高考数学重难点专项复习：平面向量与解三角形 高频考点突破（学生版）

第04讲：平面向量与解三角形高频考点突破

【考点梳理】

考点一.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小,又有方向的量;向量的

向量平面向量是自由向量

大小叫做向量的长度(或称模)

零向量长度为Q的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为端

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做。与任一向量平行或共线

共线向量

共线向量

相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

考点二.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

(1)交换律：

a~\~b=b~\~a；

a

加法求两个向量和的运算三角形法则(2)结合律：

(a+b)+c

a

平行四边形法则=Q+S+C)

求a与b的相反向量

减法a—>=a+(—b)

—5的和的运算三角毒法则

(1)1加=1川⑷；

⑵当A>0时,2a的方

(1—(〃z)a；

求实数力与向量。的向与a的方向相同;

数乘(2)(%+〃)〃=义。+〃〃；

积的运算当/<0时，2a的方向

(3)A(a+b)=Aa+Xb

与a的方向相反;当

%=0时，71a=0

考点四：.共线向量定理

向量。(“W0)与分共线，当且仅当有唯一一个实数九使6=瓶.

1.平面向量基本定理

如果ei、刃是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量°,有且只有一对实数平、彳2,使

=/Uei+/2.

其中，不共线的向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底」

考点五.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=(xi,")，b—(xi,/)，则a+/=(无i+尤2,yi+y2),a-/=(H一yi—丫2)，(Axi，/yi)>\a\=y]xi+yi.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,巾)，B(X2,>2),则42=(愈一xi,丫2一y。，|48|=勺(&—制)2+&2一州广

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi，ji),b=(X2,yi),其中BWO.a、b共线0不丫2一X2yi=0.

考点六.向量的夹角

己知两个非零向量”和方，作应=a，而=瓦则就是向量。与"的夹角,向量夹角的范围是：[0,n].

考点七：.平面向量的数量积

设两个非零向量a,b的夹角为仇则数量|a||四,cos0叫做a与b的数

定义

量积，记作a必

lalcos6叫做向量a在b方向上的投影，

投影

向cos0叫做向量8在a方向上的投影

几何意义数量积ab等于a的长度⑷与b在a的方向上的投影151cos6的乘积

考点八：.平面向量数量积的性质

设a,B都是非零向量，e是单位向量，6为a与仪或e)的夹角.贝|

(l)ea=a-e=|a|cosC(2)a_L，<=>a・6=0.⑶当a与b同向时，a-b=\a\\b\；

当〃与力反向时,〃•方=一]〃|瓦特别地，aa=|a|2^\a\=y[a^a.

a，b

(4)cose=j^.(5)1“创W|a||b|.

4.平面向量数量积满足的运算律

(l)a-Z>=*-a；(2)(弱)2=44切=0(肪)(2为实数)；(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a=(xi，巾)，6=(X2，J2)，则a仍=xiX2+yiV2,由此得到

⑴若a=(x,y),则㈤2=4+y2或㈤=、/1+y.

y2)，22+2—%)2.

(2)设AQi,")，B(X2,则A,B两点间的距离48=|赢|=』(尤一刀)。

（3）设两个非零向量a,b,a=（x1,%）,）=（、2，/），贝Ua_L8=也必土时也三^

ab为%2+>1>2

（4）若a,万都是非零向量，。是。与方的夹角，则cos8=

⑷步I<4+y讨

考点九.正弦定理、余弦定理

在△A3。中，若角A,B,。所对的边分别是a,b,c,R为AABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

(2)/=/+/一2bccosA；

内容(l)sinsinsinC^R力2=。2+/-2c〃cosB；

。2=42+卜2-2/反05C

(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

Z72+c2-6Z2

abc⑺cosA—2bc；

(4)sinA=砺，sinB=赤,sinC=示;

c2+a2-b2

变形

⑸a:b:c=sinA：sin5：sinC；c°s2—2ac；

(6)asinB=bsinA,fesinC=csinB,asmCcP+b^—c2

cosC~2ab

—csinA

考点十：角形常用面积公式

⑴S=，也（及表示边〃上的高）；（2）S=，加inC=^acsinB=^bcsinA；（3）S=5（4+Z7+c）（r为三角形内切圆半径）.

【题型梳理】

题型一：平面向量的基本概念

1.（2023春•上海浦东新•高一统考期末）下列说法正确的是（）

A.若同=忖，贝。与石的长度相等且方向相同或相反；

B.若同=忖，且z与万的方向相同，则2=石

C.平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；

D.若Z//B，则Z与各方向相同或相反

2.（2023春・江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期末）下列说法中正确的是（）

A.若W=W，贝匕=石或2=4

B.若allb，bile，则a//c

c.已知点A（l,3）,B（4,-l）,则与向量额平行的单位向量是（I，-

D.已知向量£与B的夹角为，=2,帆=0，则B在Z方向上的投影向量是-

3.（2022春,上海浦东新•高一上海中学东校校考期末）下列结论中，正确的是（）

A.零向量只有大小没有方向B.\AB\=\BA\

C.对任一向量2,|a|>0总是成立的D.|荏|与线段54的长度不相等

题型二：平面向量的线性运算

4.（2023春•江苏无锡•高一辅仁高中校考期末）如图，在AABC中，点。为2C边的中点，0为线段AD的中点，连

接CO并延长交A3于点E,设旗其，AC=b，则箕=（）

1-

B.—a—br

4

1-3—

D.-a--b

34

5.（2021春•浙江•高一期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八

边形ABCDEFGH,其中网=1,给出下列结论：

①西与西的夹角为三；

②而一反卜率由卜

@OD+OF=OE^

④房在历上的投影向量为42工（其中2为与两同向的单位向量）.

一2

其中正确结论为（）

FE

6.（2022春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）如图，在AABC中，BC=6DC，则布=（）

C.|AB+|ACD,^AB+^AC

6666

题型三：平面向量的基本定理

7.（2023春•江苏苏州•高一统考期末）如图，在AABC中，点。，E分别在边2C和边A8上，D,E分别为BC和54

的三等分点，点。靠近点B,点E靠近点A,AD交CE于点尸，设竟=Z，BA=b，则丽=（）

B.—aH—b

7777

N一仔「

C.—1a-+—3?bD.—a+—b

7777

、.___.1-►

8.（2023秋•辽宁一大连二十四中校联考期末）如图，在△ABC中，BM=—BC,NC=AAC，直线411交BN于

...5—>

点。，若BQ”BN,贝微=（）

7T

9.（2022春・福建福州•高一校联考期末）如图，在AABC中，ZBAC=-,A5=2DB>P为C£>上一点，且满足

AP=mAC+^AB（meR）,若AC=3,AB=4,则*•①的值为（）.

题型四：平行向量的垂直和平行问题

10.（2023秋・辽宁锦州•高一统考期末）已知向量々=（2,0）,5=（1,2）,且（13⑷〃（23+筋）（左eR）,则悔+研为

（）

A.2历B.4历C.2府D.4761

11.（2023春•江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期末）已知非零向量6,石满足B=（也,1）,口,可=4，若

R叫，鼠贝I］向量£在向量后方向上的投影向量为（）

1y1r_

A.—bB.—bC.—bD.b

422

12.（2021秋•湖南长沙•高一长沙一中校考期末）已知“IBC是腰长为2的等腰直角三角形，。点是斜边A区的中点，

点P在CD上，且CP=2P£>，则可.丽=（）

3210

A.-----B.-----

99

16

C.一丁D.4

题型五：平行向量数量积

7T

13.（2023春・江苏南京•高一南京市中华中学校考期末）如图，在AABC中，ZBAC=~,AD=2DB，P为CD上一

___►___►1___►uum

点，MAP=mAC+-AB,若|AC|=3，1钏1=4,则而.①的值为（）

c

14.（2023春•江苏常州•高一常州市第一中学校考期末）已知向量一与后的夹角为30。，且|Z卜百，忖=1,设正=%+B，

n=a-b，则向量而在3方向上的投影向量为（）

A.2nB.nC.石”D.^-n

3

15.（2022春•陕西商洛高一统考期末）已知向量益，b,不满足同=同=2,同=3,alb，则（商-3可・（方-34的

最大值为（）

A.40-6旧B.40+6旧C.36-6713D.36+6日

题型六：平面向量的综合问题

16.（2023春•四川成都•高一成都外国语学校校考期末）如图，在AOAB中，尸为线段AB上的一个动点（不含端点）,

（1）若2=；,用向量况，砺表示历；

___.ULU

⑵在（1）的条件下，若|。*=6,|。8|=2，且408=120。，求而.通的值

17.（2022秋・辽宁沈阳•高一沈阳市回民中学校考期末）平面内给定三个向量2=（3,2）,U（-l,2）,c=（4,l）.

⑴若仅+砌〃（2石-同，求实数左;

⑵若z满足（2-丹〃3+4,且口-4=逐，求才的坐标.

18.（2022春•上海普陀•高一曹杨二中校考期末）如图，在AOAB中，|旅|=4.|瓦|=2,P为A3边上一点，且丽=2方.

（1）设历=尤次+y丽，求实数x、y的值；

⑵若〈国，丽〉=],求丽.丽的值；

⑶设点Q满足诙=：两，求证：|可|=2|苑I.

题型七：正余弦定理的基本计算

19.（2023春•宁夏吴忠•高一吴忠中学校考期末）在AABC中，角A,B,C所对的边分别是，a,b,c,a=2,b=底,

B=2A,贝!JcosA=（）

A.BB.BC.巫D.迈

3243

20.（2022春,吉林长春•高一长春市实验中学校考期末）已知在中，3=30。，AB=2-j3,AC=2,且ACwBC,

则AABC的面积为（）

A.上B.3C.26D.4A/3

21.（2022春•四川南充•高一统考期末）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,^b2+c2-a2^bc,

则sin（B+C）=（）

1212125

A.——B.——C.±-D.——

13131313

题型八：边角互化问题

22.（2023春•江苏常州•高一常州市第一中学校考期末）若（a+b+c）S+c-a）=30c,且sinA=2sin8cosC,那么

△ABC是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

23.（2022春•四川绵阳•高一统考期末）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin（C-S）=2sinBcosC,

_&2sinA+Z?sinB=csinC,则（）

A.2B.4C.6D.8

24.（2022春•内蒙古包头•高一统考期末）已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,则下列说法中错误

的是（）

cosAcosBcosC„.、口号•、,一

A.若——=^—=——，则一定是等边二角形

abc

B.若Z?cosB=acosA,则AABC一定是等腰三角形

C.若acos_B+Z?cosA=a,则AABC一定是等腰三角形

D.若/+°2</,则“IBC一定是钝角三角形

题型九:三角形的面积公式问题

25.（2022春・湖南长沙•高一长沙一中校考期末）在AABC中，内角4瓦。的对边分别为“力,。，若"LBC的面积为S,

且a=l,4y/3S=b2+c2-l,则ULBC外接圆的面积为（）

71八,

A.—B.兀C.2兀D.4兀

2

26.（2022春・河南安阳•高一统考期末）在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,a2+b2=c2-ab,

且AB边上的中线CD=1,贝面积的最大值为（）

A.6B.后C.3D.2石

27.（2022春•吉林白山•高一统考期末）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的面积为而'，

且b=2y/^,cosB=i，则AABC的周长为（）

A.10小B.8A/5C.40+26D.2回+2小

题型十：解三角形的综合问题

28.（2023春・江苏苏州•高一统考期末）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,C,且

ba—cc

-----------------=----------1-------------------.

sinA+sinCsin3sinA+sinC

①求角A的大小；

⑵若a=26cos3,a=3,求8c边上中线的长.

29.（2023春•江苏盐城•高一江苏省响水中学校考期末）在A/RC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

Z?sin2£+csin2^=3bc

222(Z?+c+〃)，

⑴求角A的大小;

(2)若c>",求根=0或的取值范围.

C

30.(2023春•河南焦作•高一统考期末)已知在44BC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，且:^一=--

2b—acosA

(1)求C；

(2)若。=Lb=3,CD为/ACS的平分线，求8的长；

(3)若acos3+bcosA=2,且44BC为锐角三角形，求“LBC面积的取值范围.

【专题突破】

一、单选题

31.(2023秋•云南昆明•高一云南民族大学附属中学校考期末)已知非零向量Z,瓦黑则"72=加""是"2=y的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

32.(2023春•江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期末)在"RC中，角4BC的对边分别为a,b,c,已知

c=2A/5,且2asinCcos3=asinA-bsin3+或6sinC,点。满足函+砺+兀=0，cosZCAO=-,则AABC的面

28

积为

A.rB.3A/5C.50D.底

33.(2023秋•辽宁沈阳・高一沈阳铁路实验中学校考期末)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图"

给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图"，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方

形，如图所示.在“赵爽弦图"中，已知理=3前，肉=%而=3,则族=()

D

129一B,+上方c.3+酎34f

A.——a+——bD.-a+-b

252525255555

34.（2023春・江苏无锡・高一辅仁高中校考期末）两个粒子A,3从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移

分别为以=（4,3）,^=（-2,6）,则或在以上的投影向量的长度为（）

35.（2023秋•辽宁沈阳•高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量£=（6/），B=（O,-l）,c=（k^）,若£一2万与Z

共线，贝1］左=（）

A.4B.3C.2D.1

36.（2023秋•江苏无锡•高一无锡市第一中学校考期末）已知外接圆圆心为。，半径为1,2AO=AB+AC，

且四词=|祠，则向量荏在向量就上的投影向量为（）

3uumAi_.3_

A.-BCB.^-BCC.-BCD.——BCk

4444

37.（2023春・浙江丽水•高一统考期末）如图，A、B、C三点在半径为1的圆。上运动，且AC13C,M是圆。外

一点，OM=2,则|凉+砺+2国的最大值是（）

38.（2023春•江苏南通•高一校考期末）已知M点在AABC所在的平面内，满足

OM=OA+A（^^--+—）（2eR）,则动点M的轨迹一定通过“的。的（）

|AB|sinB|AC\sinC

A.内心B.垂心C.外心D.重心

39.（2023春•四川成都•高一成都外国语学校校考期末）记AA6C的内角A,8,C的对边分别为a,6,c,ZABC=—

0

。是AC边上一点，且满足8£>_LBC,BD=\.则ac的最小值为（）

A.4A/3B.8A/3C.4D.8

40.（2023春•江苏镇江・高一扬中市第二高级中学校考期末）已知回A3C的内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,满足

AL「「

a1+c2+ac-b2=0,则—tan3cos2工―2石sinBsinkcos彳的取值范围为（）

222

B.

D.（乌更）

44

二、多选题

41.（2023春•江苏南通・高一期末）下列命题为真命题的有（）

A.已知非零向量石，c,若值〃5,bIIc,贝！〃乙

B.若四边形A3CQ中有福=配，则四边形A8CD为平行四边形

C.已知弓=（2,-3）,e2=（4,-6）,6,々可以作为平面向量的一组基底

D.已知向量苕=（2,4）,5=（-1,2）,则向量G在向量3上的投影向量为（-g,g）

42.（2023春•浙江温州•高一统考期末）平面向量£,b,"满足同=1,忖=2,£与后夹角为且口-4=忸-"|,

则下列结论正确的是（）

A.H的最小值为孝B.归-0+吊的最小值为22

C.1-中忸-4的最大值为右D.入际工）的最大值为1

43.（2023春・浙江衢州•高一统考期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正

八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形A3CDEFGH的边长为2,P是正八边形

ABCDEFGH边上任意一点、,则下列说法正确的是（）

图1图2

A.若函数〃尤）=|砺-无希J,则函数的最小值为2+&

B.西.而的最大值为12+80

C.而在市方向上的投影向量为-丝

2

D.OA+OC=^OB

44.（2023春・江苏苏州•高一统考期末）在AABC中，。，b,c分别为角A,B,C的对边，下列叙述正确的是（）

/7h

A.若则"LBC为等腰三角形

cosBcosA

B.已知a=2,A=60。，则一丝劣一=迪

sinB+2sinC3

C.若A>B,则sinA>sinB

D.若sinA:sin5:sinC=2:3:4,则^ABC为锐角三角形

45.（2023春,福建南平•高一期末）在AABC中，。，6,C分别为角A,B,C的对边，已知=也,

cosC2a-cwe4

且人=若，贝lj（）

A.cosB=—B.cosB--

2