2024高考数学二轮专题复习测试专题强化练六含解析

PAGE专题强化练(六)1．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β则l⊥β解析：对于A、B、D均可能出现l∥β，而对于C是正确的．答案：C2．(2024·邯郸一中模拟)《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3)，则该圆柱形容器能放米()A．900斛 B．2700斛C．3600斛 D．10800斛解析：设圆柱形容器的底面圆半径为r，则r＝eq\f(54,2π)＝eq\f(54,6)＝9(尺)，所以，该圆柱形容器的体积为V＝πr2×18＝3×92×18＝4374(立方尺)，因此，该圆柱形容器能放米eq\f(4374,1.62)＝2700(斛)．答案：B3．(2024·遂宁诊断)已知m，n，是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m⊥α，n∥α，则m⊥n解析：选项A中直线m，n还可能相交或异面，选项B中m，n还可能异面，选项C，由条件可得n∥α或n⊂α，故选D.答案：D4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解析：如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案：C5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为()A．100cm3 B．200cm3C．300cm3 D．400cm3解析：设大圆锥的高为h，所以eq\f(h－4,h)＝eq\f(6,10)，解得h＝10.故V＝eq\f(1,3)π×52×10－eq\f(1,3)π×32×6＝eq\f(196,3)π≈200cm3.答案：B6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的命题是()A．①② B．②③C．①④ D．②④解析：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，如图，则α与β不肯定垂直，故①为假命题；②若m⊥α，m⊥β，依据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β；故②为真命题；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故③为真命题；④若m∥α，n∥β，m∥n，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．答案：B7．(2024·武汉外国语学校模拟)已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为eq\f(43π,3)，则该三棱柱的高为()A．eq\f(3,2) B．3C．4 D．eq\f(5,2)解析：由题意易知该三棱柱是底面边长为2的正三棱柱．设C，B分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC，则三棱柱外接球的球心为BC的中点O，如图．设三棱柱外接球的半径为R.因为三棱柱的外接球的表面积为eq\f(43π,3)，所以4πR2＝eq\f(43π,3)，所以R＝eq\r(\f(43,12)).又R＝OA＝eq\r(OB2＋AB2)＝eq\r(OB2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(43,12))，所以OB＝eq\f(3,2)，所以该三棱柱的高为BC＝2OB＝3.答案：B8．(2024·东北三省四市教研联合体模拟)《算数书》竹简于20世纪八十年头在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V≈eq\f(1,36)L2h的近似公式．它事实上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式V≈eq\f(3,112)L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A.eq\f(22,7) B.eq\f(157,50)C.eq\f(28,9) D.eq\f(337,115)解析：设圆锥底面圆的半径为r，则V＝eq\f(1,3)πr2h，又V≈eq\f(3,112)L2h＝eq\f(3,112)(2πr)2h，故eq\f(3,112)(2πr)2h≈eq\f(1,3)πr2h，所以π≈eq\f(112,36)＝eq\f(28,9).答案：C＝PD＝2，AB＝AD＝1，PC＝eq\r(3)PA＝3，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD，则四棱锥PABCD的体积为()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\r(6)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\r(3)解析：依题意可得，PA2＋AB2＝PB2，则PA⊥AB，同理可得PA⊥AD，因为AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD，则PA⊥AC.因为PC＝eq\r(3)PA＝3，所以AC＝eq\r(32－（\r(3)）2)＝eq\r(6).因为∠BAD＝120°，且AC平分∠BAD，所以四边形ABCD的面积为1×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),2)，从而四棱锥P-ABCD的体积为eq\f(1,3)×eq\f(3\r(2),2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),2)，故选A.答案：A10．(2024·淄博模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是________立方丈．()A.eq\f(133,4)π B.eq\f(133,48)πC.eq\f(133\r(133),4)π D.eq\f(133\r(133),48)π解析：因为该长方体的粮仓可装粟一万斛，1斛的体积为2.7立方尺，所以该长方体的体积为2.7×10000＝27000立方尺，所以该长方体的高为eq\f(27000,45×30)＝20尺，因为长方体的外接球直径为其体对角线，所以长方体的外接球半径R＝eq\f(\r(452＋302＋202),2)＝eq\f(5\r(133),2)尺．所以体积为eq\f(4π,3)R3＝eq\f(125×133\r(133),6)π立方尺，即为eq\f(133\r(133),48)π立方丈．答案：D11．(多选题)(2024·淄博模拟)在正方形ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是()A．BC1∥平面AQPB．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形C．A1D⊥平面AQPD．异面直线QP与A1C1所成的角为60°解析：如图，因为P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQ∥BC1，又BC1⊄平面AQP，PQ⊂平面AQP，由线面平行的判定定理，知BC1∥平面AQP，故A正确；由AD1∥PQ，知平面APQ截正方体所得截面为APQD1，是等腰梯形，故B正确；若A1D⊥平面AQP，则A1D⊥AP，又AA1⊥AP，AA1∩A1D＝A1，所以AP⊥平面A1AD，而AB⊥平面A1AD，这与垂直于同一平面的两条直线平行冲突，故C不正确；异面直线QP与A1C1所成的角为∠A1C1B，而△A1C1B为等边三角形，故D正确．答案：ABD12.(多选题)(2024·威海模拟)如图直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2eq\r(3).则()A．平面PED⊥平面EBCDB．PC⊥EDC．二面角P-DC-B的大小为eq\f(π,4)D．PC与平面PED所成角的正切值为eq\r(2)解析：A中，PD＝AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，在三角形PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又CD⊥DE，可得CD⊥平面PED，CD⊂平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，A项正确；B中，若PC⊥ED，又ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA，明显冲突，故B项错误；C中，二面角P-DC-B的平面角为∠PDE，依据折前折后不变知∠PDE＝∠ADE＝45°，故C项正确；D中，由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED所成角，在Rt△PCD中，tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(2),2)，故D项错误．答案：AC＝AC＝5，则三棱锥ABCD的体积为________________．解析：如图所示，把三棱锥A-BCD置于长方体AECF-HBGD中，由题意可得AE2＋EB2＝13，EC2＋EB2＝20，AE2＋EC2＝25，解得AE＝3，EB＝2，EC＝4，所以三棱锥ABCD中的体积VA-BCD＝VAECF-HBGD－4VB-AEC＝2×3×4－4×eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×3×4＝8.答案：814．(2024·无锡市、常州市5月调研)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱长都是a，点P，Q分别为棱CC1，BC的中点，四面体A1B1PQ的体积为eq\f(\r(3),2)，则a的值为________．解析：如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱长都是a，点P，Q分别为棱CC1，BC的中点，取B1C1的中点H，连接A1H，则A1H⊥平面BB1C1C，且A1H＝eq\f(\r(3),2)a，S△B1PQ＝a2－eq\f(1,2)×eq\f(a,2)×eq\f(a,2)－2×eq\f(1,2)×eq\f(a,2)×a＝eq\f(3a2,8).所以四面体A1B1PQ的体积为eq\f(1,3)×eq\f(3a2,8)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),16)a3＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝2.答案：215．(2024·辽宁省部分重点中学协作体模拟)古代中国，建筑工匠们特别注意建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在eq\r(2)∶1的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今日，A4纸之所以流行的重要缘由之一，就是它的长与宽的比无限接近eq\r(2)∶1，我们称这种满意了eq\r(2)∶1的矩形为“美丽”矩形．现有一长方体ABCD-A1B1C1D1，AD1＝2eq\r(6)，AC＝2eq\r(5)，AC1＝2eq\r(7)，则此长方体的表面六个矩形中，“美丽”矩形的个数为____________．解析：由题意，该长方体如图所示：＝2eq\r(2)，AD＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－CCeq\o\al(2,1))＝4，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝2，所以AB＝CD＝2，AA1＝CC1＝2eq\r(2)，所以eq\f(AA1,AB)＝eq\r(2)，eq\f(AD,AA1)＝eq\r(2)，eq\f(AD,AB)＝2，所以此长方体的表面六个矩形中，“美丽”矩形的个数为4.答案：41