2025高考数学一轮复习-8.7-直线与椭圆、双曲线【课件】

第八章平面解析几何第7节直线与椭圆、双曲线KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析1将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.解

将直线l的方程与椭圆C的方程联立，(2)有且只有一个公共点；将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.解

将直线l的方程与椭圆C的方程联立，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.这时直线l与椭圆C没有公共点.(3)没有公共点.将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.解

将直线l的方程与椭圆C的方程联立，解析法一由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，D故m≥1且m≠5.消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，∴m≥1且m≠5.1解析法一易知此弦所在直线的斜率存在，

∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).角度1中点弦问题x＋2y－3＝0消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，即x＋2y－3＝0.∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，法二易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，角度2弦长问题解

①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.解析设A(2，1)是弦P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，训练2(1)以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为_______________.4x－y－7＝0∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，解

由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).代入椭圆方程得b2＝1，消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.解

依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4则满足条件的斜率k的取值范围为解

假设存在定点Q.设定点Q(t，0)，当直线斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，∴m2－4≠0，且Δ＝4m2＋12(m2－4)＞0，解得m2＞3且m2≠4.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.A因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，2.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(

)C解析法一设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，AADAC曲线y＝ex－2－1经过C的焦点(2，0)，故C正确；联立直线和双曲线C的方程，得Δ＝0，故有一个公共点，所以D错误.解析由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，解析由题意知c＝4，不妨取A(a，b)，所以(a－4)2＋b2＝16，又a2＋b2＝16，∴a＝2，b2＝12，解析根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.8解

因为直线l过椭圆右焦点F(1，0)，且斜率为1，所以直线l的方程为y＝x－1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；(3)若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程.解

当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝1，此时∠POQ小于90°，以OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形.当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1).∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).此时，四边形OPTQ的面积解析对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|，故四边形AF1BF2为平行四边形.故A正确；ABC解析由双曲线的定义，知|PF1|－