《分类加法与分步乘法计数原理》名师课件

情境引入有4位同学和1位老师站成一排照相,如果老师要站在正中间,如图所示,则有多少种不同的站法？情境引入由4个数字组成的密码锁,如图所示,如果忘记了密码,最多要试多少次才能打开蜜码锁？人教A版同步教材名师课件分类加法与分步乘法计数原理学习目标学习目标核心素养结合实例,理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理数学抽象能根据具体问题的特征,准确地应用两个计数原理解决一些简单的实际问题数学运算学习目标学习目标:1.理解两个计数原理,能用它们解决简单的实际问题.2.正确理解“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征.学科核心素养:1.经历两个计数原理的发现过程,感受和体会通过归纳、类比把实际问题抽象概括为数学原理的思想方法,发展学生的数学抽象核心素养.2.在解决计数的实际应用问题过程中,发展学生的数学运算核心素养.探究新知问题探究一

分类加法计数原理如图,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中火车有3班,汽车有2班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有几种方法？分类加法原理:完成一件事有n类不同方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1+m2+…+mn种不同方法.完成这件事情的N类方法中,只需用一种方法就能完成这件事.甲乙汽车1火车3火车2火车1汽车2典例讲解例1、某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会.若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选法?选出1名代表有2类方式:第1类是从男生中选出1名代表,有28种不同方法;第2类是从女生中选出1名代表,有20种不同方法.根据分类加法计数原理,共有不同的选法种数是28＋20=48.解析利用分类加法计数原理计数时的解题流程

方法归纳变式训练1.高二(1)班有学生50人,其中男生30人,女生20人;高二(2)班有学生60人,其中男生30人,女生30人;高二(3)班有学生55人,其中男生35人,女生20人.(1)从高二(1)班或(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会主席,有多少种不同的选法？(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长,有多少种不同的选法？(1)从高二(1)班中选一名学生任校学生会主席,有50种选法;从高二(2)班中选一名学生任校学生会主席,有60种选法;从高二(3)班中选一名学生任校学生会主席,有55种选法,由分类加法计数原理得,从高二(1)班或(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会主席,有50＋60＋55＝165种选法.解析变式训练1.高二(1)班有学生50人,其中男生30人,女生20人;高二(2)班有学生60人,其中男生30人,女生30人;高二(3)班有学生55人,其中男生35人,女生20人.(1)从高二(1)班或(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会主席,有多少种不同的选法？(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长,有多少种不同的选法？解析(2)从高二(1)班男生中选一名学生任校学生会体育部长有30种选法;从高二(2)班男生中选一名学生任校学生会体育部长有30种选法;从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长有20种选法,由分类加法计数原理得,从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长,不同的选法有30＋30＋20＝80种.探究新知问题探究二分步乘法计数原理如图,从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地,一天中,火车有3班,汽车有2班,那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法？并罗列出所有的走法.甲丙乙汽车1火车3火车2火车1汽车2探究新知分步乘法计数原理:完成一件事有n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同方法.完成这件事情的n个步骤中,每个步骤都完成才能完成这件事.典例讲解例2、从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数;(2)三位数的偶数.(1)三位数有三个数位,故可分三个步骤完成:第1步,排个位,从1,2,3,4中选1个数字,有4种方法;第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种方法;第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种方法.依据分步乘法计数原理,共有4×3×2＝24个满足要求的三位数.解析典例讲解例2、从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数;(2)三位数的偶数.(2)分三个步骤完成:第1步,排个位,从2,4中选1个,有2种方法;第2步,排十位,从余下的3个数字中选1个,有3种方法;第3步,排百位,只能从余下的2个数字中选1个,有2种方法.故共有2×3×2＝12个三位数的偶数.解析利用分步乘法计数原理计数时的解题流程

方法归纳变式训练由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由分步乘法计数原理知,共有6×3=18种走法.2.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)A.24B.18C.12 D.9解析B典例讲解例3、书架的第一层放有3本不同的艺术书,第二层放有2本不同的计算机书,第三层放有5本不同的体育书,从书架上任取2本不同学科的书,共有多少种不同的取法?根据取书的学科不同,可以分为三类:1.计算机与艺术:3×2＝62.计算机与体育:2×5＝103.艺术与体育:3×5＝15

共有6+10+15=31种不同的取法解析

方法归纳(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.(3)综合问题一般是先分类再分步.利用两个计数原理解题时的三个注意点变式训练(1)需完成的事情是“借1本书”,所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本,都可以完成这件事情.根据分类加法计数原理,共有5＋4＋3＝12种借法.(2)需完成的事情是“每科各借1本书”,意味着要借给乙3本书,只有从数学、物理、化学三科中各借1本,才能完成这件事情.根据分步乘法计数原理,共有5×4×3＝60种借法.解析3.甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书,现在乙同学向甲同学借书,(1)若借1本书,则有多少种借法？(2)若每科各借1本书,则有多少种借法？(3)若任借2本不同学科的书,则有多少种借法？变式训练(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”,可分三类:第1类,借1本数学书和1本物理书,只有2本书都借,事情才能完成,根据分步乘法计数原理,有5×4＝20种借法;第2类,借1本数学书和1本化学书,有5×3＝15种借法;第3类,借1本物理书和1本化学书,有4×3＝12种借法.根据分类加法计数原理,共有20＋15＋12＝47种借法.3.甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书,现在乙同学向甲同学借书,(1)若借1本书,则有多少种借法？(2)若每科各借1本书,则有多少种借法？(3)若任借2本不同学科的书,则有多少种借法？解析素养提炼1.如果完成一件事有两类方案,这两类方案彼此之间是相互独立的,无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事,求能完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理2.如果完成一件事需要分成多个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤有若干种不同的方法,求能完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理用两个计数原理解决具体问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要做到“不重不漏”,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性.当堂练习

直线a与b上的8个点可分别确定8个不同的平面;直线b与a上的5个点可分别确定5个不同的平面.故可确定5＋8＝13个不同的平面2.在一块并排共10垄的田地上,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植1垄,为了有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法有________种(结果用数字作答).把空的6垄看作一个整体,A、B两种作物可在其余4垄上种植,不同的选垄方法为(3＋2＋1)×2＝12种.B解析解析12当堂练习3.如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有多少种(

)A.280 B.180C.96 D.60按区域分四步:第一步:A区域有5种颜色可选;第二步:B区域有4种颜色可选;第三步:C区域有3种颜色可选;第四步:由于可重复使用区域A中已有过的颜色,故也有3种颜色可选用.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3＝180种涂色方法.解析B当堂练习4.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为()A.6种 B.12种C.18种 D.24种因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,数字1、2、9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后与之相邻的空格可填6、7、8任一个;余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2×3=6种结果,故选A解析A归纳小结