高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：32 离散型随机变量的数字特征（学生版+解析版）

专题32离散型随机变量的数字特征

一、单选题

1.（2020•尤溪县第五中学高一期末）若一组数据占，尤2,七，…，x”的平均数为2,方差为3,则2%+5,

2x,+5,2七+5,…，2x“+5的平均数和方差分别是（）

A.9,11B.4,11C.9,12D.4,17

2.（2020.海林市朝鲜族中学高二期末（理））若随机变量X的分布列如下表，则E（X）=（）

X012345

P2x3x7x2x3xX

3.（2020.浙江宁波高二期末）己知随机变量J的取值为=若P（J=0）=g,=则

。（24-3）=（

2

A.-

5

4.（2020•广东东莞高二期末）随机变量X的分布列如下表所示，则£（2X-1）=（）

X-2-11

J.

pa

63

1

5.（2020.渝中重庆巴蜀中学高二期末）随机变量X的取值范围为0,1,2,若P（X=0）=LE（X）=1,

4

则。（X）=（

1R四

A.-D.----

4

6.（2020•浙江西湖学军中学高三其他）设0＜p＜g,随机变量J的分布如下表所示，则当〃在（0,3）内

增大时，（）

J012

p1-2〃PP

A.£（»先减少后增大B.E（J）先增大后减少

C.0（3先减小后增大D.。（为先增大后减小

7.（2020•西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））设0＜。＜1,则随机变量X的分布列是:

X0a1

P£

J33

则当。在（0,1）内增大时（）

A.Q（X）增大B.£）（X）减小

c.。（X）先增大后减小D.£＞（x）先减小后增大

8.（2020.浙江海曙效实中学高三其他）盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取i（i=l,2）个

球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为X,（i=l,2）,则（）

A.P（X,=2）＞P（X2=2）,E（X,）＞E（X2）

B.P（X,=2）＜P（X2=2）,E（X,）＞E（X2）

C.P（X,=2）＞P（X2=2）,E（X,）＜E（X2）

D.P（X,=2）＜P（X2=2）,£（%,）＜£（%2）

二、多选题

9.（2020•江苏海陵泰州中学高二月考）若随机变量X服从两点分布，其中尸（X=0）=g,E（X）、D（X）

分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）

A.P（X=l）=E（X）B.E（3X+2）=4

4

C.D（3X+2）=4D.r＞（X）=-

10.（2020.海南海口高三其他）小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有

所变化，其概率分布如下表所示：

所需时间（分钟）30405060

线路一0.50.20.20.1

线路二0.30.50.10.1

则下列说法正确的是（）

A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟''与"所需时间为60分钟''是对立事件

B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

11.（2020.山东潍坊高二期中）设离散型随机变量X的分布列为

X01245

Pq0.30.20.20.1

若离散型随机变量y满足y=2x+i,则下列结果正确的有（）

A.E（X）=2B.£＞（%）=2.4C.D（X）=2.8D.£＞（7）=14

12.（202。福建城厢莆田一中高二期中）（多选）设随机变量J的分布列如下，则下列结论正确

的有（）

0012

2

Pp-p2l-p

A.E（C）随着。的增大而增大B.E（二）随着。的增大而减小

c.P（4=0）<P（?=2）D.P（?=2）的值最大

三、填空题

13.（2020•黑龙江南岗哈师大附中高三其他（理））已知随机变量X的分布列为

X012

£

pab

3

若E（X）=1,则E（aX+b）=.

14.（2020.江西高一期末）数据修，x2,人的均值为I"，方差为2,现增加一个数据天后方差不变，

则工9的可能取值为.

15.（2020•重庆高三其他（理））甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、

乙完成任务的概率分别为0.7,0.8,且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人

数为X,则EX=.

16.（2020•浙江竦州高三三模）已知0<4<,，0</?<-,随机变量X的分布列是：

22

X012

J_

pab

2

9

若E（X）=§,则。=,D（X）=.

四、解答题

17.（2019•全国高二课时练习）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量&与％且&,11

的分布列为

（2）计算匕,n的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.

18.（2020.大连市普兰店区第一中学高二月考）某人投弹击中目标的概率为P=0.?.

（1）求投弹一次，击中次数X的均值和方差；

（2）求重复投弹10次，击中次数y的均值和方差.

19.（2018•江西九江高二期末（理））某运动员射击一次所得环数X的分布列如下:

X8910

P0.40.40.2

现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为久

（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；

（2）求&的分布列和数学期望

20.甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化

测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.已知甲，乙两人

3134

审核过关的概率分别为审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为

（1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；

（2）设J表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求J的数学期望.

21.(2020•全国高三(理))在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在

3

B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为一，命中一次记3

4

4

分，没有命中得0分；在B点命中的概率为二，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量J表示该

选手一次投篮测试的累计得分，如果&的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但

一次测试最多投篮3次.

(1)若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分J的分布列和数学期望.

(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.

22.袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜

色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量《为此时已摸球的次数，求：.

(1)随机变量€的概率分布列；

(2)随机变量J的数学期望与方差.

专题32离散型随机变量的数字特征

一、单选题

1.（2020•尤溪县第五中学高一期末）若一组数据占，/，x3,x“的平均数为2,方差为3,贝iJ2%+5,

2七+5,2毛+5,…，2%+5的平均数和方差分别是（）

A.9,11B.4,11C.9,12D.4,17

【答案】C

【解析】

由题E(x)=2,O(x)=3,则E(2x+5)=2E(x)+5=9,D(2x+5=22D(x)=12.

故选：C

2.（2020.海林市朝鲜族中学高二期末（理））若随机变量X的分布列如下表，则E（X）=（）

X012345

P2x3x7x2x3xX

【答案】D

【解析】

2x+3x+7x+2x+3x+x=1.'.x=—,E(X)=3x+14x+6x+12x+5x-40x=—

189

3.(2020.浙江宁波高二期末)已知随机变量J的取值为*z.=0,l,2)^P(g=0)=g,E(^)=l,则

。(24-3)=()

248

A.-B.-C.一

555

【答案】c

【解析】

14

由题意，设2偿=1)=乙则P管=2)=l_g_p=g_p,

乂E(J)=0x；+lxp+2([-p)=l,解得p=|,

31

所以P传=1)=丁P(J=2)=不

^^(^)=1(1-0)2+|(1-1)2+1(1-2)2=|,

Q

所以。(24-3)=4。偌)=’

故选：C.

4.(202。广东东莞高二期末)随机变量X的分布列如下表所示，则£(2X-1)=()

X-2-11

2

Pa

63

1

【解析】

由随机变量的分布列的性质，可得!+“+?=1,解得。=?，

632

则七(X)=_2X，+(_1)X』+1XL」,

6232

所以E(2X-l)=2E(X)-l=2x(-g)—l=-2.

故选：D.

5.(2020•渝中重庆巴蜀中学高二期末)随机变量X的取值范围为0,1,2,若P(X=0)=3£(X)=1

4

则D(X)=()

【答案】C

【解析】设P(X=1)=〃，P(X=2)=q,

山题意，E(X)=0x—Fp+2q=1,[I.—p+q=\,

44

解得P=—.q=：，

二0(X)=：(0-+g(1-1了+；(2-1产,

故选：C.

6.（2020•浙江西湖学军中学高三其他）设0<p<g,随机变量J的分布如下表所示，则当P在（0,；）内

增大时，（）

4012

P1-2/?PP

A.£（《）先减少后增大B.石（自）先增大后减少

C.0（。）先减小后增大D.0（4）先增大后减小

【答案】D

【解析】

由期望公式，得£偌）=3〃，在（0,£）内一直增大.

由方差公式，得。（4）=（3〃—Opx（l—2〃）+（3〃—厅x〃+（3p—2）2x〃=—9p2+5p.为开口向下，对

称轴P=K；的抛物线，在（0，；）内，先增大后减少，

故当〃在（0,；）内增大时0（4先增大后减少.

故选:D.

7.（2020.西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））设0<。<1,则随机变量X的分布列是：

X0a1

P工£\

133

则当。在（0,1）内增大时（）

A.D（X）增大B.£）（X）减小

c.o（x）先增大后减小D.O（X）先减小后增大

【答案】D

【解析】

方法I：由分布列得E（X）=（,贝ij

八丫1（1+aYi/iVi2（1?1皿业门

£>（X）=|-------0x—+--------ax—+--+--a----1x—=—a——+—，则当。在（0/）内增大时,

（3J3I3J3I31391216

O(X)先减小后增大.

22

,…、厂/“2\…、ca1(a+l)22a-2a+22(1Y3

方法2：则0(X)=E(X-)-E(X)=0+R+[----------=-------------=-a~~+-

JJyy\1J4

故选D.

8.(2020•浙江海曙效实中学高三其他)盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取i(i=1,2)个

球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为X,(j=l,2),则()

A.P(X1=2)>P"2=2),E(XJ>E(X2)

B.P（XI=2）＜P（X2=2）,E（Xj＞E（X2）

C.P（X1=2）＞P（X2=2）,E（X,）＜E（X2）

D.P（X|=2）＜P（X2=2）,E（XI）＜E（X2）

【答案】C

【解析】

P（X|=2）=*|，尸⑶=2）哈!<―）,

cx3ia

・

••汽乂=3）=百=’E（xt）=y.

•••P（”2）q,尸（XL3）=哭^2=4）=f=A

E（X2）=y＞£（%,）.

故选：c.

二、多选题

9.(2020-江苏海陵泰州中学高二月考)若随机变量X服从两点分布，其中尸(X=0)=；,E(X)、D(X)

分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

4

C.D(3X+2)=4D.£>(X)=-

【答案】AB

【解析】随机变量x服从两点分布，其中p(x=o)=g,

2

：.P(X=l)=一，

3

122

E(X)=0x—F1x—=—,

333

21222

D(X)--(0一一)2x-+(1一一)2x-=-,

33339

在<4中，P(X=l)=E(X),故A正确；

2

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x—+2=4,故B正确；

3

2

在C中，D(3X+2)=9。(X)=9x—=2,故C错误；

9

在。中，£>(X)=-,故。错误.

9

故选：AB.

10.(2020.海南海口高三其他)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有

所变化，其概率分布如下表所示：

所需时间(分钟)30405060

线路一0.50.20.20.1

线路二0.30.50.10.1

则下列说法正确的是()

A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件

B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

【答案】BD

【解析】

对于选项A，”所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；

对于选项8,线路一所需的平均时间为30x0.5+40x0.2+50x0.2+69x0.1=39分钟，

线路.所需的平均时间为30x0.3+40x0.5+5（）x0.1+60x0.1=40分钟，

所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；

对于选项C,线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8,小张

应该选线路二，所以选项C错误；

对于选项。，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为（50,60）,（60,50）和（6（）,60）

三种情况，概率为0.2x0.1+0.1x0.1+0.1x0.1=0.04，所以选项D正确.

故选：BD.

11.（2020•山东潍坊高二期中）设离散型随机变量X的分布列为

X01245

pq0.30.20.20.1

若离散型随机变量y满足y=2x+i,则下列结果正确的有（）

A.E（X）=2B.A（X）=2.4C.D（X）=2.8D.£＞（7）=14

【答案】AC

【解析】

由离散型随机变量X的分布列的性质得：

^=1-0.3-0.2-0.2-0.1=0.2,

则£（X）=0x0.2+1x0.3+2x0.2+4x0.24-5x0.1=2,

D（X）=（0-2『x0.2+（l-x（）.3+（2-2『x0.2+（4-2）2x0.2+（5-2）2xO.l,

即Z）（X）=0.8+0.3+0+0.8+0.9=2.8,

因为离散型随机变量丫满足y=2X+i,

£）（y）=22£＞（r）=4£＞（y）=4x2.8=11.2.

故结果正确的有AC.

12.（2020•福建城厢莆田一中高二期中）（多选）设0＜。＜1,随机变量J的分布列如下，则下列结论正确

的有（）

c012

pp-p2p-l-p

A.石（4）随着。的增大而增大B.七（二）随着。的增大而减小

C.P（7=0）＜P（S=2）D.P（7=2）的值最大

【答案】BC

【解析】由题意E（G=〃2+2（1--1）2+1,由于0＜夕＜1,所以E4）随着P的增大而减小，A

错，B正确；

31391

又p—p?=p（l_p）＜]_p,所以C正确；p=一时，P（4=2）=一，而尸==＞=—＞—,D

444164

错.

故选：BC.

三、填空题

13.（2020•黑龙江南岗哈师大附中高三其他（理））已知随机变量X的分布列为

X012

pab

3

若E（X）=1,则£（aX+〃）=.

2

【答案】-

3

【解析】

2

由概率分布列知。+匕=一.

3

2

E（aX+b）=aE（X）+b=a+b^~.

公式：E(aX+b)-aE(X)+b.

14.(2020•江西高一期末)数据/，马，…，丸的均值为方差为2,现增加一个数据为后方差不变，

则苞的可能取值为.

【答案】—H-^2或—

22

【解析】

故C+••・+[-1)=16,

得：［％一1)=2,解得：/=|土正，

故答案为：—或—V2.

22

15.(2020•重庆高三其他(理))甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、

乙完成任务的概率分别为0.7,0.8,且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人

数为X，则EX=.

【答案】1.5(或▲)

2

【解析】

X的可能取值为0,1，2,且。”=0)=(1-0.8)(1-0.7)=0.06,

p(X=1)=(1-().8)x0.7+0.8x(1-().7)=0.38,P(X=2)=0.8x0.7=0.56,

故£¥=1x0.38+2x0.56=15

,3

故答案为：1.5(或一).

2

16.（2020•浙江嵯州高三三模）己知0<Z?<-,随机变量X的分布列是:

22

X012

pab

2

2

若E（X）=§,则。=,D（X）=.

【答案】||

【解析】

b+-^l

a+2

21

E(X)=a+2〃a--

33

由题意可得，,解得《

c1

0<Q<一b=-

26

2

2

112丫1

因此，o（x）0——Ix—+1—xL2二

323)33169

5

故答案为：—

39

四、解答题

17.（2019•全国高二课时练习）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量&与％且&，n

的分布列为

自：L2一3-T|

PLaO.10.6p0.3t)0.3

（1）求a,b的值.

（2）计算《力的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.

【答案】（1）。=0.3,。=0.4；（2）见解析

【解析】

⑴由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=l,

所以a=0.3.

同理0.3+b+0.3=l,b=0.4.

⑵叱=1xO.3+2xO.l+3xO.6=2.3,

Er)=lx0.3+2x0.4+3x0.3=2,

D&=(1-2.3)2x0.3+(223)2x0.1+(3-2.3)2x0.6=0.81,

Dr|=(1-2)2x0.3+(2-2)2x0.4+(3-2)2x0.3=0.6.

由于E夕En，说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高，但DOD1],说明中得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人

技术水平都不够全面，各有优势与劣势.

18.(2020•大连市普兰店区第一中学高二月考)某人投弹击中目标的概率为P=0.?.

(1)求投弹一次，击中次数X的均值和方差；

(2)求重复投弹10次，击中次数丫的均值和方差.

【答案】⑴£(X)=0.8；£>(X)=0.16(2)E(r)=8,£>")=1.6

【解析】

(1)由题意可知X服从两点分布

因为，P(X=0)=02,P(X=l)=0.8

所以，E(X)=0x0.2+lx0.8=0.8.

所以，。(X)=(0-0.8)2x0.2+(1—0.8)2x0.8=0.16

(2)由题意可知击中次数y服从二项分布，即丫~3(10,0.8)

所以，£(7)==10x0.8=8,

Z)(y)=10x0.8x0.2=1.6.

19.(2018•江西九江高二期末(理))某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：

X8910

P0.40.40.2

现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为

(1)求该运动员两次命中的环数相同的概率；

(2)求g的分布列和数学期望

【答案】(1)0.36；(2)见解析，9.2

【解析】

(1)两次都命中8环的概率为q=0.4x0.4=0.16

两次都命中9环的概率为4=0.4x0.4=0.16

两次都命中10环的概率为鸟=0.2x0.2=0.04

设该运动员两次命中的环数相同的概率为P

P=6+6+6=0.16+0.16+0.04=0.36

(2)4的可能取值为8,9,10

PC=8)=04x0.4=0.16,

产(』=9)=2x0.4x0.4+0.4x0.4=0.48,

尸《=10)=1—1片=8)一下©=9)=0.36,

.•.4的分布列为

8910

P0.160.480.36

.•出=8x0.16+9x0.48+10x0.36=9.2

20.甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化

测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.已知甲，乙两人

审核过关的概率分别为二,一，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为士，一.

5245

(1)求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；

(2)设〈表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求彳的数学期望.

4

【答案】(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为不；

17

(2)J的数学期望为

20

【解析】

(1)设A="甲，乙两人至少有一人通过审核“，则

p(A)=l-1-|1-1...........6分

(2)^=0,1,2

,/、49

P信=1)=1-(2(4=0)+.(4=2))=诲

40

334918

loo100Too

••・塔=0x〃（J=0）+lxMJ=l）+2x“传=2）=同=为.......12分

4

答：（1）甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为二；

17

（2*的数学期望为三............1分

21.（2020•全国高三（理））在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在

3

B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为二，命中一次记3

4

4

分，没有命中得0分；在B点命中的概率为不，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量J表示该

选手一次投篮测试的累计得分，如果占的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但

一次测试最多投篮3次.

（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分J的分布列和数学期望.

（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.

【答案】（1）数学期望为3.05,分布列见解析（2）选择方案甲

【解析】

（1）在A点投篮命中记作A,不中记作彳；在B点投篮命中记作3,不中记作后,