=90。时，知点A的轨迹方程，联立轨迹方程和椭圆的方程，求得交点即为点A的坐标；

（3）由直线/的斜率不存在求得点AB的坐标，代入匕+心中求得定值，再由直线/的斜率存在，设出直线方

程与点的坐标，联立直线方程与椭圆方程，再由韦达定理得出两根之和及两根之积，代入&+&中，即

可求得定值.

【详解】3）因为尸为椭圆C的右焦点，过点尸的直线/交椭圆C于A、B两点，直线/垂直于x轴，

所以号=4=/=C，代入椭圆的方程得以=-%=—，

a

uoz2b22x3.

所以=—=；-=3；

若直线/垂直于x轴，椭圆C的弦A8的长度为3.

（2）若点P（-3,0）,当NR4B=90。时，因为弦48过右焦点，

则即点A在以P尸为直径的圆上，则点A的轨迹方程为（x+iy+V=4；

又因为点A在椭圆上，则

一।y2T

■不+不一解得x=0,y=士白，即点A的坐标为（0，退）或（0,-73）.

（x+1）2+y2=4

（3）当直线/的斜率不存在时，即直线/垂直于x轴，此时力卜,|],8（1,-|）,

3-23-p

kx+k2=—2-+—=

当直线/的斜率存在时，设直线/方程为丁=耳*-1）,4（5,%）,8仇,力），

V£=

■43消去y得（3+4公）X2-8/X+442-12=0；

y=Z（x-1）

8二4公12

k+k=3f3—必=（3-y）（4-动+（4-占）（3-必）

'三一（4—-）

_12-3X2.4yl+wy+12-4y2-3再+x1y2

x}x2-4（%j+/）+16

12—3x?—4k（X]—1）+/2（工1—1）+12—4攵—1）—3&+玉&（g-1）

玉々-4（X+x2）+16

2gx2-（3+5攵）（玉+工2）+24+8攵

x}x2-4（Xj+X2）+16

将x1+x2=~^,xlX2=半需代入上式得k1+h=2,

综上：K+&是定值，定值为2.

题型二：面积问题

一、填空题

->2

1.（2023上海徐汇为考二模）已知双曲线"方=1（">0力>0）的左焦点为尸（TO）,过尸且与x轴垂直

的直线与双曲线交于A、B两点，。为坐标原点，AOB的面积为3，则尸到双曲线的渐近线距离为.

【答案】县占拒

22

【分析】取x=-c,解得y=士以，根据面积得到5=3,解得渐近线方程，再根据点到直线的距离公式

aa2

计算得到答案.

【详解】取丫=-叫则£._[=],解得y=±Q,故丝=£=

aba2aa2

即=解得a=1或q=—2（舍），b=B,

al22

不妨取渐近线方程为y=6x,即Gx-y=0,/到渐近线的距离为上里=迫.

故答案为：且

2

二、解答题

2.(2023春・上海•高三上海市实验学校校考阶段练习)已知曲线C：E-£=1,焦距长为2石，右顶点A

ah'

的横坐标为1.C上有一动点M(孙〃)(〃工0),N和〃关于y轴对称，直线M4记为4,直线N4为12,而且4,

4与y轴的交点分别为尸，Q.

(I)求双曲线C的方程；

(2)已知以线段PQ为直径的圆过点T,且T为x轴上一点，求T的坐标；

(3)记S为三角形的面积，当S取最小值时.求此时M点的坐标.

【答案】⑴/_£=1；

4

⑵7(±2,0)；

⑶M的坐标是(衣2)或(衣一2)或(-72,2)或卜立-2).

【分析】(1)由已知，得a=l,c=石，利用双曲线中“，江c的关系，求出从即可得到双曲线C的方程;

(2)由题意写出直线MA和NA的方程，令x=0求出P,Q两点的坐标，即可得到半径和中点，写出圆的

方程，令y=0,求出x=±2,可得T的坐标；

(3)由(2)可得|PQ帕勺表达式，进而求出三角形尸加。的面积S的表达式，由(2)知机，〃的关系继续化

简，再由均值不等式可得三角形面积的最小值，进而求出M点的坐标.

【详解】(1)因为焦距长为2不，即2c=2有nc=K，

且右顶点4的横坐标为1,则。=1,

所以〃=。2一。2=5-1=4,

所以双曲线C的方程为8?-21=1；

4

(2)已知A(L0),由于N和"关于丫轴对称，可知”N0,则,〃工±1,

直线AM:y=」一(x-l),令x=0,可得y=」~,则尸(0,二)，

直线AN:y=—^(x-1),令x=0,可得y=y,则Q(0,4],

-m-\"2+1Im+\)

所以归Qk|ErUrH普卜则以线段尸。为直径的圆的半径为I罟，

所以以线段PQ为直径的圆的方程为Y+y+

2222

mn"n

令…,得”2西广西广K,

又苏-d=l,

4

2

2n

所以X=m"nx=-2,即7(i2,0)；

<3）因为可如叫焦4m2n4m2

n+->4

同n

当且仅当〃=?2时，取得最小值，

此时M的坐标是（灰,2）或（亚,-2）或卜也2）或卜①-2）.

尤2v2

3.（2023•上海静安♦统考二模）已知双曲线八二一2T=1（其中〃>0*>。）的左、右焦点分别为耳（-c,

a-b~

0）、尸230）（其中c>0）.

（1）若双曲线「过点（2,1）且一条渐近线方程为>=也X；直线/的倾斜角为5,在y轴上的截距为-2.直

线/与该双曲线「交于两点4、B,M为线段AB的中点，求AMKE的面积；

（2）以坐标原点。为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线「在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线

的斜率为一石，求双曲线厂的离心率.

【答案】（1）2«；

⑵万

【分析】（1）由双曲线「过点（2,1）且一条渐近线方程为y=^x可得双曲线方程，将直线/与双曲线方

程联立可得M坐标，即可得答案；

'22、

（2）方法一：将圆方程与双曲线方程联立，可得尸：匚,后由切线斜率为-75可得

CC

\/

=囱n3-4_8/+4=0,即可得答案：

b~

方法二：设切线与X轴交于E点，由题目条件可得NPEO=二，结合NOPE=工，可得

32

ZPOE=,ZPOFt=与，后由余弦定理可得忸耳|,|P闾，进而可得“，即可得答案.

66

【详解】（1）双曲线八「-，=1渐近线方程为y=土，X,己知一条渐近线方程为y=¥x,所以a=后，

双曲线厂经过点（2,1）,所以｝/=1，

解得标=2,〃=1.所以双曲线八y-y2=l.

直线/的倾斜角为：，则斜率为1,又/在y轴上的截距为-2,贝门方程为：y=x-2,代入双曲线方程得:

X2-8x+10=0,

设两点A、B坐标分别为（为，M）、（巧，%），M（x,y）,

则玉+/=8=%=4,〉=2.又出入|二26,

则△码居的面积=白耳用.y=gx2Gx2=2技

f+y2=c2,将其与双曲线方程联立:

x2+y2=c2

2=*

¥=八.==述三＞上

acc

即p["J"+C?,,又切线斜率为一④，则kL.°=坐

（ccJcaylb2+c23

n3伫一标）="J2c2-In3c4+4/-8a2c2=0n3e“一8/+4=0,解得e?=2,所以双曲线

厂的离心率为百；

方法二：设切线与x轴交于E点，因切线斜率为-石，可知NPEO=g,

又NOPE=E,贝ljNPOE=」NPO4='.注意到10H=|。用=|。闾=c,则在，P。鸟中，由余弦定理，

266

\PF2\-Jpcf+|o碟_21尸o||。闻cos；=《2一旧C=#二较c，

在4尸。耳中，由余弦定理，

22

怛4|=J|po|+lo/^l-2\po\\OF2\COSy=42+6c=8；网C.

4.（2023・上海松江・统考二模）已知椭圆G：g+/=1的左、右焦点分别为牛g,离心率为弓;双曲线

。2：1-£=1的左、右焦点分别为工、工，离心率为0,e、q=*.过点6作不垂直于），轴的直线/交曲

线C1于点A、B,点M为线段AB的中点，直线OM交曲线C?于P、。两点.

⑴求G、Q的方程;

（2）若A4=34B,求直线P。的方程;

（3）求四边形APBQ面积的最小值.

【答案】⑴三+丁=1,—-jv2=l

（2）y=~x^y=^x

（3）2

【分析】（1）用b表示4,e2,由乌仁二孝计算/可得方程;

（2）设直线A8的方程为x=w）-l,由AE=3f；8,得出纵坐标之间的关系，由韦达定理消可求解用；

（3）由（2）可求出弦长|AB|,根据中点“可写出直线PQ的方程，与椭圆联立求出P,Q两点坐标，计算

点RQ到直线A8的距离，以A8为底，可计算四边形AP8Q的面积，从而求出最小值.

【详解】（1）由题意可知：令=与竺,e,=与Q

V2-0

所以q•6=

~一~2~~~

解得：tr=\,

所以椭圆方程为A小，双曲线方程为:

（2）由（1）知耳（一1,0）,因为直线A8不垂直与＞轴，设直线AB的方程为：》=冲-1,设点4（5,乂）,8（々,必），

则人6=（—1_耳，_乂），F/=（9+1，）'2））

由4耳=3a8,则-y=3%,即必=-3%,

x=my-1

2

联立:x221可得：2+2）y?_2my-1=0,A=4m+4（加2+2）=8（加2+i）〉（）,

一+y=1

2

2m

m+2

由韦达定理可得:

一1

tn+2

-tn

必=2,

m+20

将苗=一3%代入得：i解得加=±1,

4=3（/«2+2）

当机=1时，弦AB的中点M此时直线PQ的方程为：y=-gx；

当机=-1时，弦A3的中点此时直线PQ的方程为：y=；x.

所以直线尸。的方程为y=-；x或y=；x.

（3）设A3的中点“伍，几），由（2）可得|叫=+必）2—4%%=20,+叫

□m—2上..-2mj

且y产.产阳。一|二版*’点加m2+2'm?+2J'

kpQ=k°M=q,直线PQ的方程为：y=~x,

m

y=---x.

J2c4in2

联立,可得：X2=--y2=-^—,且2—M>0,

2

X2212—m-J2-m

---y=1

12

/O、

-2m

由双曲线的对称性，不妨取点P

、，2-"i~，2-/刀一）

2+trr2+nr

所以点P到直线AB的距离为：,亚二/亚二/

4=—7一—；~=—ji…"—"T

\J\—+m2yji+m2

-2+/2+疗

14--；——4-1

点。到直线AB的距离为:,2-川|二母一病

yji+m2Jl+疗

_2（2+也

-t"a2ji

5/2-m2Jl+a2

所以四边形4PBQ的面积为$="L|AB|®+d,）==2秋一（2一"）

2-府y]2-m,2

=2&J—^-^--1,因为0<2-m2«2,

V2-tn~

5.（2023•上海普陀・统考二模）在xOy平面上.设椭圆「：—+y2=\{m>\）,梯形ABC。的四个项点均在「

m

（2）设,"=正，直线C短经过点尸（0,2）,求0。。。的取值范围;

⑶设吁及，|45|=2|CD|,A。与8C的延长线相交于点当％变化时，AM4B的面积是否为定值？若

是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴2；

（3）z\M4B的面积是定值，定值为"

【分析】（1）由题意可得点C的纵坐标，代入椭圆方程计算x=再由椭圆。力,c的关系列式求解“；

2

（2）设直线C。的方程为，=丘+2（左eR）,联立方程组，根据A>0得公的范围，写出韦达定理，根据向

量数量积公式列式代入计算化简，并结合二的范围，从而求解出OC。。的范围；（3）分别将直线CO,AB

的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据弦长公式分别计算表示出|国,|越|,再由|钻|=43列式化

简得关于左的关系式，利用平行线间的距离表示出△M4B,从而可得钻的面积为5AMs=gx|AB|x〃，

代入火的关系式化简计算即可求出定值.

【详解】（1）因为梯形A8为『的长轴，ABCD的高为AB//CD

所以点C的纵坐标为;，代入桶圆方程得二+上=1,

2772-4

可得x=Y配,又因为C在A8上的射影为「的焦点，

2

c=，7尸一4=，解得小=4,

2

m>\,m=2.

（2）由题意，椭圆「：y+y2=l,直线CQ的方程为y=^+2（ZeR）,

2

X2

设则，2+>,

y=kx+2

化简得（2公+1卜2+8米+6=0,

△=64K-24（222+l）>0,得二>|,

-8%6

-■-X|+X2=2FTT,X|X2=2F7T,

/.OC-OD=x^x2+y1y2=xix2+（例+2）（仇+2）

=（k2+1）玉占+2攵（玉+/）+4

6（/+1）]6汰[8/+4_2公+10]111

2k2+1--2k2+i+2k2+\~2k2+i~~l+2k2+l,

4117

k2,所以-1<-1+不亍-<—

22k2+\4

所以Ou。。的取值范围为m

（3）设直线CD的方程为y=^+f,。（/、）。（程必），

区Ji

4（电,%）,3（%,%），联立J2+>,

="+/

化简得（2公+1卜2+43+2产-2=0,

A=\6k-r-4（2公+l）（2r2-2）>0,

-4kt2产-2

・T+“翦…二药

.“8|=后.旧守-4（2/-2）_*Jl6k2-8产+8

2k2+\2k2+\

二2-1

联立万+）'一，化简得（2%2+l）f_2=0

y=kx

-2

.•.电+甚=0,毛匕=声］

,——2J2（2p+l）

:.\AB\=>J\+k2■——L

lk2+\

闷刃叫所以所博可中.零普

化简得4产=6公+3,即卜卜戈；+3

、2Id

又Z\MAB的同为〃=/，

J*]

2,2（2r+1）2,

所以卜〃=g.Vi7F.

SW"=；X|AB2^+1-7^71

将W=76；+3代入化简得,s，2（6芯+3）（2如+1）

=A/6,

MAB2k2+\

故△M43的面积为定值瓜.

【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去X(或y)立一元二次方程，然后借

助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

6.(2023•上海奉贤・统考二模)已知椭圆C:]+¥=l他＞0),A(o,》)，3(0,q).椭圆C内部的一点

7,，£|。＞0),过点T作直线AT交椭圆于“，作直线8T交椭圆于N.M,N是不同的两点.

(1)若椭圆C的离心率是正，求b的值；

2

(2)设△87%的面积是S.AATTV的面积是S2,若今=5,6=1时，求，的值；

⑶若点U(x”,y“)，Mx,.,',,)满足x“＜占且工＞九，则称点u在点V的左上方.求证：当时，点N在点A/

的左上方.

【答案】(1)6的值为1或4

(2)1

(3)证明见解析

【分析】(1)分0＜。＜2,力＞2两种情况结合离心率计算式可得答案;

(2)联立直线A/0的方程与椭圆方程可得与，联立直线8N的方程与椭圆方程可得乐.结合图形可得

S?|7B||7M|sinZB7M

后结合NB7M+NA7N=n,及弦长公式可得:需，即可得答案;

S?'|7X|-|77V|-sinZA7W

(3)联立直线与椭圆方程可得与，%,后结合了，£|在椭圆内部可得加大小，又由题意可得以,加大

小，即可证明结论.

【详解】(1)因为椭圆C的离心率是立.

2

当。＜6＜2时，―亚王，得。=1；

22

当。＞2时，立=史三得。=4；

2b

所以匕的值为1或4；

(2)由题意，直线AA7的斜率心存在，直线BN的斜率原N存在,

k.2-fc.1.直线AM的方程y=-!x+l,设”(如，加).

AM~~T~~2t2t

n.乎力=1产+1,x4r

0=寸+1

X3

k_2+_3,直线的方程y=?x—1,设N(/,y.).

BN

~~r~2t2t

才+yj=l/+923Ac⑵

则3二寸十°="小

户五21

„1\TB\-\TM\-sinZBTM

由图，兴二］-----------------

52加。177VlsinNATN

注意到ZBTM+ZA7N=n，则sinZBTM=sinZATN.

又画=—/)2+(a-yJ=炉豆B-x小同理可得

园=J1+4上7/,|砌=J1+心k-,网=湛+脸上-4.则

II，t}-3t

|f|f

&='-匐|丐一"|=~?7T77rr+9

=5nr=1

5~|ZA|-|T7Vr|x-xJk-xJ~,12r

1r|e-3t产+1

112

t+9尸+9

（3）由题意，直线AM的斜率心”存在，直线BN的斜率心N存在,

L-h|-2h

_21-2^,直线4W的方程y=fx+),设M(XM，加).

k^~~r~~2T2t

_\-2h

产亍％+(1-2。『十二「"(I-)4b(2b-\)t

X

则2?O~2入M+M-U=>人M22

a+生=1厂t(1-2bf+bt'

[4b2

+Z，

_2_l+2fe,直线BN的方程,，=?x-b,设'(/,八).

KBN-----'〜2f

1+2力,

y=~2TXN~b(1+2叶+人2,4b(2b+1)?

则2

炉ynP/平.。(1+2bf+b2t2

9+乌=1

4b2

则

侬T）陞+1)

XM一%=4bt

(1-2。丫+b2t2(2b+l)2+b2t2

22222

[2b-1)(2b+l)+bt-(2b+1)(1-2bf+bt枷(4"-I-b2t2)

(1-Zb)。+b2t2(23+l)2+h2r[(1-2Z>)2+b2t2[lb+l)2+b2t2

T，?在椭圆内部，则?+'<1n4"-b2t2-1>0,故j>*『

又根据题意知%>g；>加，所以%>g>加.所以当时，点N在点M的左上方.

【点睛】关键点睛：本题涉及由离心率求参数，椭圆中的面积问题，及椭圆新定义，难度极大.（1）因不知

焦点位置，故需分情况讨论；（2）问关键是用得到/关于1的表达式；（3）类似于（2）,可得知，x“，后

利用作差法即可比较大小.

7.（2023•上海杨浦♦统考二模）已知椭圆C:磊+小=1（。>0）的右焦点为产，直线/：x+y-4=0.

（1）若尸到直线/的距离为2夜，求。；

48

（2）若直线/与椭圆C交于A,B两点,且二AB。的面积为亍，求〃：

（3）若椭圆c上存在点P,过P作直线/的垂线4,垂足为“，满足直线4和直线人”的夹角为TT;，求。的取值

4

范围.

【答案】（Da=8

（2）a=2

/c、、—8+4-\/7口.

3

【分析】（1）由椭圆方程得右焦点为尸（〃，0）,再根据已知条件及点到直线的距离公式求解即可：

（2）联立直线与椭圆方程，先由韦达定理及弦长公式求|锄|,点到直线的距离公式求。到直线/的距离〃，

再根据三角形面积公式求解即可；

（3）分。=4和〃片4两种情况讨论，易知。=4不合题意，当。*4时，根据题意可得直线尸〃的方程为y=0

或x=a,代入/方程可求”点坐标，从而可求直线人的方程，联立4与椭圆方程，利用ANO即可求出。的取

值范围.

【详解】（1）因为C:工+工=1（。＞0）,所以右焦点为/（。,0）,

4/3a2''

|«+0-4|

又因为/：x+y-4=0,所以为到直线/的距离d」/匕2拉r,解得百=8；

（2）设4（%,y）,8（々,必），

£+J

由《4/3a2得7/-32x+64-12a2=0，

x+y=4

32

Xt+X2~~

所以A=322-28(64-12/)>0,即/>3，且<

764-12a2

7

所以|AB|二夜.+/)2-4中2

3.出一王亨考

又因为0到直线)的距离为h=10十°-，=2e,

Vi2+i2

所以.ABO的面积为

22

S/,BO=1|AB|-/z=^x2^x^.V21a-48=|-V21a-48=y.

解得a=2满足"所以。=2；

(3)若〃=4,则直线/经过点厂，此时直线4和直线F”的夹角为T(舍去)，

若。H4,由直线4和直线/7/的夹角为:，且勺=1得，

直线厂”的方程为y=0或x=a代入/：x+y-4=0得"(4,0)或“34-幻，

所以直线《的方程为y=x-4或y-(4-a)=x—。代入椭圆方程得

7x2-32x+64-12q2=