17.1.2 等腰三角形的判定 同步练习

第十七章特殊三角形17.1等腰三角形第二课时等腰三角形的判定基础过关全练知识点3等腰三角形的判定11.(2023山东济宁七中期末)一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，3小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是()A.60海里 B.30海里 C.453海里 D.45海里12.如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个13.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形.下列作法正确的有________个.

① ② ③ ④14.(2023陕西洛川期末)如图，已知∠ACE是△ABC的一个外角，CD平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形.15.(2023四川苍溪期末)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E.(1)求证：△BCD是等腰三角形；(2)若△BCD的周长是13，BC=5，求AC的长.知识点4等边三角形的判定16.(2023河南周口期中)给出下列三角形：①三个角都相等的三角形；②三条边都相等的三角形；③三条边上的高都相等的三角形；④有一个角是60°的等腰三角形，其中等边三角形的个数是()A.1 B.2 C.3 D.417.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个18.如图，在△ABC中，PQ垂直平分BC，BD垂直平分AP，∠C=30°，AB=3cm，求AC的长.19.(2023陕西洛川期末)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E.(1)求证：EC⊥BC；(2)若∠BAC=120°，试判断△ACE的形状，并说明理由.20.(2023广东东莞中学期中)已知，如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E，且BE∥AC.求证：△ABC是等边三角形.能力提升全练21.(2022山东淄博中考)某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE=50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF=EF，则∠E的度数为()A.23° B.25° C.27° D.30°22.(2022海南中考)如图，点D在直线m上，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1=140°，则∠2的度数是()A.80° B.100° C.120° D.140°23.(2023河北丰宁期中)等腰三角形的一个内角为40°，那么它的底角是()A.40°或70° B.70° C.40° D.100°24.(2020青海中考)已知a，b，c为△ABC的三边长.b，c满足(b-2)2+|c-3|=0，且a为方程|x-4|=2的解，则△ABC的形状为三角形.

25.(2021浙江绍兴中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是.

26.(2023河北沧州渤海新区京师学校第一次月考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE=3，CF=2，求EF的长.27.(2022浙江温州中考)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.(1)求证：∠EBD=∠EDB；(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.素养探究全练28.(2023山西太原部分学校月考)(1)如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.给出一种证明方法如下：证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠A=∠ADE=∠AED，∴△ADE是等边三角形.“想一想，本题还有其他证法吗?”给出的另外一种证明方法，请补全：证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C，∠A=60°.∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=，∴=，∴AD=AE.()∴△ADE是等腰三角形，又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形.(2)如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE=AD，求证：△ADE是等边三角形. 图1 图2

第十七章特殊三角形17.1等腰三角形第二课时等腰三角形的判定答案全解全析基础过关全练11.D根据题意得∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，∵AB=15×3=45(海里)，∴BC=45海里，即海岛B到灯塔C的距离是45海里.故选D.12.C分为三种情况：①作AB的垂直平分线交南北向的公路于一点P，此时PA=PB；②以A为圆心，以AB的长为半径画圆，交南北向的公路于P1，P2两点，此时AB=AP1，AB=AP2；③以B为圆心，以AB的长为半径画圆，交南北向的公路于A，P4两点，此时AB=BP4.综上可知，点P共有1+2+1=4(个)，故选C.13.答案3解析题图①中，由作图可知CA=CD，∴△ADC是等腰三角形，故正确；题图②中，由作图可知AD是∠BAC的平分线，△ADC不是等腰三角形，故错误；题图③中，由作图可知BA=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴∠BDA=∠BAD=60°，∴∠DAC=30°=∠C，∴DA=DC，∴△ADC是等腰三角形，故正确；题图④中，由作图可知DA=CD，∴△ADC是等腰三角形，故正确.故作法正确的有3个.14.证明∵CD平分∠ACE，∴∠ECD=∠ACD，∵AB∥CD，∴∠ECD=∠B，∠ACD=∠A，∴∠A=∠B，∴BC=AC.∴△ABC是等腰三角形.15.解析(1)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=12(180°-∠A)=72°∵直线DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=36°，∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°，∴∠CDB=∠B，∴CD=CB，∴△BCD是等腰三角形.(2)∵△BCD的周长是13，∴BC+BD+CD=13，∵AD=CD，∴BC+BD+AD=13，∴BC+AB=13，∵BC=5，∴AB=13-5=8，∴AC=AB=8.16.D①三个角都相等的三角形，是等边三角形；②三条边都相等的三角形，是等边三角形；③因为一个三角形的面积为定值，且三条边上的高都相等，所以三条边都相等，是等边三角形；④有一个角是60°的等腰三角形，是等边三角形，所以等边三角形的个数是4，故选D.17.D解法一：如图，在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，连接MN、PE、PF.∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，∠PEM=∠PON,PE=PO,∠EPM=∠OPN,∴△PEM≌△PON.∴∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个.解法二：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，作∠MPN=60°，连接MN.∵PE⊥OA，PF⊥OB，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，∴PE=PF，∠EPF=60°，∵∠EPF=∠MPN=60°，∴∠MPE=∠NPF，∵∠PEM=∠PFN=90°，∴△PEM≌△PFN(ASA)，∴PM=PN，∴△PMN是等边三角形，故这样的三角形有无数个.故选D.18.解析∵PQ垂直平分BC，BD垂直平分AP，∴AB=PB，PB=PC，∴∠PBC=∠C=30°，∴∠APB=60°，∴△ABP为等边三角形，∴AP=AB，∵AB=3cm，∴AP=3cm，PC=3cm，∴AC=AP+PC=6cm.19.解析(1)证明：∵AB=AC，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，又∵CE∥AD，∴∠BCE=∠BDA=90°，∴EC⊥BC.(2)△ACE是等边三角形，理由如下：∵∠BAC=120°，∴∠EAC=60°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=12(180°-120°)=30°又∵EC⊥BC，∴∠BCE=90°，∴∠ACE=60°，∴∠EAC=∠ACE=∠E=60°，∴△ACE是等边三角形.20.证明∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，∵AE⊥BE，∴∠E=90°，∵AB平分∠DAE，∴∠BAE=∠BAD，∴∠BAD=∠CAD=∠BAE，∵BE∥AC，∴∠EAC=90°，∴∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形.能力提升全练21.B∵AB∥CD，∴∠DFE=∠BAE=50°，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∵∠DFE=∠C+∠E，∴∠E=12∠DFE=12×50°=25°22.B∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°，∴∠AEF=140°-60°=80°，∴∠DEB=∠AEF=80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB=180°，∴∠2=180°-80°=100°，故选B.23.A当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=180°−40°2=70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，24.答案等腰解析∵(b-2)2+|c-3|=0，∴b-2=0，c-3=0，解得b=2，c=3，∵a为方程|x-4|=2的解，∴a-4=±2，解得a=6或a=2，∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c<6，∴a=6不合题意，舍去，∴a=2，∴a=b≠c，∴△ABC是等腰三角形.25.答案15°或75°解析∵AB=AC，∠ABC=70°，∴∠ACB=∠ABC=70°，∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°.如图所示，当点P在点B的左侧时，∵CA=CP1，∴∠CAP1=∠CP1A=180°−∠ACP12=180°−70°2=55°，∴∠BAP1=-40°=15°；当点P在点C的右侧时，∵CA=CP2，∴∠CAP2=∠CP2A=∠ACB2=70°2=35°，∴∠BAP2=∠CAB=35°+40°=75°.综上，∠BAP的度数是15°或75°.26.解析∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO=∠CBO，∠BCO=∠FCO，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠CBO，∠BCO=∠FOC，∴∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，∴BE=EO=3，FO=FC=2，∴EF=EO+FO=3+2=5.27.解析(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB.(2)CD=ED，理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴CD=BE，由(1)得，∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，∴CD=ED.