2024年中考数学一轮复习特殊平行四边形过关检测（含答案）

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专题22特殊平行四边形过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1.如图，要使平行四边形/BCD成为矩形，需要添加的条件是（）

A./ABD=NCBDB.ZABC=90°C.ACLBDD.AB=BC

【答案】B

【解答】解：/、：四边形/BCD是平行四边形,

：.AB//CD,

：.ZABD=ZBDC,

,：ZABD=ZCBD,

：.ZBDC=ZCBD,

：.BC=CD,

四边形是菱形，不能推出四边形/BCD是矩形，故本选项错误，不符合题意；

B、；/48。=90°,

平行四边形/BCD是矩形，故本选项正确，符合题意；

C、：四边形/BCD是平行四边形，

.•.当时四边形/BCD是菱形，故本选项错误，不符合题意；

。、根据和平行四边形A8O）不能得出四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意，不

符合题意；

故选：B.

C

A.12B.16C.20D.24

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【答案】B

【解答】解：：£、尸分别是/8、4c的中点，

斯是△ZBC的中位线，

:.BC=2EF=4,

，菱形的周长为：4X4=16；

故选：B.

3.如图，已知某广场菱形花坛N8CD的周长是24米，ZBAD=60°,则花坛对角线NC的长等于（）

A.6>/§米B.6米C.3娟米D.3米

【答案】A

【解答】解：如图，记NC与AD的交点为。.

•••四边形/5CZ）是菱形，且周长为24米，

：.AC±BD,AC=2OA,ZCAD=^ZBAD=-30°,/。=6米.

2

"：AB=AD,ZABD=60°,

...△48。是等边三角形，

:.BD=AB=AD=6米，

：.OB=OD=3米，

又；ACLBD,

•*-OA=VAD2-OD2=3禽（米），

•••AC=20A=6V3（米）.

故选：A.

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4.如图，若菱形"BCD的顶点/、3的坐标分别为（3,0）、（-2,0）,点。在y轴上，则点C的坐标是

【答案】A

【解答】解：•••菱形N8CZ）的顶点4,8的坐标分别为（3,0）,（-2,0）,点。在y轴上,

；.4B=3-（-2）=5,AB//CD,AD=CD=AB=5,

即CZ）〃x轴，

在Rt/X/OD中，

由勾股定理得：0D=个人口2卜2=个52.33=4,

...点C的坐标是：（-5,4）.

5.如图，矩形/BCD的对角线NC,8。相交于点O,过点。作。EL/C交/。于£,若45=4,BC=8,

则/£的长为（）

C.5D.2^/10

【答案】C

【解答】解：如图，连接CE,

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在矩形ABCD中，

"：AB=4,8c=8,

：.AD=BC=8,CD=AB=4,OA^OC,

\'OELAC,

：.OE垂直平分AC,

:.AE=CE,

设/E=CE=x,则£>E=8-x,

在RtZ\C£)£中，CD2+DE2^CE2,

即42+(8-x)2=3

解得x=5,

即AE的长为5.

故选：C.

6.如图，在边长为6的正方形/BCD内作/£/尸=45°,4E交BC于点、E,AF交CD于点、F,连接ER若

DF=3,则BE的长为()

A

B

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解答】解；如图，把绕/顺时针旋转90°得到△48G,

/.4ADF空AABG,

：.ZADF=NABG=ZABE=90°,

ZABG+ZABE^1SO0,

；.G、B、E三点共线，

：.DF=BG,NDAF=NBAG,

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VZDAB=90°,ZEAF=45°,

AZDAF+ZEAB=45°,

：・NBAG+NEAB=45°,

:.ZEAF=ZEAG,

在AE4G和△口月中，

'AG二AF

-ZEAG=ZEAF>

tAE=AE

:6EAG会LEAF(SAS),

：.GE=FE,

设BE=x,

,:CD=6,DF=3,

：.CF=3,

贝ijGE=BG+BE=3+x,CE=6-x,

.9.EF=3+x,

VZC=90°,

(6-x)2+32=(3+x)2,

解得，x=2,

...BE的长为2.

故选：A.

7.如图，在正方形/BCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC=8,CE=4,〃是/尸的中点，那么S

的长为（)

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C.477D.2小

【答案】B

【解答】解：连接/C、CF,如图:

.四边形4BCD和四边形CEFG是正方形,

ZACG=45°,ZFCG=45a,

广=90°,

\'BC=8,CE=4,

：.AC=S42,CF=4近,

由勾股定理得，AF=N160=4>/TU，

是/尸的中点，ZACF=90°,

:.CH=LF=2y/~^,

2

故选：B.

8.如图，四边形N3CD是正方形，延长到点E,使/£=/C,则N3CE的度数是（）

A.62.5°B.45°C.32.5°D.22.5°

【答案】D

【解答】解：二•四边形N8C。是正方形，

：.AB=CB,ZABC=90°,

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AABAC=ZBCA=45°,

*：AE=AC,

：./E=/ACE,

VZE+Z^CE=180°-45°=135°,

：.2ZACE=135°,

:・/ACE=675°,

:・/BCE=67.5°-45°=22.5°,

...NBCE的度数是22.5°,

故选：D.

9.如图，在菱形/BCD中，对角线NC,8。相交于点。，点M,N分别是边NO,CD的中点，连接MN,

【答案】D

【解答】解：；点/，N分别是边C。的中点，

；.MN是LACD的中位线，

:.AC=2MN=2X3=6,

•.,四边形N3C。是菱形，S菱形相“=24,

：.OA=OC=^4C=3,OB=OD,AC±BD,Lc・8D=24,

22

即JLX6X8O=24,

2

:.BD=8,

：.OD=1.BD=4,

2

在Rt^OCD中，由勾股定理得：8=4℃2刈1)2r呼+隹2=5,

:点”是ND的中点，OA=OC,

：.OM是△/CD的中位线，

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：.OM=1JCD=2.5,

2

故选：D.

10.如图，在矩形N2CD中，对角线NC、3。相交于点O,/2。。=120°,AM//BD,DM//AC,若四边

形的周长为12,则3C的长为（）

A.3B.6C.372D.373

【答案】D

【解答】解：:在矩形/BCD中，对角线/C、AD相交于点。，ZBOC=120°,

：.AC=BD,ZAOB=60°,

;矩形对角线相互平分，

：.OA=OB=OC=OD,△/。8是等边三角形，

/.AB=OA=OB=OC=OD

二在RtZUBC中，N5/C=60°,BC=V3AB-

'JAM//BD,DM//AC,

...四边形/ODM是平行四边形,

'JOA^OD,

四边形是菱形，

/.OA=OD=DM=AM,

••,菱形河的周长为12,

：.AB=3,

BC=EAB=3通，

故选：D.

二、填空题（本题共6题，每小题2分，共12分）。

11.如图，点尸是正方形48co的对角线NC上的一点，PEUD于点E,PE=3.则点P到直线48的距

离为3.

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【答案】3.

【解答】解：解法一：过点尸作PF±AB于点凡

•.•四边形/BCD为正方形，

平分

5L'：PELAD,PFLAB,

:.PE=PF=3,

.•.点P到直线N3的距离为3.

解法二：过点尸作尸尸，48于点尸,

;四边形48CD为正方形，

：.AB=BC=CD=AD,/DAB=NB=NBCD=ND=90°,

/.ZPAE=45°,

...△/£尸为等腰直角三角形，AE=PE=3,

"JPELAD,PFLAB,

/.ZFAE=ZAEP=ZAFP=90°,

又,：AE=PE,

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二四边形ZEPE为正方形，

：.AE=PF=3,

点尸到直线N3的距离为3.

故答案为：3.

12.如图，在正方形N8CL（中，AE平分NBAC交BC于点、E,点尸是边48上一点，连接。尸，若BE=

AF,则NCD尸的度数为67.5°.

A

F

B

【答案】67.5°.

【解答】解：:四边形/BCD是正方形，

：.AD=BA,ZDAF=ZABE=90°,

在尸和△48E中，

'AD=BA

-ZDAF=ZABE>

,AF=BE

:.LDAF4AABE(WS),

ZADF=/BAE,

YNE平分/B/C,四边形/8CZ)是正方形，

:.NBAE=L/BAC=225°,ZADC=90°,

2

：.ZADF=22.5°,

AZCDF=ZADC-ZADF^90°-22.5°=67.5°,

故答案为：67.5°.

13.如图：在矩形/BCD中，AB=4,BC=8,对角线/C、2。相交于点。，过点。作。E垂直/C交

于点E,则DE的长是3.

BC

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【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，连接CE,

设DE=无，则ZE=8-x,

-JOELAC,且点。是/C的中点,

.♦.OE是ZC的垂直平分线，

CE—AE—S-x,

在RtZXCDE中，

^+42=(8-x)2

解得x=3,

的长是3.

故答案为：3.

14.如图，矩形N3CZ）中，AC.BD交于点、O,AE平分NBAD交BC于E,ZCAE=15°,连接。£.下列

结论：

①△ODC是等边三角形；

②CD=BE；

③BC=2AB；

④SMOE=SACOE.其中正确的有①②⑷（填序号）.

【答案】①②④.

【解答】解：：在矩形48co中，ZBAD=90°,AE平分NBAD,

•'•ZBAE=yZBAD=45°，OA=OB=OC=OD,

'：ZCAE=15°,

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/.ZBAO=ZBAE+ZCAE=450+15°=60°,

又・；OA=OB,

.♦.△048是等边三角形，

；./COD=NAOB=60°,

又：OC=。。，

△o〃c是等边三角形，故①正确；

:在矩形/3C。中，ZABE=90°,AB=CD,

又；/BAE=45°,

：./\ABE是等腰直角三角形，

：.BE=AB,

；,CD=BE,故②正确；

,.•△048是等边三角形，

：.AB=OA,

又：CM=OC,

：.AC=2AB,

"：BC<AC,

：.BC<2AB,故③错误；

AAOE和△COE的底边CM=OC,点E到AC的距离相等，

:•s”OE=SACOE，故④正确；

综上所述，正确的结论是①②④，

故答案为：①②④.

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形CM5C的顶点/、C的坐标分别为（30,0）（0,12）,点。是04

的中点，点尸在8c上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点尸的坐标为（9,12）或

【答案】(9,12)或(6,12)或(24,12).

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【解答】解：由题意，当△OD尸是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况:

在RtzXPDE中，由勾股定理得：^=7PD2-PE2=V152-122=9,

：.OE=OD-DE=15-9=6,

...此时点尸坐标为（6,12）；

在Rt△尸OE中，由勾股定理得：0P2_「、2=']52_]22=9,

...此时点尸坐标为(9,12)；

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在RtZXPOE中，由勾股定理得：£>^=VPD2-PE2=V152-122=9,

，OE=OD+DE=15+9=24,

,此时点尸坐标为(24,12).

综上所述，点P的坐标为：(9,12)或(6,12)或(24,12)；

故答案为：(9,12)或(6,12)或(24,12).

16.如图，正方形/BCD的边长为6,对角线/C,2D交于点。，点E在边CD上，连接/E,在4E上取

点尸，连接。尸，若NDOF+/4ED=9G°,tan/C4E=」，则。下的长为一旦叵

2—5―

【解答】解：设NE与2。相交于点〃，如图所示:

•..四边形A8C。为正方形，

J.ACLBD,

：.ZAOH^90°,

在Rt/\AOH中,

,tan/CAE而，

••-O-H=--1,

A02

；AC=VAB2+BC2=^62+62=6^2)

•*-A0-1AC=3V2>

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.'OH考，

根据勾股定理可得：AHWAO2+OH2='，

VZDOF+ZAED=90°,

又；/EAD+N4ED=9Q°,

NDOF=ZEAD,

"：ZOHF=NAHD,

:.△OHFs4AHD,

•OHAH

•而记

啦3V10

即-2_g

OF6

.ch胞

,•0F=「，

b

故答案为：迈.

5

三、解答题（本题共7题，共58分）。

17.（8分）如图，在口N8CD中，DE平分/ADB,交于点£,BF平济NCBD,交CD于点、F.

（1）求证：DE=BF；

（2）若4D=BD,求证：四边形。£8尸是矩形.

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）证明：：四边形N8CD是平行四边形,

J.AD//BC,AB//CD,

：.AADB=ZCBD,

:DE平分/ADB,BF平分/CBD,

：.NEDB=XZADB,NDBF=AzCBD,

22

NEDB=/DBF,

：.DE//BF,

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又,：AB//CD,

四边形DEBF是平行四边形.

：.DE=BF.

⑵"：AD^BD,DE平分NADB,

：.DE±AB,

又；四边形DEBF是平行四边形，

四边形DE8尸是矩形.

18.(8分)如图，在中，点£在的延长线上，MCE=BC,AE=AB,AE、DC相交于点O,

连接DE.

(1)求证：四边形NCED是矩形；

(2)若//。。=120°,NC=4,求对角线CD的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：：四边形N2CD是平行四边形,

J.AD//BC,AD=BC,AB=DC,

VCE=BC,

；.AD=CE,AD//CE,

...四边形/CEO是平行四边形，

"：AB=DC,AE=AB,

；.AE=DC,

...四边形/CEO是矩形；

(2)•..四边形/CED是矩形，

:.OA=LAE,OC=1JCD,AE=CD,

22

：.OA=OC,

VZAOC^1800-NNOD=180°-120°=60°,

...△/OC是等边三角形,

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：.OC=AC=4,

：.CD=S.

19.(8分)在中，ZBAC=90°,。是5C的中点，过点4作/£〃5C,且AE=BD,连结C£.

(1)证明：四边形4DCE是菱形；

(2)若NC=6,AB=8,求菱形ZDCE的面积.

【答案】(1)证明过程见解答；

(2)24.

【解答】(1)证明：：/R4C=90°,且。是2C中点，

：.AD=1.BC,BD=CD=1.BC,

22

"：AE=BD,

；.4E=DC,

'：AE//DC,

四边形ADCE是平行四边形，

'：AD=DC,

•••平行四边形/OCE是菱形；

(2)解：♦.•平行四边形/DCE是菱形，

•e•S"DC=S"EC，

・・・。是5C的中点，

•,S/\ADC=S”BD9

二菱形NDCE的面积=三角形/BC的面积=工X6X8=24.

22

20.(8分)如图，在△NBC中，ZABC^90°,AD为△/8C的中线.BE//DC,BE=DC,连接CE.

(1)求证：四边形8DCE为菱形；

(2)连接。E,若N/C5=60°,3c=4,求。E的长.

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【答案】见试题解答内容

【解答】（1）证明：'JBE//AC,BE=DC,

四边形BDCE为平行四边形，

VZABC=9Q°,8。为NC边上的中线，

.1

••BD=CD=yAO

...四边形瓦）CE为菱形；

,四边形ADCE为菱形，BC=4,

•••0C寺c=2,ZCOD=90°,DE=2DG

ZACB=60°,

；./EDC=90°-/ACB=30°,

.,.OC=20C=4,。。=百0c=2«,

•••DE=2D0=4V3.

21.（8分）如图，已知四边形是正方形48=上后，点E为对角线/C上一动点，连接过点E

作EF_LDE,交射线8c于点R以DE,所为邻边作矩形。EFG,连CG.

（1）求证：DE=EF；

（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由;

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【答案】（1）见解析；（2）4.

【解答】（1）证明：如图，作EML8C,EN±CD

:./MEN=90°，

,/点E是正方形ABCD对角线上的点,

：.EM=EN,

■:NDEF=90°,

：.ZDEN=ZMEF,

在△£>£■双和△庄”中，

rZDNE=ZFME

•EN=EM，

1ZDEN=ZFEM

ADEN"/\FEM(ASA),

：.EF=DE.

(2)解：CE+CG的值是定值，定值为4.

理由：'：EF=DE.

•..四边形。EFG是矩形，

二矩形DEFG是正方形；

;四边形48CD是正方形，

：.DE=DG,AD=DC,

ZCDG+ZCDE=ZADE+ZCDE=90°,

：.ZCDG=ZADE,

:.LADE%ACDG(SAS),

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：.AE=CG.

：.CE+CG=CE+AE=AC=42AB=42X2V2=4.

22.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD//BC,N2=90°,AB=8cm,AD20cm,BC=24cm,P、Q

分别从/、C同时出发，向。，8运动.当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动.

(1)如果尸、°的速度分别为Ic/w/s和3CH/S.运动时间为，秒，贝卜为何值时，PQ=DC.并说明理

由.

(2)如果P的速度为1c加/s,其他条件不变，要使四边形NPQ8是矩形，且矩形的长宽之比为2：1,

求。点运动的速度.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1中，作。女，2c于则四边形N3/TO是矩形.

：.