陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.2.1 微积分基本定理教学实录 北师大版选修2-2

陕西省石泉县高中数学第四章定积分4.2.1微积分基本定理教学实录北师大版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）陕西省石泉县高中数学第四章定积分4.2.1微积分基本定理教学实录北师大版选修2-2设计意图本节课通过探究函数原函数和定积分之间的关系，引导学生理解微积分基本定理，加深对定积分概念的理解。通过实际例题和习题训练，提高学生运用微积分基本定理解决实际问题的能力，培养学生严谨的数学思维和良好的学习习惯。核心素养目标1.培养学生数学抽象和逻辑推理能力，通过探究微积分基本定理，理解函数、极限、导数和积分之间的内在联系。

2.强化学生数学建模能力，将实际问题转化为数学问题，应用微积分基本定理解决实际问题。

3.增强学生的数学运算能力，熟练运用积分运算解决定积分计算问题。

4.提升学生的数学探究能力，通过小组合作和自主学习，探究定积分与导数的关系，培养独立思考和创新意识。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生已经具备高中数学的基本知识，包括函数的基本性质、极限的概念、导数的计算方法等。他们已经能够通过导数研究函数的增减性、极值等问题。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学普遍抱有兴趣，尤其是对数学思维和方法的应用感兴趣。他们的学习能力较强，能够通过自主学习和合作学习来掌握新知识。学习风格上，部分学生倾向于直观理解和动手操作，而另一部分学生则更擅长逻辑推理和抽象思考。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在探究微积分基本定理时，学生可能难以理解定积分与导数之间的内在联系，尤其是当涉及到变限积分和分段函数时。此外，学生在进行定积分的计算时，可能会遇到计算技巧不够熟练的问题，比如积分技巧的应用不够灵活。同时，学生在解决实际问题时，可能会缺乏将实际问题转化为数学模型的能力。因此，教师需要通过恰当的教学策略和练习来帮助学生克服这些困难。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-2教材，包括第四章相关章节。

2.辅助材料：准备与微积分基本定理相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备计算器、黑板或电子白板，用于展示计算过程和讨论。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行合作学习；确保实验操作台或演示区域可用于展示实际操作或演示。教学过程（一）导入新课

1.老师提问：同学们，我们已经学习了导数，知道导数可以描述函数在某一点的瞬时变化率。那么，有没有想过，如果我们想要研究一个函数在一定区间内的整体变化趋势，应该怎么办呢？

2.学生思考，老师引导学生回顾导数的概念，引出定积分的概念。

（二）新课讲授

1.老师讲解定积分的定义：

-引入积分和微分的关系，说明定积分是微分的逆运算。

-举例说明定积分的应用，如求曲边梯形的面积、计算物体的位移等。

2.老师讲解微积分基本定理：

-介绍微积分基本定理的内容，即如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上的定积分等于它的原函数在区间端点的差值。

-通过实例展示如何应用微积分基本定理求解定积分。

3.老师讲解定积分的计算方法：

-讲解定积分的计算公式，强调积分上下限的重要性。

-举例说明如何计算定积分，包括直接积分和换元积分。

4.老师讲解定积分的几何意义：

-通过几何图形展示定积分的几何意义，如曲边梯形的面积、曲线下的面积等。

-强调定积分在解决实际问题时的重要性。

（三）课堂练习

1.老师布置课堂练习题，包括计算定积分、应用微积分基本定理解决问题等。

2.学生独立完成练习，老师巡视指导，解答学生疑问。

（四）课堂讨论

1.老师提出问题：如何将实际问题转化为数学问题，并应用微积分基本定理解决？

2.学生分组讨论，分享自己的解题思路和方法。

3.老师总结讨论结果，强调将实际问题转化为数学问题的步骤。

（五）课堂小结

1.老师总结本节课的主要内容：

-定积分的定义和计算方法

-微积分基本定理及其应用

-定积分的几何意义

2.老师强调重点内容：

-理解定积分的几何意义，掌握定积分的计算方法

-应用微积分基本定理解决实际问题

（六）课后作业

1.老师布置课后作业，包括计算定积分、应用微积分基本定理解决问题等。

2.学生认真完成作业，巩固所学知识。

（七）教学反思

1.老师对本节课的教学效果进行反思，总结教学过程中的优点和不足。

2.老师针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学质量。学生学习效果学生学习效果

1.**知识掌握**：

-学生能够熟练掌握定积分的定义、性质和计算方法，能够独立进行定积分的计算。

-学生理解并能够应用微积分基本定理，将定积分与导数的关系应用于实际问题中。

-学生对定积分的几何意义有了深入的理解，能够通过图形直观地解释定积分的计算结果。

2.**能力提升**：

-学生在逻辑推理和数学抽象方面得到了锻炼，能够从具体问题中抽象出数学模型，并运用数学工具解决问题。

-学生在数学建模能力上有所提高，能够将实际问题转化为数学问题，并使用定积分进行求解。

-学生在数学运算能力上得到了加强，能够熟练运用积分技巧，如换元积分和分部积分等。

3.**学习方法**：

-学生通过小组合作和自主学习，学会了如何与他人交流学习心得，提高了团队协作能力。

-学生通过课堂练习和课后作业，养成了良好的学习习惯，能够独立思考和解决问题。

-学生通过课堂讨论，学会了如何表达自己的观点，并能够倾听他人的意见，提高了沟通能力。

4.**实际问题解决**：

-学生能够运用所学知识解决实际问题，如计算曲线下的面积、求解物体的位移等。

-学生在解决实际问题的过程中，学会了如何将实际问题转化为数学模型，并应用数学方法进行求解。

-学生通过实际问题的解决，增强了数学在实际生活中的应用意识，提高了解决实际问题的能力。

5.**情感态度**：

-学生对数学产生了更深的兴趣，认识到数学在自然科学和社会科学中的重要性。

-学生在面对数学问题时，更加自信，敢于挑战难题，培养了克服困难的意志。

-学生通过学习，形成了严谨的数学思维习惯，提高了对数学学习的热爱和尊重。

总体而言，学生在本节课的学习中取得了全面的进步，不仅在知识层面上有了扎实的积累，而且在能力、方法和情感态度等方面都得到了显著提升。板书设计①定积分的定义

-定积分的概念：函数在某一区间上的定积分表示该函数在该区间上所围成的图形的面积。

-定义公式：∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。

②微积分基本定理

-定理内容：如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上的定积分等于它的原函数在区间端点的差值。

-定理公式：∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)。

③定积分的计算方法

-直接积分：直接使用积分公式计算定积分。

-换元积分：通过变量替换简化积分过程。

-分部积分：利用分部积分公式计算复杂函数的积分。

④定积分的几何意义

-曲边梯形的面积：定积分可以用来计算曲边梯形的面积。

-曲线下的面积：定积分可以用来计算曲线下（或上）的面积。

⑤应用实例

-实际问题转化：将实际问题转化为数学问题，如求曲线下的面积、计算物体的位移等。

-微积分基本定理应用：使用微积分基本定理解决实际问题。作业布置与反馈作业布置：

1.**基础练习**：

-计算下列定积分：∫[0,2]x^2dx和∫[1,3](3x+2)dx。

-根据微积分基本定理，计算函数f(x)=x^3在区间[0,2]上的定积分。

2.**应用练习**：

-利用定积分求曲线y=x^2与x轴所围成的区域的面积。

-某物体的运动方程为s(t)=4t^2-2t，其中t为时间（秒），求物体在前10秒内的位移。

3.**探究性练习**：

-研究函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的定积分与原函数之间的关系。

-探讨当积分上下限发生变化时，定积分的几何意义如何变化。

作业反馈：

1.**及时批改**：

-对学生作业进行及时批改，确保学生能够了解自己的学习成果和存在的问题。

2.**问题指出**：

-在批改过程中，指出学生在计算错误、概念理解模糊、应用能力不足等方面的问题。

3.**改进建议**：

-对于计算错误，指出具体错误步骤并提供正确答案和计算过程。

-对于概念理解问题，通过解释相关概念和公式，帮助学生澄清疑惑。

-对于应用能力不足，通过提供类似的实际问题，引导学生学会如何将理论知识应用于解决实际问题。

4.**个别辅导**：

-对于作业中存在的问题，特别是普遍性的问题，进行个别辅导，帮助学生巩固知识。

5.**总结与反思**：

-在作业反馈中，总结学生普遍存在的问题，反思教学方法和学生学习的难点。

-根据作业反馈，调整教学计划，针对学生的薄弱环节进行加强教学。课后作业1.**计算定积分**：

-作业题：计算定积分∫[0,1](4x^2-3x+2)dx。

-答案：∫[0,1](4x^2-3x+2)dx=[4/3x^3-3/2x^2+2x]from0to1=(4/3-3/2+2)-(0-0+0)=8/3。

2.**应用定积分求面积**：

-作业题：计算由曲线y=x^2和直线x=2所围成的图形的面积。

-答案：面积=∫[0,2]x^2dx=[1/3x^3]from0to2=(8/3)-(0)=8/3。

3.**计算变限积分**：

-作业题：计算定积分∫[0,x](1+t)dt。

-答案：∫[0,x](1+t)dt=[t+1/2t^2]from0tox=x+1/2x^2。

4.**利用微积分基本定理解决问题**：

-作业题：已知函数f(x)=2x在区间[1,3]上连续，求该函数在该区间上的定积分。

-答案：∫[1,3]2xdx=[x^2]from1to3=9-1=8。

5.**分段函数的定积分**：

-作业题：计算定积分∫[0,2](x^2+1)dx，其中在区间[0,1]上x^2+1=2x+1。

-答案：∫[0,1](x^2+1)dx+∫[1,2](2x+1)dx=[1/3x^3+x]from0to1+[x^2+x]from1to2=(1/3+1)+(4+2)=4+5/3=17/3。

6.**定积分与导数的关系**：

-作业题：已知函数f(x)=e^x，求∫[0,x]e^tdt的导数。

-答案：由微积分基本定理，∫[0,x]e^tdt=e^x-e^0=e^x-1。因此