2024-2025学年宁夏银川某中学高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年宁夏银川一中高二（上）第二次月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.等比数列｛厮｝中，a2=4,a3-a4=128,则125的值为（）

A.8B.16C.32D.64

2.如图，吊车梁的鱼腹部分20B是抛物线的一部分，宽6小，高1根，根据图中的坐标系.可得这条抛物线的

准线方程为（）

9

AA.y「B.y=-[

C.y=-9D.y=一3

3.在等差数列｛厮｝中，已知a】=13,3a2=lla6,则数列｛a"的前n项和土的最大值为（）

A.98B.50C.49D.7

4.九连环是我国民间的一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘.假设从套环与套框完全分离的状态出发，

需经过厮步演变，出现只穿有第n环的状态，则与+1=2厮+1,且为=1.则从套环与套框完全分离的状

态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为口8+1++1++1+口2+1+1=（）

A.345B.344C.341D.340

5.已知点P在抛物线M：y2=4x上，过点P作圆C：（久―2）2+y2=1的切线，切点为4,若点P到M的准线

的距离为5,则切线长。4为（）

A.4B.717C.6D.AA19

6.已知等差数列的前n项和为％,若Si5-Si。=1-贝伊25的值为（）

A.4B.5C.6D.7

7.已知直线y=与椭圆C：务，=1交于2,B两点，尸是椭圆的右焦点，AF1BF,则椭圆的离心率

e的值为（）

■2V-3„V"3—1„1cf

A.—B.C.-D.V3-1

8.已知过抛物线C：*=舐的焦点且斜率为上的直线与c交于4吕两点，若以4B为直径的圆过点

M（—2,2）,则k=（）

A.|B.苧C.72D.2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知圆Qi：（久一1尸+y2=i和圆（J2：（x+l）2+（y-2）2=5的交点为2,乩则（）

A.公共弦42所在直线的方程为x-y=0

B.线段4B的中垂线方程为x+y-1=0

C.公共弦4B的长为，2

D.P为圆Qi上一动点，贝曲到直线4B距离的最大值为苧

10.双曲线C：。=1的左、右顶点分别为4B,P,Q两点在C上，且关于方轴对称，则下列选项正确

54

的是()

A.以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为9+?=1

B.双曲线C的离心率为等

4

C.直线力P与BQ的斜率之积为一(

D.双曲线C的焦点到渐近线的距离为2

11.已知等差数列｛即｝的首项为%=2,公差为d,其前n项和为Sn,若S8<S6<S7，则下列说法正确的是

()

A.当n=7时，Sn最大B.使得%<0成立的最小自然数九=13

D.数列｛互｝中的最小项为也

C.\a6+a7\<|a8+a9|

a.n。8

三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分。

2

12.已知数列｛5｝满足的=1,。2=2，。九+2=一丁，则。2024=

un

13.在1和11之间插入小个数，使得这爪+2个数成等差数列，若这m个数中第1个为a,第机个为6,则;+

系的最小值是.

14.设双曲线最一，=1(。>0,6>())的左，右焦点分别为Fi，F2,以&尸2为直径的圆与双曲线在第一象限

内的交点为P,直线P&与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q若点Q恰好为线段PF1的中点，则直线

P%的斜率的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

设抛物线C：久2=—2py(p>0)的焦点为产，AQo，—9)是抛物线C上的点，且|4眉=15.

(1)求抛物线C的方程；

(2)己知直线，交抛物线C于M,N两点，且MN的中点为(-2,-11),求直线/的方程.

16.(本小题15分)

如图，已知四棱锥P-4BCD中，底面2BCD是边长为4的正方形，CDJ_平面PAD,△PAD是正三角形,

E,F,G,。分别为PC,PD,BC,AD的中点.

(1)求证：POJ_平面ABCD；

(2)求点4到平面EFG的距离.

17.(本小题15分)

已知数列｛an｝中，=-1，an+1=y+-^T.

乙z

(1)求证：数列为等差数列，并求厮；

(2)求｛an｝的前几项和％.

18.(本小题17分)

如果数列｛时｝对任意的neN*,an+2-an+1>an+1-an,则称｛&J为“速增数列".

(I)判断数列｛3肘是否为“速增数列”？说明理由；

(II)若数列｛&J为“速增数列”，且任意项aneZ,a,=1,a2=2,以=2023.求正整数k的最大值.

19.(本小题17分)

已知椭圆C：+=l(a>b>0),短轴长为2，1,且经过点(1,|),过左焦点F的直线1交C于4B两

点，过点F与I垂直的直线交C于D,E两点，其中B,。在x轴上方，M,N分别为力B,DE的中点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)证明：直线MN过定点，并求定点坐标；

(3)设G为直线ZE与直线的交点，求^ZGM面积的最小值.

参考答案

l.c

2.5

3.C

4.C

5.D

6.5

7.D

8.£)

9.ABC

10.CO

U.ACD

z-1

工3

1

4.2-

15.解：(1)因为|2F|=9+§=15,

所以p=12,

故抛物线C的方程为/=-24y；

(2)易知直线1的斜率存在，设直线I的斜率为k,/V(x2,y2),

xl——24y

则t

J

xl=-24y2

两式作差变形得:当丫2__%1+%2

x-y—%224

又因为MN的中点为(—2,—11),则的+*2=-4,

所以=

x-y—%2246

所以直线，的方程为y+11=1(x+2),即x—6y—64=0.

16.解：(1)证明：•・•△PAD是正三角形，。为4D的中点,

PO1AD,

,•,四棱锥尸-ABCD中，底面力BCD是边长为4的正方形，CD1平面PAD,

・•・CD1PO,

•••ADr\CD=D,•••PO1平面48CD.

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图,

则。(0,0,0),71(2,0,0),B(2,4,0),C(一2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,2C),

E(-1,2,0，F(-1,0,司，G(0,4,0),

FF=(0,-2,0)，EG=(1,2,-73).FG=(1,4,-A<3)>

设平面EFG的法向量为记=(x,y,z),

则匕竺=-2y=0，取z=l,得元=(d,l),

(n-EGx+2y-<3z=0

AE=(-3,2,0，

・••点2到平面EFG的距离为d=噂=g

网

17.1?：(1)因为即+1=号++，所以2nan+i=2九-1即+2,

乙2

71n1

故2a九+i—2~an=2,

即数歹式2僧-1.是以—1为首项，2为公差的等差数列，

故2rl—%九=-l+2(n-l)=2n-3,

所以Q九=苗算；

(2)依题意可得S九=-1+：+,+,+…+竽"+奈二第

l1,1,35,12n-5।2n-3

2Scn=一//+7+/+…+下T+丁，

两式相减可得l+l+T+a+…+声—齐=处浮一竽=1—罗，

所以%=2—猾・

18.解:(I)数列｛3“｝是“速增数列”，理由如下：

因为%,=3n,

+2—n+2n+1n+1n+1nn

所以a九cin+1—3—3=2x3,an+1—an=3—3=2x3,

因为2x3n+1>2x3n,

所以的i+2—。九+1>a?i+i—。九，

故数列｛3肾是“速增数列”；

（II）因为数列｛an｝为“速增数列”，且任意项利GZ,%=1,a2=2,

所以对任意的几EN*,an+2—an+1>an+1—an,a2—ar=1,

所以。3—。222,。4—。3之3,…，—CLk-1之k—1,

相加的，（0.2—%）+（的一。2）+（。4—。3）+…+（耿—^k-1）-1+2+3+…+（忆—1）,

即耿-at>若少，

所以k（k-l）W4044,kEZ,

当k=64时，k（k-1）=4032,

当k=65时，k（k-1）=4160,

故正整数k的最大值为64.

19.解：（1）因为椭圆C的短轴长为2，3，且经过点（1,|）,

2b=2A/-3r,七J#

所以工+2=1，解得"尸

E

则椭圆c的标准方程为3+?=1；

（2）证明：易知直线/斜率存在且不为0,

设直线的方程为久=my-1,

x=my—1

2（3m2+4）y2

联立/y消去久并整理得一6my—9=0,

（T+T=1

，_6m

由韦达定理得外%-曾2+4,

（%先―3十+4

-1-1_A

此时2（久1+久2）=2[小仇+丫2）2]=3m2+4,

因为点M为线段48的中点，所以去,忐工）

v3mz+43mz+4y

因为/DE^UB，同理得N（君吟,=|三），

k2,2y

口"AD4m+34m+3

所以kftW=12（小_1）（m*±1），

所以/MN；y=『f（x+而彳）+痂彳，

整理得y=]2漂_1）（21久+12），此时直线MN过定点（―