2024-2025学年新疆维吾尔自治区高三12月大联考（新课标卷）数学检测试题（附解析）

2024-2025学年新疆维吾尔自治区高三12月大联考（新课标卷）

数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知集合/=卜,2<5},5={-1,0,2,3},则42=()

A.{-1,0}B.{0,2}C.{0,2,3)D.{-1,0,2}

x2,x<0,。满足/1|]=|,则实数加的值为（

2.已知函数〃x）=<

A.353

B.一c.—D.

48128

3.已知平面向量B满足同=1,归+.=3,a±j则归=()

A.1B.2C.V6D.布

4.苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方根仓，圆筒根仓简约美观、储存容量

大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，

将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆

的直径为2a,则该圆锥的体积为（）

图（1）图⑵

A.^-na3B.拒威C.—Tia3D.不四府

33

5.已知函数/（戈）=5出（2丫+夕）[0<夕<口，若/1+力为偶函数，且/（x）在区间

[-。,。]上不单调，则（）

7T兀兀7T

A.Q>—B.Q>—C.〃<—D.Q<一

6363

6.物理学中的“波义耳定律”是指一定质量的气体，在温度不变的情况下，压强p与

体积修成反比.若容器的容积为匕容器内某种气体的初始压强为P。，真空泵每次

抽出该气体的体积为外,"次抽气后，设容器内剩余该气体的压强为则

%./=4（%+%）•若匕=；k，设抽气时该气体温度不变，欲使容器内剩余该气体的

压强低于初始压强的。，则最少需要抽气的次数为（参考数据：1〃23。1.58）

A.1B.2C.3D.4

+sin(^-a)=|4

7.已矢口sinatan£=1,/?G(0,71),贝!Jcosa+cos('-a)=(

A-2V22

cD.

~T~-I3

8.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+y)</(x)+/(y)-1,且当％>0时,

/(%)<1,设〃=/(e=1),6=/(ln(x+l)),则()

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知i为虚数单位，复数z=a-i（aeR）,则下列说法正确的是（）

A.若忖=2,则°B.若彳.z=2,贝Ua=±l

C.若卜（l+i）|=2,贝i]a=lD.若三=-i,贝ija=-l

1-1

10.已知v/3c是边长为3的等边三角形，点尸在V/8C内或边界上，则下列说法正

确的是（）

A.若丽=定，则荔•9B.若而=2正，则网=々

C.若网=1,则点尸的轨迹长度为午D.若网=网=5则冏=百

11.如图所示的多面体Z8CDPAW中，/BCD为矩形，平面48cD,

PDHNC11MB旦PD=NC=MB=2,AB=2BC=2PD,点G为的重心，设

CG=2C7/（2^0）,则下列说法正确的是（）

A.该多面体的体积为§

B.存在2,使得CG_L平面

C.若4=2,则2,。,N,*四点共面

2

D.若点〃在该多面体外接球的球面上，则％=5

三、填空题(本大题共3小题)

41

12.已知一--=1^>0),则。的最大值为______.

ab

13.某密码锁的密码由三位不重复的数字组成，请根据下面三张图片提供的信息,

判断这个密码锁的解码为.

石、个号码正确珀、个号码正确

11个号码正确2

318位置正确卜卜⑼位置不正确四6|3|位置都不正确

14.若关于x的方程-1|=0有且仅有两个解，则实数。的值为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.记V/2C的内角B,C的对边分别为a,b,c,己知二二口.

b2+c2-a22

⑴若6c=2,求tanN；

(2)若A=^~,cosB=2五,求o?.

33

16.已知数列｛叫的前〃项和为S,且。2=5,=数列｛"｝满足

n2

L_a〃+2caw+1.

bn---------------

n+1n

⑴求数列出｝的通项公式；

(2)求数列应｝的通项公式及S”.

17.已知函数/(x)=2Inx+(t-l)f+1.

(1)若，=g,求证：/(x)<l；

⑵若feZ且〃x)+2/x<0在(0,内)上恒成立，求t的最大值.

18.如图，在四棱台/BCD-48cA中，平面/BCO,底面/BCD为菱形,

43=244，点£为的中点.

(1)求证：。田//平面片GCB;

⑵若班小CG，AD=2^,二面角E-0C-D的大小为45。，求该四棱台的体积.

3

19.已知函数/(x)=Inx+roc?-2x+].

⑴若/(x)为增函数，求实数%的取值范围.

(2)若加=：,正项数列｛%｝满足q=；,%="“")+1.

①求证：当X〉1时，；

②求证：对任意N*,£鼠-1|<1.

k=\

答案

1.【正确答案】D

【详解】将x=-l,0,2,3代入，<5中，可知x=-l,0,2成立，x=3不成立，

.•."8={-1,0,2}.

故选：D.

2.【正确答案】B

【详解】/图=吗/3a*n[j+2]=]

5

故加二一，

8

故选：B

3.【正确答案】C

【详解】由〃(共5)可得筋_。%=0，故万石=i,

X|a+Z)|="\a+~b+2a-b=3,故川+片+2=3,故问="，

故选：C

4.【正确答案】A

【详解】由题意，知该圆锥底面圆的半径为。，设该圆锥的母线长为/,高为人

由2兀。=兀/,得I=2a,h—\[?>a,所以该圆锥的体积v=工兀/•百〃

33

故选：A.

5.【正确答案】A

【详解】/1+.)=5苗12苫+1+0][0<0<1]为偶函数，

兀兀兀

故—v(p——Fkit,keZ,故(p——Fkit,keZ,

326

由于0<。<一故"=B，则/(x)=sinhx+^j,

2O

J71TTTJT

令2x+—£——+2左兀一+2左兀，左EZ,

622

jl兀

角星XG-----F历I,---Fkit，左£Z,

36

jrjr

故〃x）的一个单调递增区间为-徐

由于区间卜。,可关于原点对称，要使“X）在区间［一0,可上不单调，故

6

故选：A

6.【正确答案】C

【详解】因为P/=P"+%）,%=卜，所以

所以即得/匚=：

Tcn-\

要使。即得j

即得

」210叼log23-22-log232-1.580.42

所以〃>3.

故选：C.

7.【正确答案】D

【详解】由于tan£=g>0,*（0,兀），故户中看

,„sin/?4

tanp=———=—

cos/33

由'sin2/3+cos20=1,可得sin£=—,cos=—,

sin>055

由sina+sin(£-a)=—可得sina+—cosa——sina=—n—cosa+—sina=—,

\)3553553

(。、34.84•1c2

贝nrUlcosa+cos(〃—a=cosa+—cosa+—sma=-cosa+—sina=-x2=一,

')555533

故选：D

8.【正确答案】B

【详解】任取为，X2GR,且再<々，设工=石，y=x2-x1>0,

由/(x+y)</(x)+/(力一1,得/52)</(再)+/(工2-％)-1,

即f(x2)-f(xl)<f(x2-xl)-l<0,所以/(切</(再),

所以“X)在R上为减函数，

记g(X)=^-1-ln(x+I)(x>-1),则g，(X)=e*--—=-3'-1,

x+1x+1

记=(x+l)ex-l(x>-1),所以"(x)=(x+2)e”>0,

所以M*)在(t+8)上单调递增且Mo)=o,

所以当xe(-l,O)时，力(x)<0,g,(x)<0,g(x)单调递减,

当xe(0,+oo)时，A(x)>0,g,(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x"g(O)=O,

所以e=l21n(x+1)恒成立，所以/(e-l)V/(ln(x+l)),即“46.

故选.B

9.【正确答案】BD

【详解】对于A,忖="^71=2,故0=±6,A错误，

对于B,z-z=|s|=a2+1=2,故。=±1,B正确，

对于C,|z(l+i)|=|(。-i)(l+i)|=1+1+(a-l)i|=2=>J(0+行*a-1)~=：,

解得a=±l,故C错误，

对于D,由三=-i,则z=-i(l-i)=-l-i,故。=-l,D正确，

故选：BD

10.【正确答案】ABD

【详解】对于A,当而=无时，P为BC的中点，则BC_L/尸，故

对于B,BP=2PC，贝!||网=2,|京卜1,由余弦定理可得

|1?|=^^2+BP1-2AB-5Pcos|=^32+22-2x3x2「，B正确，

对于C,若网=1,则点尸的轨迹为以A圆心，以网=1为半径的圆（在V/8C内部

TT

及边界部分），故长度为c错误，

对于D,当网=|研=5则尸位于边相的高CQ上，故

PQ=U尸-4。=’（"『-图S，又CQ二手,故|磅|=G,D正确，

故选：ABD

c

11.【正确答案】ACD

【详解】将该多面体补成长方体，如图所示：

对于A,故该多面体的体积为厂=%方体—VA—QMP

=4x2x2--x-x4x2x2=16--=—,A正确，

3233

对于B,由于G为AAPM的重心,

DP+DC+-DP+2DA+DC^

而砺=（。+叫.前=（丽-反-9+2方+西.丽=2方加,

显然刀，而不垂直，故刀.前二0,

因此丽.应5/0，故江，而不垂直,

因此不存在2,使得CG1平面3DH,B错误,

对于C,建立如图所示的空间之间坐标系，

则尸（0,0,2）,4（4,0,0）,M（4,2,2）,8（4,2,0）,N（0,2,2）,2（4,0,0）,C（0,2,0）,

（824、______<4421

则由于，=2,。。=2CH"故”是。。的中点，故话话/

_____.___.f442、

故08=（4,2,0）,DN=（0,2,2）,D8=匕,],1,

故丽=-丽+3而，因此方瓦而，丽共面，进而可得82N,〃共面，C正确,

对于D,\cd\=

该多面体的外接球与长方体的外接球相同,

故球的直径为长方体对角线"万万=2几，

而。（4,0,2）,西=（4,-2,2）,且=§,-],],故诟=§函，

—►2—►2

故H位于。，故CG=1C〃，4=3，D正确.

故选：ACD.

12.【正确答案】1

【详解】由题意，-4-71=1（i>0）,即4二b=+中\，解得。=一4b一,

ababo+l

因为6>0,所以b+l>0,所以

”b=db4(6+1)—4,_4

^71Sz+l)+l1=5-彳-3K+1)

b+1

=5一高+修+1)W5-2.・(6+1)=5-4=1,

4

当且仅当厂7=6+1,即6=1时等号成立，

即。-6的最大值为1.

故1

13.【正确答案】698

【详解】假设第一个图片中的3号码正确，且位置正确，

则第二图片中的3也满足号码正确，且位置正确，不合要求，

假设第一个图片中的1号码正确，且位置正确，

则从第三个图片可知，剩余的2个号码为8和3,且位置要互换，

故密码锁的解码为318,

但此时第一个图片将有2个号码正确，不合要求，

假设第一个图片中的8正确，则从第三个图片可知，有1个号码为6,

从第二个图片可知，第三个号码为7或9,

若第三个号码为7,且密码锁的解码为678,此时第二个图片中7的位置正确，不合

要求，

若第三个号码为9,且密码锁的解码为698,满足所有图片要求.

故698

14.【正确答案】e2

【详解】由题意可知当x-1=0,即x=l时，方程为e=0不成立，故可得x-120,

a

则此方程可化为。=j-T(>°)>令、(x)=[e「,xwl,

I尤7l^-l|

X>1

则小人舟=二

x<1

、-X+1

当m时，〃加白，则八’令…）=。，解得修,

故当x>2时，r（x）>0,函数/（X）为增函数;

当l<x<2时，八幻<0,函数/（x）为减函数,

当x<l时，/（x）=—,则-。一%>0在（一肛1）上恒成立，

-x+1（X-1）

故函数“X）为增函数，

e'X>1

作出>和函数/（x）=i—x的图象如下：

X-1ex,

故由图象可知当a=e?时，这两个函数的图象只有2个公共点.

故答案为.e?

15.【正确答案】（1）26

(2)C2=1+2V6

【详解】(1)be=2,由余弦定理得cos/="+b—"一="+•一”

2bc4

sinA_V3

故62+C2_/=4COS4将其代入「in”@中得,

b2+c2-a224cosJ2

(2)/二个，故sin4=，cosA=—,

322

因为,sin49,所以〃+c2一/=1①，

b2+c2-a22

由余弦定理得cos//.'-1=《,5Lb-+c2-a2=\,

2bc2

所以历=1,

cosB=20,由余弦定理得cosB=@十。———2V2

3lac~T~

故1+,2-62=拽竺②，

3

联立①②得2c2T=如1"③,

3

又加=1,故。=工，将其代入〃+°2一］=1中得

C

解得4c。4c2-23=0,解得四，负值舍去

2

16.【正确答案】（1也=上而

/c、21c3/+〃

（2）%=3〃_1；sn=-^—.

【详解】（1）因为&-1=?,所以2s“-2〃=%,

n2

当〃=1时，2sl-2=%,所以q=2,

当〃22时，2s“T—2（〃-1）=（〃,

作差得2（S.一Si）-2〃+2（"-1）=〃%-（〃一1）%,

所以一2=（〃一2）%-（“一1）%,

1-2

所以当一力=^）2，

所以。筹a.-2

n

aa,-2

⑵当心时，因为百一点

（1）（〃-2）

所以Br怒=2=一占，3—怒=2/，…慧音=2g

所以累加法得出4-4

n-11

所以4T=3+三，所以。，=3〃一1,

n-1n-1

当"=1时，2S]-2=%,所以%=2,

所以。“=3〃-1,

而2c〃(2+3〃-1)3n2+n

所以S”=%+%HHa„~""

17.【正确答案】(1)证明见解析

⑵T

【详解】(1)“X)的定义域为(0,+功，

117—Y2

当，=—时，y(x)=21nx——%2+1,=-----,

22x

当xe(0,行)时，r(x)>0,所以/(无)在(0,行)上单调递增，

当xe押,+q时，r(x)<0,所以/(尤)在(&,+8)上单调递减,

所以/(x)W/(Vi)=ln2<l.

(2)令g(x)=/(x)+2Zx=21nx+(/-l)x2+2a+l,则g(x)<0在(0,+。)上恒成立.

求导，得8(上2g+1)[(1卜+1],

当此1时，g'(x)>0在(0,+8)上恒成立，所以g(x)在(0,+功上单调递增.

又g(l)=%>0,不符合题意，舍去.

当/<1时，若x<0,占]，可得g'(x)>0,所以g(x)在[0,。)上单调递增，

若可得g'(x)<0,所以在上单调递减，

ci112/1,.xI1

所以g(x)max=g2In---1------1----\-l=_2In(I—Z)H------1,

占l-tt-l\-t'7l-t

只需—2In—+----I<0即可.

2]

设〃(x)=-2ln(l-x)+占一l(x<l),贝M'(X)==+^7^>0,

所以〃(x)在(-8,l)上单调递增.

又"0)=0,所以当x<0时，"x)<0恒成立，所以f<0.

又teZ,所以，的最大值为T.

18.【正确答案】(1)证明见解析

(2)216

【详解】(1)由于"3=244，底面48。为菱形，且/BCD-为四棱台,

故四边形&8C2也为菱形，

故A8=2C.且AB//CQ,

由于点E为的中点，故BE〃D\C\,BE=£>&,故四边形BERQ为平行四边形，

则EZVABC],E〃(Z平面gC|CB,平面gQCB,

故。£//平面4cle8,

(2)因为DR，平面/BCD,且。C,O8u平面48CD,故DRLDC,DR_LDB,

71

2222

则QC=r>1r)+(r>c-D1c1)=DXD+-DC,

22222

BXB-=DtD+(BD-D^]=DtD+^BD-^BD^=DXD+^BD,

故BO=OC,

由于44G2也为菱形，故。8=DC=BC,故为等边三角形，

乙4DC=120°,NDN3=60°,且ABCD也为等边三角形，

由于点E为N8的中点，故氏DELCO,

因为。2_L平面48CD,故DEu平面48cD,DD}1DE,

DCcD|D=2Z>C,Z)|Du平面D、DC,故。E_L平面D,DC,

过。作于H,连接EX,

D.DC,，Cu平面，。C,故Z>EJ_D]C,

DEcDH=D,DE,DHu平面DEH，故，CJ■平面DEH,

HEu平面DEH，故D{C_LHE,

故NOHE为二面角E-0C-。的平面角，所以/D〃E=45°,

向

ED=—AD^3MDH=3,

2

又DC=2>/3,故sinZ.HCD=-----=—广=――,故NHCD=60°，

DC25/32

因止匕2D=CDtan60°=2，Jx6