《2 排列的计算》知识清单

《2排列的计算》知识清单一、排列的定义1、概念从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。这里要注意“不同元素”和“按照一定顺序”这两个关键。比如说，从1、2、3这三个数字中取两个数字排列，12和21就是不同的排列，因为顺序不一样。2、排列数从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aₙᵐ（这里用Aₙᵐ表示，n在下，m在上，实际书写时是A的右下角写n，右上角写m）表示。排列数公式：Aₙᵐ＝n(n1)（n2)…（nm+1)。这个公式可以这样理解，当我们要从n个元素里选m个进行排列的时候，第一个位置有n种选择，第二个位置因为已经选了一个元素，所以就有n1种选择，以此类推，第m个位置就有n(m1)＝nm+1种选择，然后把这些选择的可能性相乘就是排列数了。例如，从5个元素中选3个元素的排列数A₅³，就等于5×4×3=60。二、排列数的计算1、全排列当m＝n时，排列称为全排列，排列数Aₙⁿ=n(n1)（n2)…3×2×1，这个式子还可以写成Aₙⁿ=n!，n!表示n的阶乘，就是从1到n的所有正整数的乘积。比如，A₄⁴＝4×3×2×1＝24。2、排列数计算中的化简与求值在计算排列数的时候，要注意先按照公式展开，然后再进行计算。比如计算A₇⁴，根据公式A₇⁴＝7×6×5×4＝840。有时候可能会遇到含有排列数的方程或者不等式，这时候要把排列数公式代入，然后再求解。例如，已知Aₙ³＝60，根据排列数公式Aₙ³=n(n1)（n2)，我们可以得到n(n1)（n2)＝60，解这个方程，先尝试一些小的整数，当n＝5时，5×4×3＝60，所以n＝5。三、排列的应用1、简单的排列问题在解决一些简单的实际问题时，要先确定是排列问题，也就是看元素的选取是否与顺序有关。比如，从5名同学中选3名同学站成一排拍照，这就是一个排列问题，因为站的顺序不同照片就不一样。然后再根据排列数公式计算，这里就是A₅³＝5×4×3＝60种不同的站法。2、有条件限制的排列问题当有特殊条件限制的时候，要先考虑特殊元素或者特殊位置。比如，用0、1、2、3、4这5个数字组成没有重复数字的三位数，因为百位不能为0，所以百位这个特殊位置有4种选择（1、2、3、4），十位就有4种选择（剩下的4个数字），个位有3种选择（剩下的3个数字），根据乘法原理，一共有4×4×3＝48个不同的三位数。习题1、计算A₆²＝＿___________。2、已知Aₙ²＝20，求n＝＿___________。3、从6名男生和4名女生中选3人参加演讲比赛，要求至少有1名女生，共有多少种不同的选法（先考虑用排列的方法来解决这个问题哦）？答案1、A₆²＝6×（61)＝6×5＝30。2、根据Aₙ²=n(n1)＝20，即n²n20＝0，分解因式得(n5)（n+4)＝0，解得n＝5或者n=－4（因为n是元素个数，不能为负数，所以舍去），所以n＝5。3、方法一：可以用间接法，先算出从10个人中选3个人的总选法A₁₀³＝10×9×8＝720种，然后算出没有女生（全是男生）的选法A₆³＝6×5×4＝120种，那么至少有1名女生的选法就是720120＝600种。方法二：直接法，分三种情况。有1名女生2名男生的选法：C₄¹×C₆²（这里C₄¹表示从4个女生中选1个女生的组合数，C₆²表示从6个男生中选2个男生的组合数，组合数后面会学到，这里先按照这个思路理解，C₄¹＝4，C₆²=6×5÷2＝15，所以这种情况有4×15＝60种选法）；有2名女生1名男生的选法：C₄²×C₆