函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（10题型+高分技法+限时提升练）解析版-2025年高考数学复习专练（新高考）

热点2-2函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

近三年高考中，对函数基本性质的考查以选择题和预计2025年高考仍将重点考查函数的单调性、奇

填空题为主，偶尔也会在解答题中渗透考查，分值偶性、周期性与对称性，尤其是这些性质的综合应

的占比相对稳定，是高考必考且重点考查的内容之用.可能会继续将函数性质与其他数学知识如导

一.常将函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性数、不等式、数列等结合考查，增加题目的综合性

结合在一起考查，同时还可能与函数图像、函数零和难度.在保持传统考查方式的基础上，可能会进

点、不等式等知识综合命题.虽然考查形式多样且一步创新命题形式，如设计一些新颖的函数模型或

综合性强，但题目多基于对函数基本性质的理解和实际应用背景，考查学生运用函数性质解决实际问

应用，部分题目在命题形式和考查角度上具有一定题的能力.

创新性.

热点题型解读

题型1函数单调性（单调区间）的判定题型6利用单调奇偶比较大小

题型2利用函数的单调性求参数题型7利用单调奇偶解不等式

题型3函数奇偶性的判定题型8函数的周期性及应用

题型4利用函数奇偶性求值求参题型9函数的对称性及应用

题型5"M+N.中值模型的应用题型10函数性质的综合应用

题型1函数的单调性（单调区间）的判定

I-------------------------------'"1"---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------、

\I-0U*i

i判断函数的单调性的4种方法

ii

1,定义法：按照取值、作差变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；

2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单i

调性；

3、直接法：利用已知的结论，直接得出函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均

I

可直接得到

4、导数法：先求导函数，利用导数值的正负确定函数的单调性；

5、性质法：（1）对于有基本初等函数的和、差构成的函数，根据“加减”的性质进行判断；（2）针对一些1

I

简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性.

I

【注意】求函数的单调区间，尤其是复合函数的单调区间，一定要注意原相应函数的定义域.

1.（23-24高三上.江苏南通・月考）函数/四=口^与的单调递减区间是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[2,+8）D.（-oo,2]

【答案】A

【解析】函数/（x）=J-2-2X中,-尤2-2x20,解得-2WxW0,

又y=—x?—2x的开口向下，对称轴方程为x=-l,

函数y=—必―2x在上单调递减，在[-2,-1]上单调递增，又>=«在上单调递增,

因此函数/«=b-2x在[-1,0]上单调递减，在[-2,-1]上单调递增,

所以函数的单调递减区间是[-1,0].故选：A

2.（24-25高三上•广东普宁・月考）函数g（x）=x-|x-l|+l的单调减区间为（）

1

A.-oo,—B.C.[1,+8)D.-00,2][1,+00

2

【答案】B

丫2_丫।1丫1

【解析】g(x)=x-|x-l|+l=2一'",画出函数图象，如图所示:

—X+x+l,x<1

根据图象知：函数的单调减区间为g，l.故选：B.

3.（23-24高三上•浙江绍兴•期末）函数y=ln（尤2-2x）的单调递减区间是（）

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(2,+oo)

【答案】C

【解析】由y=ln(/-2x),

.\X2-2X>0,解得x<0或%>2,

所以函数y=In(d-2x)的定义域为(-w,o)L(2,+8),

令叼=尤2_2h则函数"=/-2尤在(9,0)上单调递减，在(2,y)上单调递增,

而函数y=In”在(0,+8)上为增函数，

由复合函数单调性可得y=ln(x2-2x)的单调递减区间为(-8,0).故选：C.

4.(24-25高三上•四川宜宾•一模)下列函数中，既是奇函数，又(。,+")在是增函数的是()

A./(x)=e'+e-xB./(x)=ex-e-lC./(x)=x-3D,〃x)=xl小

【答案】B

【解析】对于A,7(f)=eT+e'=_f(x)J(x)是偶函数，不满足条件.

对于B,/(-%)=e-A-ev=一(e'一小)=-/(%),函数/(尤)是奇函数，由于y=e',y=一1

均在(。,+回单调递增，故〃x)=e-er在(0,+“)单调递增，符合条件，

对于C,/(-%)=(T尸=_小=_/(》)，则f(x)是奇函数，

.y=三在(0,+e)单调递增，且为正，.•.函数〃x)=x-3=g在(0,+8)单调递减，不满足条件.

对于D,f(~x)=-xln\-x\=-xln|x|=-f(x),函数/(%)是奇函数，当％>0时，/(x)=xlnx,

/(1)=|ln|=-1ln2-/(；)=%n；=-；ln2,此时［［卜/［；］,不是增函数，不满足条件.

故选：B.

题型2利用函数的单调性求参数

利用单调性求参数的三种情况：

1、直接利用题意条件和单调性代入求参；

2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；

3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题.

1.（24-25高三上•陕西渭南・月考）若函数〃%）=1。8。,5（办-炉）在区间（_1,0）上单调递增，贝壮的取值范围

是（）

A.（0,2]B.[—2,0）C.[2,+co）D.2]

【答案】D

【解析】由于y=logo_5X在（0，+8）上单调递减，令/=一尤2+奴，%e（-l,o）,

因为y=log。/为减函数，又/'（x）=log。，（依-X?）在区间（T，。）上单调递增，

由复合函数的单调性法则可知，t=-d+依在（-1,0）上单调递减，

且y-/+办>。在（-1,0）上恒成立，因为/=一尤2+依为二次函数，开口向下，

对称轴为天=（由仁-尤2+奴在㈠⑼上单调递减，可得了-I,解得qV-2,

由f=-尤2+ax>0在（-1,0）上恒成立，即如>必，%e（-l,0）,

可得。<x在（—1,0）上恒成立，则

综上，实数a的取值范围为（f,-2].故选：D.

已知函数〃x）=3俨：办+5）在区间（1,4）单调递减,则。的取值范围

2.（24-25IWJ二上,山西大同・月考）

是（）

A.(-a>,2]B.(f,4)C.[2,4)D.[4,+oo)

【答案】A

【解析】因为y=!在（0,+8）上单调递减,y=正在[0,+8）上单调递增,y=igX在定义域上单调递增,

X

要使函数“X）=而（二办+5）在区间（1，4）单调递减，

则y=/一。％+5在（1,4）单调递增且x2-ox+5>1在（1,4）恒成立,

_<1

所以2—,解得。02,所以，的取值范围是（』2].故选：A

12-«+5>1

、12ov-2,x<l,

3.（24-25高三上•甘肃•期末）已知函数/（无）=工满足Vx”/eR且无产斗,

[<7,X>1

（马一国）"（）—/（々）]<。贝口的取值范围为（）

A.（0,1）B.（1,+⑹C.（1,2]D.（0,1）0（1,+«））

【答案】C

【解析】依题意，函数/(X)满足％，尤2CR且X产马，

(占一%)[/(周)一/'(%)]>0,则于(玲是R上的增函数,

〃>0

因止匕<a>l,解得lva42,

2a-2<a

所以〃的取值范围为(1,2].故选：C

2x+4,x<a

4.(24-25高三上•江苏南京•期中)已知函数〃x)=在R上单调递增，则实数，的取值范围是(

x2+l,x>a)

A.(-1,3]B.(9,3]C.[3,+oo)D.(-oo,-l]u[3,+<»)

【答案】C

2x+4,x<a

【解析】已知函数/(%)=21，当％<a时,

x+l,x>a

〃x)=2x+4单调递增，所以最大值为2a+4；

当x>a且a>0时，“司=》2+l在(a,yo)上单调递增，最小值为"+1；

/、[2x+4,x<a

所以要使函数〃%)=2।在R上单调递增，

贝！Ja?+122Q+4,解得3或aW-I(舍去).故选：C.

题型3函数奇偶性的判定

।—这

I、函数奇偶性的判断方法

(D定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若

函数的定义域是关于原点对称的，再判断了(-x)与±/(x)之一是否相等.

(2)图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称.

(3)性质法：同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇.

2、常见的奇函数与偶函数

(I)f(x)=ax+ax(。〉0且。20)为偶函数；

(2)f[x}=ax-ax(。〉0且。20)为奇函数；

x_x2x-]

(3)y(x)=—a—a—=—a——(。>0且。20)为奇函数；

a+a'ax+I

b—Y

(4)/(x)=logfl----(”>0且4/0,/?/0)为奇函数；

b+x

(5)/(x)=log：(Jx?+1±尤)(a>0且a20)为奇函数;

(6)/(%)=麻+4+同一”为偶函数；

(7)/(%)=麻+耳一向一同为奇函数.

1.(24-25高三上•天津北辰・期末)下列函数中，图象关于原点对称的是()

A.y=ex+e-xB.y=ex-e~xC.»=尤2-2尤D.y=x2cosx

【答案】B

【解析】由函数图象关于原点对称，可得函数是奇函数，

对于A,y=定义域为R,

A

/(_x)=e-+e^=e+e-=/(%),故y=e，+6-，为偶函数，其图象关于>轴对称，A错；

对于B,y=e^:-eT定义域为R,

且"r)=eT_e，=-(e—eT)=_〃x),故y=e*-e7为奇函数，其图象关于原点对称，B正确;

对于C,y=/-2x定义域为R,

但其图象为开口向上的抛物线，且对称轴为尤=1,

所以y=f-2尤既不是奇函数又不是偶函数，C错；

对于D,y=x2cosx定义域为R,

{1/(-x)=(-x)2cos(-x)=x2cosx=/(%),故yu/cosx为偶函数，其图象关于>轴对称，D错.

故选：B.

2.(24-25高三上•四川自贡•期中)下列函数是偶函数的是()

2x22

A.y=co&x-xB.y=e-xC.y=log2Nx+1-xjD.y=sinx+4尤

【答案】A

【解析】/(x)=cosx—彳2的定义域为R,JEL/(-x)=cos(-x)-(-x)2=cosx-x2=/(x),

故/1(Hucosx-x2为偶函数，A正确；

B选项，g(x)=e-x2的定义域为R,g(-无)=--(-可2=±-丁，

g(f)Hg(x)，故g(x)=e*-V不为偶函数,B错误；

C选项，♦(元)=1°82(5/+1—尤)的定义域为口,

=log+1_X2)-

/z(-x)+/i(x)=log220,

故/7(X)=log2(A/TW-q是奇函数，C错误；

D选项，［x)=sinx+4x的定义域为R,_Et(-x)=sin(-x)-4x=-(sinx+4x)=-t(x),

故《x)=sinx+4x为奇函数，D错误.故选：A

f+3x+4

3.（24-25高三上•青海・期中）设函数,则下列函数为奇函数的是（

%?+2%+3

A./(x+l)+lB./(x+l)-l

c.D.

【答案】c

彳2+3尤+4_(无2+2x+3)+(x+l)x+l1

【解析】/（%）=--------n——+l

%2+2%+3炉+2x+3(x+l)2+2

所以/（xT）+"TT）=7Tl+i+^77i+i=2,

所以函数“X）的图象关于（Tl）对称，

所以〃x-l）-1的图象关于（0,0）对称，是奇函数.故选：C

4.（24-25高三上•河北邢台・月考）已知函数f（x）的定义域是R,则下列命题中不正确的是（

A.若外"是偶函数，g（x）为奇函数，贝株（〃力）是偶函数

B.若〃x）是偶函数，g（尤）为奇函数，则〃g（x））是偶函数

C.若f（x）是单调递减函数，则/■（/（》））也是单调递减函数

D.若/（X）是单调递增函数，则/（/（》））也是单调递增函数

【答案】C

【解析】对于A,令，7（x）=g（/（x））,贝|]/7（-X）=g（〃-X））=g（/（x））=/7（x）,

所以〃（X）为偶函数，即g（f（x））是偶函数，故A正确；

对于B,令加尤）=/（g（x））,则〃2（-_1）=/（8（-切=/（一8（动=/（8（动，

所以巩无）是偶函数，即/（g（x））是偶函数，故B正确；

对于C,取〃x）=-x,则在R上单调递减，

则/（/（》））=/（-x）=尤，在R上单调递增，故C错误；

对于D,因为是单调递增函数，任取占,％eR,且占<%，

则以A)<f(x2),所以/(/(&))<(7(/))，

所以/(/(元))也是单调递增函数，故D正确.故选：C.

题型4利用函数奇偶性求值求参

.■immaMBmmHiiMamHiaMmiaiflMimMimHiaBiiBmaMiaaiaiamaimBMaBimmBaBmamaiBaaamaBimaMaBaBimmBaimmaMiamaiiMiiMiHiaaimmmaBiiHimaMmmaHiammBimaaiiHim・・・・・■・・・・・・^y

i

3、由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据/(—%)=—/(X)或/(—%)=/(%),利用待;

定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数.

2、由函数的奇偶性求函数值：若所给的函数具有奇偶性，则直接利用/(-x)=-/(%)或/(-x)=/(x)求

解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值.

1.(24-25高三上•江苏盐城・月考)已知/(无)是定义在R上的奇函数，当xe(0,+8)时，/=logi,则

3

f(-9)=()

A.2B.3C.-2D.-3

【答案】A

【解析】因/(尤)是定义在R上的奇函数，则/(-9)=-/(9)=-1。8工9=1。839=2.故选：A

3

2.(24-25高三上•河南南阳・月考)已知定义在R上的偶函数/'(x)满足当xe[O,+8)时，

/⑺大f2+-1x,0,x—>2,2,则/,(“.一2、)、)=——.

【答案】1

【解析】因/(x)是在R上的偶函数，贝1]/(-2)=/(2)=2-2=。，故/(〃_2))=/(0)=1.

3.(24-25高三上•湖南•月考)已知〃刈=早上是偶函数，则〃=()

2—1

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【解析】函数/。)=丝也的定义域为(3,0)-(0,+®),

2-1

2X-sinx2r-sin(-x)[2“-2(aT)」sinx八

由/(幻是偶函数，得/⑴-/(r)=二U,

2^-12一"_]2^-1

而sinx不恒等于0,则2*=2("T"恒成立，即尤=(。-1)彳恒成立，所以a=2.故选：A

4.(24-25高三上•安徽•期中)若〃x)=log4J--是奇函数，则/=()

A.|B.当C.&D,2

【答案】C

【解析】根据题意，已知/(x)=bg4「--a-》是奇函数，

1

当a=0时，/(x)=log4———b,

L-X

函数/(X)的定义域为{x\xX1},定义域不关于原点对称，

此时，函数/'(X)一定不是奇函数，故awo,

则有占一"0,且awO,变形可得(1-矶1一硝一切20,

所以x)=0的根为-1,解可得故/(x)=log4J——\-b,

2Y—x2

又因为“X)为奇函数，则有〃T)+/(X)=O,

HPlog4J-—!-£>+log4」——g-b=0,

1+x21-x2

即一20+log4+log4=0,所以一2b+log4|l|=0,

2(1+x)2(1-町|4|

_2

即—26—1=0,故6=.所以/=U=VL故选：c.

题型5“M+N”中值模型的应用

1

；若函数/(x)=奇函数+a,则我们把它称为准奇函数，求准奇函数最大值+最小值之和(M+N),我们

把它叫做中值模型.

(1)若/(x)为奇函数,则其最大值与最小值和为0,即/(%)_+/(X)min=0；

M+M=0

(2)若/(%)为奇函数,则；

/(-xo)+/(xo)=O

'M+N=la

(3)常见考向y(x)=奇函数+

f(~x0)+f(x0)=2a

1.(24-25高三上•山东枣庄•期中)若函数=厂三；+sinx的最大值为M,最小值为N,则M+N=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】/(x)=X++sinx=—+sinx+1,xeR

')x2+lx2+l

令g(x)=^Tl+sinx，

因为函数/(x)=^-^±l+sinx的最大值为M,最小值为N,

所以函数g(x)的最大值为Af一1,最小值为N-1,

因为g(T)=-^―+sin(-x)=_--^――sinX=-g⑺，

人~।L4"T"i

所以函数g(》)=7、+sin尤是奇函数，

所以g(x)max+g(x)而n=°，即MT+N—1=。，所以M+N=2.故选：B.

2.(24-25高三上•河南•期中)已知函数〃9=黑、2+天+0(。为常数)，若外力在[-2,4]上的最大值

为M,最小值为加，且M+相=6,则。=()

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】因为〃x)=|^^+x+a=|^|^+Al+l+a，xe[-2,4]，

4>^=X-1G[-3,3],贝ij/(x)=g(/)=+/+1+。,

设W)=^^7+，，fe[—3,3],则h(f=s；([)T=-+r]=f(r),

乙十乙乙I*乙(乙-I乙J

所以。")是奇函数，最大值为M-(1+。)，最小值为根-。+〃)，

则"一(1+。)+小一(1+〃)=0,由"+刃=6,解得〃=2.故选：D.

3.(23-24高三上•安徽安庆・月考)设函数=在区间[-2,2]上的最大值为最小值为N,

则(M+N-1产3的值为.

【答案】1

【解析】由题意知，〃力==亨+««-2,2]),

设g(x)=^^,贝厅(x)=g(x)+l,

因为g(T)-x=_g(x),所以g(x)为奇函数，

所以g(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为0,故M+N=2,

所以(M+N-1产3=(2-1严3=].

故答案为：1.

4.(23-24高三下•上海徐汇・月考)若函数/(xhar+Wogza+Gnj+Z在(-8,0)上有最小值一5(。、b为

常数)，则函数f(x)在(0,E)上最大值为.

【答案】9

【解析】考虑函数g(虐=加+blog21+Jx。+1b定义域为R,

又g(—x)=ci(—x)+blog?[-x+~+])=—cix^+Z?log21j=—j—Z?log2(x+Jx，+1)=—g(x),

=0

所以g(尤)=加+61。82(尤+后旬是奇函数，则g(龙)111ax+8(4,-

设〃尤)的最大值为M，最小值为小，则〃?=-5,

3

又〃x)=ax+Z?log2(x+Jx，+1)+2=g(x)+2,

所以M=g(x)max+2，m=8(力神+2，

所以M+m=g(x)1mx+2+g(xL+2=4,

贝lJ"—5=4,所以M=9,

故答案为：9.

题型6利用单调奇偶比较大小

一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上

的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小.

1.（24-25高三上・甘肃兰州・月考）已知定义在R上的函数在（3,2）内为减函数,且〃x+2）为偶函数,

则的大小为（）

A./（-1）＜/（4）＜/^B./（4）＜/（-1）＜/[^

C.7[^＜/（4）＜/（-1）D./（-l）＜/[y]＜/（4）

【答案】B

【解析】/（尤+2）为偶函数，.♦./（x+2）=/（-x+2）,

・"⑷=/（0）,虑）寸目,

0＞-1＞-1,定义在R上的函数/（X）在（一叫2）内为减函数，

.•/（O）＜/（-l）＜/f-1\QP/（4）＜/（-l）＜/M,故选：B.

2.（24-25高三上•山东潍坊•月考）己知函数/（x）满足/（I-尤）=/（尤+3）,且/（%）在（0,2）上是增函数，则了⑴,

〃|），/（：）的大小顺序是（）

A./（i）＜/（|）＜/（|）

C./（|）＜/（1）＜/（1）

【答案】B

【解析】由函数/（尤）满足/（1一X）=/（元+?,得函数〃尤）的图象关于直线x=2对称,

1Q

显然/（1）=/§）,/（!）=/（!）.而已＜1＜9，/（X）在（0,2）上是增函数，

因此/§）＜“）＜〃!）,所以/g）vf（i）＜/（|）.故选:B

3.（24-25高三上•河北邯郸•模拟预测）已知〃无）在（1,+8）上单调递增，若〃x+l）为偶函数，。=/卜

°则（）

A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b

【答案】A

【解析】因为/(x+1)为偶函数，贝x+l)=/(x+l),

所以“X)关于X=1对称，所以=

令g(x)=e*-x-l,贝!|g<x)=e*-l,

当x>l时，g'(x)>0,所以g(x)在(1,+8)上单调递增，

所以g(x)>g(l)=e-2>。，即e*>x+l,所以e?>e?>]+1=],

7Q

当%>1时，由e">x+l得，x>ln(x+l),则5>1115,

由上可得1<ln|<：<丁，又/(x)在(1,+8)上单调递增,

所以小岗<吗)<小］即小

所以a>c>6.故选：A.

4.(24-25高三上•江苏镇江・月考)已知/(x)=V+x_sinx,g(x)为偶函数，当xNO时，g(x)=/(x),设

a>b>0,贝!]()

A./(a)+f(-b)>g(b)+g{-a)B./(。)+/(-6)>gS)-g(-a)

C.f(b)+f(-a)>g(a)+g(-b)D.f(b)+f(-a)>g(a)-g(-b)

【答案】B

【解析】f'{x)=3x2+1-cosx>0,/(-x)=(-x)3-x+sinx=-/(%),/(x)是在R上递增的奇函数，

当尤20时，g(x)=/(x),g(x)是偶函数,且xe(ro,0),g(x)单调递减,

且/⑷=g(a)，〃b)=g(6)，/(«)>于f(O)=0,g(a)>g(6)>。,

/(匕)+/(一。)=/(匕)—/(a)=g(6)—g(a)<g(a)+g(6)=g(a)+g(—b)，

/(b)+/(—a)=/(b)—/(a)=gGO—g(a)<0<g(a)-g(8)=g(a)—g(-8)

二C不成立,D不成立；/(-6)+/(a)=-/(b)+/(a)=—g(b)+g(a)<g(a)+g0)=g(-a)+g(b),

/(-6)+/(a)=-，(6)+/(a)=-g(8)+g(a)>0>-g(a)+g(6)=—g(—a)+g(8)

二A不成立，B成立；故选：B.

题型7利用单调奇偶解不等式

解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成/(&)>/(%)或</(x2)的形式，

i再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，歹卜

出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.

II

【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“了”时，需转化为含符，

号"尸’的形式.

1.(24-25高三上•天津红桥・期末)已知函数/(x)是定义在上R的偶函数，若对于任意不等实数石,々€[。,口),

不等式-恒成立,则不等式/(2x)>/(x-1)的解集为()

B.1|%<-1或%>」

D.<x\x<--^x>-

【答案】C

【解析】因为函数/■(》)是定义在R上的偶函数，贝|/(2x)>/(x—1)即为/(|2x|)>/(|x-l|),

对于任意不等实数占,务e[O,-H»),不等式(占-n)"5)-/1%)]<。恒成立，

可知/(X)在[0,+8)上单调递减，J.H>0,|x-l|>0,

可得因<上一1],解得故选：C.

2.(24-25高三上•河北邢台•期末)已知函数/■(*)是定义在R上的减函数，且为奇函数，对任意

的ae[-2,3],不等式-1)44恒成立，则实数/的取值范围是()

A.(-oo,3]B.[s]C.[13,+ao)D.1

【答案】B

【解析】令g(x)=〃尤一1)—2,则〃x)=g(x+l)+2,

由/(a-f)+/(/-1)<4,可得g(a-r+l)+2+g(/-1+1)+2<4,

即g(a-?+l)+g(a2)<0,g(67-Z+l)<-g(a2)=g(-a2).

因为〃尤)是定义在R上的减函数，所以g(x)也是定义在R上的减函数，

t^a-r+1>-a2,即

因为ae[-2,3],所以fW：,即实数/的取值范围是.故选：B

3.(24-25高三上•山东临沂・月考)已知函数人力是定义在R上的奇函数，〃尤)在(0,+8)上单调递增，且

"3)=0,则不等式(x—2)〃力<0的解集是()

A.(-oo,-3)U(2,3)B.(-3,0)U(2,3)

C._(3,+oo)D.(-3,0)(3,+oo)

【答案】B

【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，/(x)在(0,+8)上单调递增，

且"3)=0,则〃-3)=—〃3)=0,且该函数在(—,0)上为增函数，"0)=0,

当了<一3时，/(x)</(-3)=0；当一3cx<0时，/(x)>/(-3)=0；

当0<x<3时，/(%)</(3)=0；当x>3时，/(x)>/(3)=0.

因为(x—2)〃x)<0,

当x—2<0时，即x<2时，/(x)>0,贝I］一3<x<0或x>3,止匕时，一3<x<0；

当x—2>0时，即x>2时，/(%)<0,贝i|x<-3或0<x<3,此时，2Vx<3.

综上所述，不等式(x-2)〃x)<0的解集是(-3,0)11(2,3).故选：B.

4.(24-25高三上•山东德州•期末)己知函数无)是定义在R上的偶函数.V%1；x2e［0,-H»),且为力马，恒有

二㈤>T-若〃1)=1，则不等式的解集为()

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,-l)u(l,+co)D.(-1,1)

【答案】D

【解析】不妨设。4%<々，所以

则>一］=〃,)_〃%)<君一工；,

所以+<后+/(工2)，

令g(x)=『(x)+f，则g(%)<g(w)，

所以g(力=〃尤)+尤2在［0,+8)上单调递增,

又“X)是偶函数，所以g(-x)=〃-x)+x2=/⑺+f=g(x),

即g(力=〃尤)+V也是偶函数，则其在(9，0］上单调递减,

因为/(1)=1，所以g(l)=/(l)+f=2,

则"%)<2-公=>f(x)+x2<2=>g(x)<g(l),

所以国＜1,解之得久e(-1,1).故选：D

题型8函数的周期性及应用

0O日©

是不为0的常数)

(1)若〃X+Q)=/(X),则T=a；(2)若/(%+〃)=/(%-〃)，则7=2”；

]

(3)若/(x+a)=—/(九)，则T=2a；(4)若/(x+a)=〃x),则T=2a；

(5)若/(x+a)=-J^J，则T=2a；

(6)若/(x+a)=/(%+/?),则T=|a—@Qa手b)

£,、1+/(X)

⑺若/(x+a),则T—2a；(8)若/(x+a)=[:，则T—4a；

1+/W1-/W

1.(24-25高三上•四川华鎏・月考)设/(X)是定义域为R的奇函数,且/(l+x)=/(-%).若f

()

A.--B.--C.-D.-

3333

【答案】B

【解析】因为/(x)是定义域为R的奇函数，则"1+无)=/(r)=-〃力，

则—/(x+l)=f(x),故/(X)是以2为周期的周期函数,

由则/日71故选：B.

2.(24-25高三上•黑龙江・月考)已知〃无)是定义在R上的函数，且/(x+l)-〃x)=l+/(x+l)〃x),

"1)=2,则/(2024)=()

A.-2B.-3C.-D.1

32

【答案】C

【解析】因为〃龙+1)-〃尤)=1+/(尤+1)〃尤)，

所以当x=0时，/(l)-/(o)=l+/(l)/(o),又/'⑴=2,所以〃o)=g.

又由〃x+l)—〃x)=l+〃x+l)〃x),可得〃x+l)=三篇，

l+/(x)

1一仆)]

所以〃x+2)=〃(x+l)+l)=詈瑞

l+/(x)f(xY

l-〃x)

x

1(X+4)=〃(X+2)+2)=一〃1+2)=----\—=f()

故函数〃x)是以4为周期的函数，所以〃2024)=〃0)=g.故选：C.

3.(24-25高三上•甘肃临夏•期末)已知函数“X)的定义域为R,〃x)为偶函数，/(尤+1)为奇函数，且当

时,f(x)=x+b,则出卜()

A.-B.0C.—D.—1

22

【答案】A

【解析】因/(x)为偶函数,故〃-x)=/(x),又因〃x+D为奇函数，^f(-x+V)=-f(x+T),

则f(一x)=—f(x+2),故有/(x+2)=-/(x),

由/(x+4)=-f(x+2)=/(x)可得4是函数/(x)的一个周期.

又因/(X+D为奇函数，则函数“X)的图象关于点。,0)成中心对称，

因函数/(元)的定义域为R,则fm=l+b=0,解得6=一1,

故当xe[0,1]时，f{x}=x-1,

故佃

故选:A.

4.(24-25高三上•河北・月考)已知定义在R上的函数/(了)，满足了。-3)+/(5-x)=2,〃2元+2)为偶函

2023

数，/(无)满足"2)=2,贝|工/。)=.

«=1

【答案】2024

【解析】因为f(2x+为为偶函数,则“2x+2)=/(-2x+2),

所以函数/(x)的图象关于直线x=2对称，

因为/。-3)+/(5-x)=2,所以函数/(x)的图象关于点(1,1)中心对称，

所以函数/⑺的周期T=4x(2—1)=4,

令x=4,则/(4-3)+/(5-4)=2/⑴=2,得/⑴=1,贝I]/(3)=/⑴=1,

又"2)=2,令x=3,则/(3-3)+/(5-3)=/(0)+/(2)=2,得"0)=0,

则/(4)=/(0)=。，所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,