专题18.1 平行四边形中的几何综合（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）-八年级数学下册

专题18.1平行四边形中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．二、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形典例分析典例分析【典例1】已知▱ABCD，BC=2．（1）如图1，若以BC为边作等边△BCE，且点E恰好在边AD上，直接写出此时▱ABCD的面积；（2）如图2，若以BC为斜边作等腰直角△BCF，且点F恰好在边AD上，过C作CG⊥CD交BF于G，连接AG．①依题意将图2补全；②用等式表示此时线段CD，（3）如图3，以BC为边作▱BCMN，且∠CMN=60°，BN=3．若NA⊥BD，直接用等式表示此时BD与NA的数量关系．【思路点拨】（1）作EI⊥BC于点I，利用等边三角形的性质求得BI的长，再利用勾股定理求得EI的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可；（2）①依照题意补全图形即可；②延长CF交BA的延长线于点H，延长CG交BA的延长线于点J，利用ASA证明△HBF≌△GCF，推出GC=BH，FG=FH，再证明△AFG≌△AFHSAS，推出AG=AH，即可证明CG=CD+AG（3）连接BM，作BK⊥MN并交MN的延长线于点K，推出四边形ADMN是平行四边形，得到△BMD是直角三角形，BD2+D【解题过程】（1）解：作EI⊥BC于点I，∵△BCE是边长为2的等边三角形，∴BI=IC=1∴EI=B∴此时▱ABCD的面积为BC×EI=2×3（2）解：①补全图形如图，②CG=CD+AG；理由如下，延长CF交BA的延长线于点H，延长CG交BA的延长线于点J，∵△BCF是以BC为斜边的等腰直角三角形，∴BF=CF，∠BFC=∠BFH=90°，∠FBC=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC=45°=∠AFH，∵四边形ABCD是平行四边形，CG⊥CD，∴∠BJG=∠GFC=90°，∴∠HBF=90°−∠BGJ=90°−∠FGC=∠GCF，在△HBF和△GCF中，∠HFB=∠GFC=90°BF=CF∴△HBF≌△GCFASA∴GC=BH，FG=FH，又∵∠AFB=∠AFH，FA=FA，∴△AFG≌△AFHSAS∴AG=AH，∴CG=BH=BA+AH=CD+AG；（3）解：BD连接BM，作BK⊥MN并交MN的延长线于点K，由题意得MN=AD=BC=2，MN∥∴四边形ADMN是平行四边形，∴MD=AN，MD∥∵NA⊥BD，∴MD⊥BD，即△BMD是直角三角形，∵四边形BCMN是平行四边形，且∠CMN=60°，∴∠CBN=∠CMN=60°，∠KBN=90°−60°=30°，∵BN=3，∴KN=12BN=∴KM=KN+MN=7∴BM=B∴BD2+D学霸必刷学霸必刷1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形ABCD中AB∥CD，∠ABC=∠ADC

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）E是BC上一点，连接DE，F在DE上，连接AF、CF，AF=CF，∠DAF=∠DFC，求证：CE=FD；（3）在（2）的条件下，若∠BED−∠AFD=60°，DE=5，AF=2．求线段BE的长度．

【思路点拨】（1）证明AD∥BC，即可证得结论；（2）在AD上取一点G，连接FG，使FG=FA，如图，证明△GFD≌△FCEAAS（3）如图，作FM∥BC交AB于M，证明△AFG是等边三角形，可得AF=AG=FG=2，∠AGF=60°，设EF=x，用含x的代数式表示出直角三角形FDH中的相关线段，然后利用勾股定理列出方程求出x，进而求解．【解题过程】（1）证明：∵AB∥∴∠B+∠C=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）证明：在AD上取一点G，连接FG，使FG=FA，如图，则∠FAG=∠FGA，∵∠DAF=∠DFC，AF=CF，∴∠FGA=∠DFC，FG=FC，∴∠FGD=∠CFE，∵AD∥BC，∴∠GDF=∠FEC，∴△GFD≌△FCEAAS∴CE=FD；

（3）解：如图，作FM∥BC交AB于M，则MF∥AD，∠BED=∠MFD，∵∠BED−∠AFD=60°，∴∠MFD−∠AFD=60°，即∠AFM=60°，∴∠DAF=60°，∵FA=FG，∴△AFG是等边三角形，∴AF=AG=FG=2，∠AGF=60°，作FH⊥AD于点H，则HG=1∴HF=2设EF=x，则DG=EF=x,DF=DE−EF=5−x，DH=x+1,∴在直角三角形FDH中，根据勾股定理可得：x+12解得：x=7∴AD=2+x=154，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=15∴BE=152．（22-23八年级下·广东·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°)，分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB=1，BC=5，连接BF

（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图②，当α=45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图③，当α=90°时，求△BOF的面积．

【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AO=CO，则∠FAO=∠ECO，由ASA证得△AFO≌△CEO，即可得出结论（2）由勾股定理得出AC=BC2−AB2=2，由平行四边形的性质得出BO=DO，AO=CO=12AC=1，推出AB=AO，求出∠BOF=∠AOB+∠AOF=90°，即（3）由∠CAB=∠AOF=α=90°，得出AB∥EF，证得四边形ABEF是平行四边形，则AB=EF=1，由(1)得△AFO≌△CEO，得出OF=OE=12EF=12，由(2)得AO=1，由AB∥EF，AO⊥EF，则【解题过程】（1）解：AF=CE；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，∴在△AFO与△CEO中，∠FAO=∠ECOAO=CO∴△AFO≌△CEO(ASA∴AF=EC；（2）BF=DF；理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∴AC=B∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=CO=12AC=1∴AB=AO，又∵AB⊥AC，∴∠AOB=45°，∵α=45°，∠AOF=45°，∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=45°+45°=90°，∴EF⊥BD，∵BO=DO，∴BF=DF；（3）∵AB⊥AC，∴∠CAB=90°，∴∠CAB=∠AOF=α=90°，∴AB∥∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥∴四边形ABEF是平行四边形，∴AB=EF=1，由（1）得：△AFO≌△CEO，∴OF=OE=12EF=1由（2）得：AO=1，∵AB∥EF，∴S△BOF=S△AOF=12AO⋅OF=123．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交（1）如图1，若点P在BC边上，此时PD=0，直接写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系；（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）

【思路点拨】（1）证平行四边形PEAF，推出PE=AF，PF=AE，根据等腰三角形性质推出∠B=∠C=∠EPB，推出PE=BE即可；（2）过点P作MN∥CB分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF=AM，再推出（3）过点P作MN∥CB分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF=AM，再推出【解题过程】（1）结论是PD+PE+PF=AB，证明：∵PE∥AC，∴四边形PEAF是平行四边形，∴PF=AE，∵AB∴∠B=∠C，∵PE∥∴∠EPB=∠C，∴∠B=∠EPB，∴PE=BE，∵AE+BE=AB，∴PE+PF=AB，∵PD=0，∴PD+PE+PF=AB．（2）结论是PD+PE+PF=AB，证明：过点P作MN∥CB分别交AB、AC于M、由（1）得：PE+PF=AM，∵四边形BDPM是平行四边形，∵MB=PD，∴PD+PE+PF=AM+MB=AB．（3）结论是PE+PF−PD=AB．证明：过点P作MN∥CB分别交AB、AC延长线于M、由（1）得：PE+PF=AM，∵四边形BDPM是平行四边形，∵MB=PD，∴AB=AM−MB=PE+PF−PD．即PE+PF−PD=AB．4．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．（1）如图，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB=BP，求∠ABC的度数．

（2）如图，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD=23cm，直接写出：△DPF的面积为___________

（3）如图，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为tt>0，若AD=12cm，则t=___________秒时，以P、D、Q、

【思路点拨】（1）可证AB=AP，从而可证AB=BP=AP，即可求解；（2）设边CD上的高为ℎ1，边BC上的高为ℎ2，S△PBC（3）当PD=BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12−t=12−4t时，②当12−t=24−4t时，③当12−t=4t−12时，④当12−t=4t−24时，⑤当12−t=36−4t时，⑥当12−t=4t−36时，即可求解．【解题过程】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠APB=∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∵AB=BP，∴AB=BP=AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP=60°，∴∠ABC=120°．（2）解：如图，设边CD上的高为ℎ1，边BC上的高为ℎ

，∵四边形ABCD是平行四边形，∴SS△PBC∴S△PBC∴S∴S△PAB∴S∴S∵△ABP是等边三角形，∴S（3）解：∵PD∥∴当PD=BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵121=12∴0≤t<12，①当12−t=12−4t时，解得：t=0；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12−t=24−4t时，解得：t=4；③当12−t=4t−12时，解得：t=4.8；④当12−t=4t−24时，解得：t=7.2；⑤当12−t=36−4t时，解得：t=8；⑥当12−t=4t−36时，解得：t=9.6；综上所述：t为0秒、4秒、4.8秒、7.2秒、8秒、9.6秒．5．（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=12，点P，Q分别是CA，AB上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作QM⊥BC

（1）AP=______，QM=______．（用含t的代数式表示）（2）如图2，已知点D为BC中点，连接QD，PD，以QD，①当PA=3PC时，求QD的长；②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形DPEQ的一边落在Rt△ABC的某边上？若存在，求出所有符合条件的t

【思路点拨】（1）先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=24，进而得到CP=3t，AQ=8t，据此求出（2）①根据PA=3PC，求出t=1，则BQ=16，QM=8，利用勾股定理分别求出BM=83，BC=123，进而求出【解题过程】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=12∴AB=2AC=24，∵P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，∴CP=3t，∴AP=AC−CP=12−3t，∵QM⊥BC，∴∠QMB=90°，又∵∠B=30°，∴QM=1故答案为：12−3t，12−4t；（2）解：①∵PA=3PC，∴3×3t=12−3t，解得t=1，∴BQ=24−8t=16，∴BM=B在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=∵点D为BC中点，∴BD=1∴DM=BM−BD=23在Rt△DMQ中，由勾股定理得QD=②如图2-1所示，当PE落在AC上时，则PE∥QD，∴QD⊥BC，∴此时点D与点M重合，∴QD=12−4t，在Rt△QBD中，由勾股定理得B∴4t解得t=32或如图2-2所示，当QE落在AB上时，延长PD到H使得PD=HD，连接BH，∵CD=BD，∴△PCD≌△HBDSAS∴CP=BH，∴BH∥AC，∵四边形DQEP是平行四边形，∴PD∥DE，∴四边形APHB是平行四边形，∴AP=BH=CP，∴3t=12−3t，解得t=2；如图2-3所示，当点Q运动到点B时，此时DQ在BC上，∴t=24综上所述，t的值为326．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图1所示，平行四边形ABCD是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道AC，BD交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：（1）若AB=1.3km，AC=2km，（2）在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN，MN，CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON（点M与点O，B不重合），并计划在（3）若将该区域扩大，如图3，此时AC⊥BD，

【思路点拨】（1）利用平行四边形的性质求出OA，OB，进而可得AB=OB≠OA，则（2）根据已知条件可得S△COM=S△AOM，从而（3）如图所示，过点M作MP∥AN，过点A作AP∥MN交MP于P，则四边形APMN是平行四边形，AN=PM，AP=MN，同理可得OB=12BD=1.5km，求出AP=MN=1.5km，进而推出当C、M、P三点共线时，PM+CM最小，即AN+MN+CM【解题过程】（1）解：△AOB是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=1.3km，∴OA=1∴AB=OB≠OA，∴△AOB是等腰三角形；（2）解：连接AM、CN，如图：∵在△ACM中，OA=OC，∴S∴S∵OB=BM+MO，BM=ON，OB=OD=1∴MN=MO+ON=OB=1∴S过点B作BE⊥OA于点E，∴AE=OE=1∴BE=A∴S∴S∴S∴种植马鞭草区域的面积为0.6km（3）解：如图所示，过点M作MP∥AN，过点A作AP∥MN交MP于P，则四边形APMN是平行四边形，∴AN=PM，同理可得OB=1∵BM=ON，∴BM+OM=ON+OM，∴MN=OB=1.5km∴AP=MN=1.5km∴AN+MN+CM=PM+CM+1.5，∴当C、M、P三点共线时，PM+CM最小，即AN+MN+CM最小，最小值为PC+1.5，在Rt△APC中，由勾股定理得PC=∴AN+MN+CM最小∴修建这三条绿道投入资金的最小值为3177．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD于F．

（1）求证：AB=BE；（2）求证：CE=CF；（3）延长AD、EF交于点H，延长BA到G，使AG=CF，若AD=7，DF=3，EH=2AE，求GF的长．

【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，从而得到∠DAE=∠AEB，再根据角平分线的性质可得∠DAE=∠BAE，从而即可得出AB=BE；（2）由题意可得：∠DAE=∠BAE=∠AEB=12∠BAD=12∠C，则（3）连接AC，作AP⊥BC于P，由题意可求AB=BE=CD=5，CE=CF=2，即可求DH=3，根据勾股定理可求AE的长，根据勾股定理可列出方程，可求出BP，AP，PE，PC的长度，再根据勾股定理可求AC的长，由题意可证AC=GF，即可得GF的长．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=∠DAE=1∴∠BAE=∠AEB=1∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=90°，即12∴1∵∠C+∠FEC+∠EFC=180°，∴1∴∠EFC=∠FEC，∴CE=CF；（3）解：如图连接AC，作AP⊥BC于P，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵CE=CF，∴BC−BE=CD−DF，且AB=BE=CD，∴7−AB=AB−3，∴AB=5=BE=CD，∴CE=CF=2，∵AD∥BC，∴∠H=∠FEC，且∠FEC=∠EFC，∴∠H=∠DFH，∴DH=DF=3，∴AH=10，在Rt△AEH中，AH2∴5AE∴AE=25在Rt△ABP和Rt△APE中，AP∴AB∴25−B∴BP=3，∴AP=4，在Rt△APC中，AC=∵AB∥CD，∴四边形AGFC是平行四边形，∴GF=AC=428．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BD⊥DC，E、F分别为DC、DB上一点，G为DB延长线上一点，DE=DF=GB，EF的延长线交AB于M，交DA的延长线于点N，∠DBC=∠DGM，

（1）①求证∠G=∠ADG；②试判断四边形NBCD的形状，并加以证明；（2）如图2，过点M作MP∥AD，BF=7，MF=42

【思路点拨】（1）①由平行线的性质可得∠ADB=∠DBC，结合已知即可证明；②在DN取一点H，使DH=GM，连接BH交NF于点K，可证△DEF是等腰直角三角形，∠DFE=∠DEF=45°，证明△GFM≌△BDH，得到∠MFG=∠HBD=45°，证明∠BKM=∠NKH=90°，BK=KF，∠HNK=∠MBK可得△HNK≌△MBK，NK=BK=KF，△BKN是等腰直角三角形，∠BNK=∠NBK=45°，得到（2）过点M作MQ⊥PG，设BG=DF=x，由勾股定理可得MQ=FQ=4，求得BQ=3，BM=5，GQ=3+x，证明∠MPB=∠G，得到MG=MP，PG=2GQ=6+2x，PB=6+2x−x=6+x，由勾股定理可得MP【解题过程】（1）①证明：∵AD∥∴∠ADB=∠DBC，∵∠DBC=∠DGM，∴∠G=∠ADG；②四边形NBCD是平行四边形，证明如下：如图，在DN上取一点H，使DH=GM，连接BH交NF于点K，

∵DE=DF，BD⊥DC∴△DEF是等腰直角三角形，∠DFE=∠DEF=45°，∵DN=GM+BM，∴NH=BM，∵DF=GB，∴DB=GF，在△BDH和△GFM中，GM=DH∠G=∠HDB∴△GFM≌∴∠MFG=∠HBD=45°，∴BK=KF，∠BKF=90°，∴∠BKM=∠NKH=90°，∴∠HNK=∠MBK，在△HNK和△MBK中，∠HNK=∠MBK∠HKN=∠MKB=90°∴∠HNK≌∴NK=BK=KF，∴△BKN是等腰直角三角形，∠BNK=∠NBK=45°，∴∠NBF=90°，∵∠NBF=∠BDC=90°，∴BN∥∵ND∥∴四边形NBCD是平行四边形；（2）如图，过点M作MQ⊥PG，设BG=DF=x，

∵∠MFQ=45°∴MQ=FQ，∵MQ2+F∴MQ=FQ=4，∵BF=7，∴BQ=7−4=3，∴BM=MQ2∵MP∥∴MP∥∴∠MPB=∠PBC，∵∠G=∠PBC，∴∠MPB=∠G，∴MG=MP，PG=2GQ=6+2x，PB=6+2x−x=6+x，M∴6+x解得x=7∴BG=79．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且

（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，∠ADB=120°，设对角线AC、DE交于点O，过点O作OQ⊥AC交∠ADB的角平分线于点Q，OQ与AD交于点P，求证：AD−DC=DQ．（3）如图3，在（2）的条件下，若CE=3，QD=1，求AP的长．

【思路点拨】（1）证明△AEF≌△DBFAAS，得出AE=DB，证出AE=DC，由AE∥BC（2）过点Q作QM⊥BC于点M，作QN⊥AD于点N，连接AQ，CQ，由角平分线的性质得出QM=QN，∠QDM=∠QDN=60°，求出∠DQM=∠DQN=30°，由直角三角形的性质得出DM=DN=12DQ，由线段垂直平分线的性质得出AQ=CQ，证明Rt（3）由平行四边形的性质得出AD=CE=3，由（2）得出DC=AD−DQ=2，过C作CK⊥AD于K，连接CP，由直角三角形的性质得出DK=12CD=1，CK=3DK=3，得出PK=AD−AP−DK−2−AP，由线段垂直平分线的性质得出AP=CP，在【解题过程】（1）证明：∵AE∥∴∠AEF=∠DBF，在△AEF和△DBF中，∠AEF=∠DBF∠AFE=∠DFB∴△AEF≌△DBFAAS∴AE=DB，∵AD是△ABC的中线，∴DB=DC，∴AE=DC，又∵AE∥∴四边形ADCE是平行四边形；（2）如图，过点Q作QM⊥BC于点M，作QN⊥AD于点N，连接AQ，CQ，

∵DQ平分∠ADB，∠ADB=120°，∴QM=QN，∠QDM=∠QDN=60°，∴∠DQM=∠DQN=30°，∴DM=DN=1由（1）得：四边形ADCE是平行四边形，∴OA=OC，∵OQ⊥AC，∴AQ=CQ，在Rt△CMQ和RtCQ=AQQM=QN∴Rt∴CM=AN，∴AD−DC=AN+DN−CM−DM即AD−DC=DQ；（3）∵四边形ADCE是平行四边形，∴AD=CE=3，由（2）得：AD−DC=DQ，∴DC=AD−DQ=3−1=2，如下图，过点C作CK⊥AD于K，连接CP，

∵∠ADB=120°，∴∠ADC=60°，∴∠KCD=30°，∴DK=12CD=1∴PK=AD−AP−DK−2−AP，∵OA=OC，OP⊥AC，∴AP=CP，在Rt△PKC由勾股定理得：PC2=P解得：AP=7∴AP的长为7410．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=45°，AD=BD，∠CBD=90°．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若点P为线段CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．①如图2，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；②如图3，当点P在线段CD上时，求证：DA+2

【思路点拨】（1）根据已知条件得到AB∥CD，AD∥BC，再由平行四边形的判定即可得证；（2）①连接BD，可知△BDC是等腰直角三角形，再证明△PAD≌△PEDAAS，利用全等三角形性质即可得到PA=PE②过点P作PF⊥CD交DE于点F，首先证明△ADP≌△EFPASA，得AD=EF，进而再证明△DPF【解题过程】（1）证明：∵AD=BD，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴∠ADB=90°，∵∠CBD=90°，∴∠CBD=∠ADB，∴AD∥BC，∵∠C=45°，∠CBD=90°，∴∠BDC=45°，BD=BD，∴∠BDC=∠ABD=45°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：①AP=PE，理由如下：连接BP，如图所示：由（1）知△BDC是等腰直角三角形，当点P为线段CD的中点时，BP=PD=12CD∴∠PBE=180°−∠PBC=135°，∵AB∥CD，∴∠ADC=180°−∠BAD=180°−45°=135°，∴∠ADC=∠PBE，∵∠PAD+∠AOD=∠PEB+∠POE=90°，∠AOD=∠POE，∴∠PAD=∠PEB，∴△PAD≌△PEDAAS∴AP=PE；②证明：过点P作PF⊥CD交DE于点F，如图所示：∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF=∠APE=90°，∴∠DPA=∠FPE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠DAB=45°，AB∥CD，又∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA=∠C=∠CDB=45°，∴∠ADB=∠DBC=90°，∴∠PFD=45°，∴∠PFD=∠PDF，∴PD=PF，∴∠PDA=∠PFE=135°，∴△ADP≌△EFPASA∴AD=EF，在Rt△FDP中，∠PDF=45°，则DF=∵DE=DF+EF，∴DA+211．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ADB=90°，∠A=60°，AD=4．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AB−BC向终点C匀速运动，连结PO并延长交折线CD−DA于点Q，将线段PQ绕着点P逆时针旋转60°得到线段PE，连结QE，设点P的运动时间为t（s）．

（1）用含t的代数式表示PB的长．（2）当点P在边AB上运动时，求证：AP=CQ．（3）当点E在△ABD内部时，求t的取值范围．（4）当△PQE与△BCD的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出t的值．

【思路点拨】（1）利用含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可；（2）连接AC，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点E的临界值时的t值，从而得到t的取值范围；（4）画出符合题意的图形，利用PB的长度列出关于t的方程解答即可．【解题过程】（1）解：∵∠ADB=90°，∠A=60°，AD=4，∴∠ABD=30°，∴AB=2AD=8，∴BD=A∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=4．①当0≤t≤4时，PB=AB−AP=8−2t，②当4<t≤6时，PB=2t−8（2）证明：连接AC，如图，

∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴AC经过点O，OA=OC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥∴∠QCO=∠PAO．在△APO和△CQO中，∠AOP=∠COQOA=OC∴△APO≌△CQO(ASA∴AP=CQ（3）解：①当点E与点D重合时，如图，

由题意得：△PQE为等边三角形，∴∠PQE=∠QPE=60°，∵AB∥∴∠QPB=∠PQE=60°，∴∠A=∠QPB=60°，∴AD∥∴四边形APQD为平行四边形，∴PQ=AD=4，∴DQ=PQ=AP=4，∴2t=4，∴t=2，②当点E落在AB边上时，如图，

由题意得：△PQE为等边三角形，∴∠PEQ=60°，∴∠A=∠PEQ=60°，∴AD∥∴四边形AEQD为平行四边形，∴EQ=AD=4，AE=DQ，∴PE=4．∴AE=AP−PE=2t−4．在△DOQ和△BOP中，∠DOQ=∠BOPOD=OB∴△DOQ≌△BOP(AAS∴DQ=PB，∴PB=AE，∴8−2t=2t−4，∴t=3，∴当点E在△ABD内部时，t的取值范围为：2<t<3（4）①当点P在边AB上运动时，PE经过点D时，△PQE与△BCD的重叠部分图形是轴对称的三角形，

∴OD=OQ，∴∠ODQ=∠OQD=30°，∵∠QPE=60°，∴∠PDQ=90°，∴PD⊥DQ，∵AB∥∴DP⊥AB，∴AP=1∴2t=2，∴t=1．②当点P在边BC上运动时，如果BO=BP，则，△PQE与△BCD的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，

∴BP=BO=1∴2t−8=23∴t=4+3综上，当△PQE与△BCD的重叠部分图形是轴对称的三角形时，t的值为1或4+312．（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．

（1）试说明：BF=DE；（2）试说明：△ABE≌△CDF；（3）如果在▱ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，直接写出m与n满足的数量关系．

【思路点拨】（1）证明△EOD≌△FOBASA（2）由（1）知：BF=DE，根据平行四边形性质求出∠A=∠C，AB=CD，AD=BC，推出AE=CF，根据SAS证明△ABE≌△CDF即可；（3）分为三种情况，求出△DFC的周长，每种情况m+n都等于△DFC的周长．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠EDO=∠FBO，∵EF垂直平分BD，∴OB=OD，在△EOD和△FOB中，∠EOD=∠FOBOD=OB∴△EOD≌△FOBASA∴BF=DE；（2）证明：由（1）知：DE=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC，∴AD−DE=BC−BF，∴AE=CF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠A=∠C∴△ABE≌△CDFSAS（3）解：∵EF垂直平分BD，∴BF=DF，∵在▱ABCD中，AB=5，AD=10，∴CD=AB=5，BC=AD=10，AB∥CD，∵△ABE≌△CDF，AE=CF，∴BE=DF，∴△DFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15，△ABE的周长也是15，①当P在AB上，Q在CD上，∵AB∥∴∠BPO=∠DQO，BP∥在△BPO和△DQO中，∠BPO=∠DQO∠POB=∠QOD∴△BPO≌△DQOAAS∴BP=DQ，∴四边形BPDQ是平行四边形，∴m+n=BP+DF+CF+CQ=DF+CF+CQ+DQ=DF+CF+CD=15；

②当P在AE上，Q在CF上，∵AD∥∴∠PEO=∠QFO，∵△EOD≌△FOB，∴OE=OF，在△PEO和△QFO中，∠PEO=∠QFOEO=FO△PEO≌△QFOASA∴PE=QF，OP=OQ，∵OB=OD，∴四边形BPDQ是平行四边形，∵AE=CF，∴AP=CQ，∴m+n=AB+AP+DF+FQ=CD+CQ+DF+FQ=DF+CF+CD=15；③当P在BE上，Q在DF上，∵AD=BC，AE=CF，∴DE=BF，∵DE∥∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF，∴∠PEO=∠QFO，在△PEO和QFO中，∠PEO=∠QFOEO=FO∴△PEO≌△QFOASA∴PE=QF，OP=OQ，∵OB=OD，∴四边形BPDQ是平行四边形，∴m+n=AB+AE+PE+DQ=CD+CF+FQ+DQ=DF+CF+CD=15，综上所述，m与n满足的数量关系为m+n=15．13．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形ABCDEF中，AB∥DE,BC∥EF,AF∥CD，

（1）探究∠A与∠D的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB=DE，则AF与CD相等吗？请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC,CE,AE，则△ACE与平行六边形ABCDEF的面积之比是．

【思路点拨】（1）连接AD，根据平行线的性质即可解决问题；（2）延长FA、CB交于点M，延长FE、CD交于点N，可得四边形MFNC为平行四边形，证明△ABM≌△DENAAS，得AM=DN（3）过点E作CD的平行线，过点C作DE的平行线，两条线交于点Q，连接AQ，可得四边形CDEQ是平行四边形，然后证明四边形ABCQ是平行四边形，四边形AQEF是平行四边形，进而可以解决问题．【解题过程】（1）解：∠A=∠D，证明：连接AD，如图1，

∵AB∥DE,AF∥CD，∴∠DAF=∠CDA,∠DAB=∠EDA，∴∠DAF+∠DAB=∠CDA+∠EDA，∴∠A=∠D；（2）解：AF=CD，理由如下：如图2，延长FA、CB交于点M，延长FE、CD交于点N，

∵BC∥EF,AF∥CD，∴四边形MFNC为平行四边形，∠F+∠N=180°,∠F+∠M=180°，∴MF=CN,∠M=∠N，由（1）得，∠BAF=∠CDE，∴∠MAB=∠NDE，∵∠M=∠N,∠MAB=∠NDE,AB=ED，∴△ABM≌△DENAAS∴AM=DN，∴AF=CD；（3）解：∵△ABM≌△DENAAS∴AM=DN,BM=EN，∴AF=CD,BC=EF，如图3，过点E作CD的平行线，过点C作DE的平行线，两条线交于点Q，连接AQ，

∴四边形CDEQ是平行四边形，∴CQ=DE，∵AB=DE,AB∥DE，∴CQ=AB,CQ∥AB，∴四边形ABCQ是平行四边形，∴AQ=BC，∵BC=EF,BC∥EF，∴AQ=EF,AQ∥EF，∴四边形AQEF是平行四边形，∴S△ACQ=平行四边形ABCQ的面积的S△ECQ=平行四边形CDEQ的面积的S△AEQ=平行四边形AQEF的面积的∴S△ACQ+S△ECQ+∴△ACE与平行六边形ABCDEF的面积之比是1:2．14．（22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，共顶点的两个三角形△ABC，△ADE，若AB=AD，AC=AE，且∠BAC+∠DAE=180°，已知AF是△ABC的中线．

（1）如图1，若△ADE为等边三角形，直接写出DE与AF的数量关系______；（2）如图2，若△ADE为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．（3）如图2，若△ADE为任意三角形时，且S△ABC=10，则

【思路点拨】（1）根据等腰三角形三线合一的性质、等边三角形的性质，结合∠BAC+∠DAE=180°，推出∠ABC=∠ACB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，即可证明DE=2AF；（2）延长AF到G，使AF=FG，连接BG，CG．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，证明四边形ABGC是平行四边形，利用SAS证△ABG≌△DAE，推出DE=AG=2AF即可；（3）结合由（2）已证四边形ABGC是平行四边形，△ABG≌△DAE，根据平行线之间的距离处处相等，同底等高则S△ABG=S△ABC，根据全等则【解题过程】（1）解：∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵AB=AD，AC=AE，∠BAC+∠DAE=180°，∴AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∵AB=AC，AF是△ABC的中线，∴AF⊥BC，∴AB=2AF，∴DE=2AF，故答案为：DE=2AF；（2）解：仍成立，理由如下，如图，延长AF到G，使AF=FG，连接BG，CG，

∵AF=FG，BF=FC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴BG=AC=AE，AC∥∴∠BAC+∠ABG=180°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠ABG=∠DAE，在△ABG和△DAE中，AB=AD∠ABG=∠DAE∴△ABG≌△DAESAS∴DE=AG=2AF；（3）解：由（2）已证四边形ABGC是平行四边形，△ABG≌△DAE，∴AB∥∴S△ABG=S∴S△ADE∵S△ABC∴S△ADE故答案为：10．15．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）（1）【问题探究】如图1，已知AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，CE可得四边形ABEC，求证：四边形（2）【拓展提升】如图2，在△ABC的中线AD上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作ME∥AB，CE∥AD，连接AE．求证：四边形ABME是平行四边形．（3）【灵活应用】如图3，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，点D是BC的中点，点M是直线AD上的动点，且ME∥AB，CE∥AD，当ME+MC取最小值时，求线段CE的长．

【思路点拨】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，利用SAS证明△ADB≌△FDC，得CF=BA，∠DCF=∠ABD，可说明四边形（3）延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，由（2）知，ME=AB=4，CE=MF,则ME+MC取最小值时，CM最小，故CM⊥AD时，CM最小，利用等面积法求出CM的长，再利用勾股定理即可求得答案．【解题过程】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵DE=AD，∴四边形ABEC是平行四边形；（2）证明：延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ADB和△FDC中，AD=DF∠ADB=∠FDC∴△ADB≌∴CF=BA，∠DCF=∠ABD，∴AB∥CF，∵AB∥ME，∴ME∥CF，∵CE∥MF，∴四边形CEMF是平行四边形，∴ME=CF，∴ME=AB，

∴四边形ABME是平行四边形；（3）解：延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，由（2）知，ME=AB=4,CE=MF，则ME+MC取最小值时，CM最小，故CM⊥AD时，CM最小，如图，

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=由勾股定理得AD=5，利用等面积法得12解得CM=12在Rt△CMF中，由勾股定理得，MF=∴CE=1616．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）△ABE和△ACF始终有公共角∠A，连接BC，EF，BE，CF相交于点O．（1）如图1，若∠ABE=∠ACF，BE=CF，求证：△ABE≌△ACF．（2）如图2，若∠ABE=∠ACF=α，且CE=CF，求∠CBE的度数（用含α的式子表示）（3）如图3，若BE=CF，过点C作CD∥AB且CD=AB，连接DO并延长交AC于点G，过点G作GH⊥CF于点H，请直接写出∠OGH与

【思路点拨】（1）利用AAS证明即可；（2）过点C作CM⊥BE于M，作CN⊥AB的延长线于N，证明△CNF≌△CMEAAS，根据全等三角形的性质得到CN=CM，根据角平分线的判定得到∠EBC=∠NBC（3）连接BD，DE，DF，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥CF交FC的延长线于点N，证明四边形ABDC为平行四边形，根据平行四边形的性质得到S△CDF=S△BDE，根据三角形面积公式得到DM=DN，根据角平分线的判定得到DO平分∠BOC，得到∠BOD=∠COD=12∠BOC【解题过程】（1）证明：在△ABE和△ACF中，∠A=∠A∠ABE=∠ACF∴△ABE≌△ACFAAS（2）解：过点C作CM⊥BE于M，作CN⊥AB的延长线于N，∵∠BOC=∠BFC+∠ABE=∠BEC+∠ACF，∠ABE=∠ACF∴∠BFC=∠BEC，即∠NFC=∠MEC∵CM⊥BE，CN⊥AB，∴∠CNF=∠CME=90°，在△CNF和△CME中，∠CNF=∠CME∠NFC=∠MEC∴△CNF≌△CMEAAS∴CN=CM，又∵CM⊥BE，CN⊥AB，∴BC平分∠EBN，∴∠EBC=∠NBC，∵∠ABE=α，∠ABE+∠EBC+∠NBC=180°，∴∠EBC=180°−α∴∠CBE的度数为90°−α（3）∠OGH与∠COE的关系为：∠COE=2∠OGH．理由如下：连接BD，DE，DF，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥CF交FC的延长线于点N，∵CD∥AB，∴四边形ABDC为平行四边形，∴AC∥∴S△CDF=1∴S△CDF∵S△CDF=12×CF×DN∴DM=DN，∵DM⊥BO，DN⊥CO，∴DO平分∠BOC，∴∠BOD=∠COD=1∵GH⊥CF，∴∠GHO=90°，∴∠OGH+∠GOH=90°，∴2∠OGH+2∠GOH=180°，∵∠GOH=∠DOC，∴2∠GOH=∠COD+∠BOD，∴2∠OGH+∠DOC+∠BOD=180°，∵∠COE+∠DOC+∠BOD=180°，∴∠COE=2∠OGH．17．（2023·陕西西安·一模）问题提出（1）如图①，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE=CD，连接BD，CE．则BD与CE长度的大小关系是BD_________CE（填“＞”“＜”或“＝”；）问题探究（2）如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，若AE=EF，AC=8，求线段BF的长；问题解决（3）党的二十大报告提出全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，某地区规划出如图③所示的四边形ABCD地块，计划开发出一个生态宜居，绿色人文的农业观光区，其中AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAD=120°，点E是BC上的一个休息站，CE=AB，AE是一条林荫小道．为使游客方便参观，现要修建木制栈道BP与玻璃栈道AC，点P是AE的中点．已知木制栈道每米的造价是a元，玻璃栈道每米的造价是3a元，请问修建玻璃栈道的总费用是修建木制栈道总费用的几倍？并说明理由．

【思路点拨】（1）根据△ABC是等腰三角形即可得到AB=AC，结合BE=CD可得AD=AE，即可得到答案；（2）延长FD至G使DG=DF，根据AD是△ABC的中线可得BD=CD，即可得到△BDF≌△CDG，即可得到BF=CG，∠BFD=∠CGD，结合AE=EF可得∠EAF=∠AFE，即可得到答案；（3）延长BP交AD于F，连接EF，CF，根据AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAD=120°即可得到∠ABE=60°，AD∥BC，即可得到∠FAE=∠BEA，从而得到△APF≌△EPB，得到AF=BE，即可得到四边形ABEF是平行四边形，从而得到AB=EF，∠ABE=∠AFE=60°，AB∥EF，即可得到∠ABE=∠FEC=60°，即可得到△EFC是等边三角形，得到FC=FE=EC，易得△ABC≌△FCB，即可得到答案；【解题过程】（1）解：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∴AD=AE，在△ABD与△ACE中，∵AB=AC∠A=∠A∴△ABD≌△ACE(SAS∴BD=CE；（2）解：延长FD至G使DG=DF，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△BDF与△CDG中，∵BD=CD∠BDF=∠CDG∴△BDF≌△CDG，∴BF=CG，∠BFD=∠CGD，∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE，∴∠CAG=∠CGA，∴AC=GC，∵AC=8，∴BF=8；（3）延长BP交AD于F，连接EF，CF，修建玻璃栈道的总费用是修建木制栈道总费用的6倍，理由如下：∵AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAD=120°，∴∠ABE=60°，AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，∵点P是AE的中点，在△APF与△EPB中，∵∠FAE=∠BEA∠FPA=∠BPE∴△APF≌△EPB(AAS∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AB=EF，∠ABE=∠AFE=60°，AB∥EF，BP=1∴∠ABE=∠FEC=60°，∵CE=AB，∴EF=CE，∴△EFC是等边三角形，∴FC=FE=EC=AB，∠EFC=60°，∴∠DFC=∠FCE=60°，∴∠ABC=∠FCB，在△ABC与△FCB中，∵AB=FC∠ABC=∠FCB∴△ABC≌△FCB(AAS∴BF=AC，∴BP=1∵木制栈道每米的造价是a元，玻璃栈道每米的造价是3a元，∴BP的造价是：BP⋅a，AC的造价是AC⋅3a，∴BP⋅aAC⋅3a∴修建玻璃栈道的总费用是修建木制栈道总费用的6倍．18．（2023·河南开封·一模）在△ABC中，点D是边BC的中点．（1）如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，可得出△BDE≌△CDA，其依据是______．（填序号）①SSS

②SAS

③AAS

④ASA

⑤HL（2）如图②，在边AB上任取点E，（不与A、B两点重合）连接DE，并延长ED到点F，使DF=DE．连接CF、CE、BF，在图②中画出相应的图形，并观察四边形EBFC是特殊的四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由．（3）如图③，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=90°，点E为平面内一点，EB=3，将线段EB绕点E顺时针旋转90°得EF，点D为FC中点，当EF∥AC时，请求出

【思路点拨】（1）已知点D是边BC的中点，得到BD=CD，由对顶角∠ADC=∠EDB，再结合DE=AD，根据两个三角形全等的判定定理，利用SAS即可得到△BDE≌△CDA，即可得到得到答案；（2）根据题意作出图形，由平行四边形的判定定理可知四边形EBFC平行四边形；根据题意，分两种情况①E在线段AB上；②E在线段AB延长线上；由平行四边形的判定与性质，结合勾股定理即可得到答案．【解题过程】解：（1）∵点D是边BC的中点，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD∠ADC=∠EDB∴△BDE≌△CDASAS故选：②；（2）如图1所示：四边形EBFC平行四边形，理由如下：∵DE=DF，∴四边形EBFC是平行四边形．（3）根据题意，分两种情况：①E在线段AB上；②E在线段AB延长线上；①延长AD到点G，使DG=AD，连接AF，∵DG=AD，∴四边形AFGC是平行四边形，∴FG∥AC，∵FG∥AC，EF∥AC，∴F、E、G三点在同一条直线上，∴FG=AC=5，∵AB=AC=5，∴AE=5−3=2，在Rt△AEG中，EA=EG=2，由勾股定理得AG=2∴DG=AD=1②延长AD到点G，使DG=AD，连接AF，同理，由①可知，∵DG=AD，∴四边形AFGC是平行四边形，∴FG∥AC，∵FG∥AC，EF∥AC，∴E、F、G三点在同一条直线上，∴FG=AC=5，∵AB=AC=5，∴AE=5+3=8，在Rt△AEG中，EA=EG=8，由勾股定理得AG=8∴DG=AD=1综上所述，AD的长为42和219．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）在△ABC