2025年中考数学总复习《四边形中最值问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《四边形中最值问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．

(1)当四边形是正方形时，求x的值；(2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；(3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小；(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________．2．在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点．(1)如图1，与，交于点，．①直接写出直线的解析式和点的坐标；②求证：四边形为菱形；(2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为．①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值．3．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．4．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．5．如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM．（1）AM+PM的最小值等于；（2）求证：△BNM是等边三角形；（3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上任意一点，连接AD，以点D为旋转中心，将线段DA顺时针旋转90°，点A的对应点是点E，连接AE，取AE的中点F，连接DF．（1）如图1，若∠CAD=30°，DF=6，求线段CD的长．（2）如图1，连接CF，求证：；（3）如图2，若AC=6，BC＝8，点D在线段BC上运动，点G在线段DE上运动，连接AG，取线段AG的中点P，连接BP、BF、PF，当线段PB最大时，直接写出△BPF的面积．7．如图，在菱形中，，，为对角线上一点（不与点、重合），过点作，使得，连接、、．（1）当时，求的长度．（2）如图，延长、交于点，求证：；（3）如图，连接，则的最小值是．8．如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算．9．在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．

10．如图所示，为平行四边形，，，，且，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．（1）求平行四边形的面积；（2）当点，，三点共线时，设与相交于点，求线段的长；（3）求线段的长度的最小值．11．如图1，四边形为边长为8的正方形，中，且．如图1所示放置，点与重合，在边上，将沿边方向平移，平移距离为个单位长度后，绕点逆时针旋转，旋转过程中点始终在四边形内部（含点落在正方形边上）．点为的中点且点到的距离为．，，，

(1)当时，旋转度时，点到的距离最小，最小值为．(2)如图2，当时，经过旋转后，点落在边上，请求出此时点到边的距离（用含x的代数式表示）．(3)如图3，当时，经过旋转后，使点落在边上，求平移和旋转过程中边扫过的面积，并直接写出此过程中d的取值范围．(4)如图4，保持图1中的形状不变，改变它的大小，使，并将其沿边翻折后向下平移，使点与点重合，若将在正方形内部绕点逆时针方向旋转（顶点可以落在正方形的边上），请直接写出的d的最大值．12．如图1，在矩形中，，，点E在射线上运动，将沿翻折，使得点A与点G重合，连接交于点F．(1)【初步探究】当点G落在边上时，求的长；(2)【深入探究】在点E的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，点P为的中点，连接，点E在射线上运动过程中，求长的最大值．13．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．以，为邻边的平行四边形的边与交于点．设运动时间为，单位：s）．(1)当点M在上时，求t的值；(2)连接BE．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)连接BM，直接写出长的最小值．14．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若，在（2）的旋转过程中，①当为最大值时，则___________．②当为最小值时，则___________．15．如图，在等边中，为线段上一动点（不与、重合），连接．(1)如图1，若，，求线段的长；(2)如图2，为线段上一动点，满足，连接交于点，过点作平行且等于，连接，取中点，连接，求证：；(3)如图3，若，当取最小值时，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，请直接写出的最大值．（较容易）参考答案1．(1)(2)(3)①，②(4)【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识；（1）只要证明即可解决问题；（2）如图，连接，作于，想办法证明，可得，由此即可解决问题；（3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，．②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小；（4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长．【详解】（1）四边形是正方形，，，，，，∴，，．，，．故答案为：．（2）如图，连接，作于，则，，

四边形是菱形，，，，矩形中，，，，即，，，，，．与的函数关系式；（3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，

在中，，的最大值．②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小，此时易证，，，；故答案为：①，②．（4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，即点运动的路线长的长，故答案为：．2．(1)①；②见解析(2)①当时，重叠部分是菱形，此时；当时，此时；②【分析】（1）①根据，，计算；结合平行四边形，得到，结合，得到点C与点D的纵坐标相同即，设直线的解析式为，代入解答即可；根据，得到点，代入解析式解答即可．②过点H作于点Q，根据平行四边形，得到，根据矩形得到，得证四边形为平行四边形．根据坐标，得到，据勾股定理，得，结合，得到，得证四边形为菱形；（2）①设直线的解析式为，确定解析式，过点G作于点P，则，当时，重叠部分是菱形，此时；过点H作于点N，当时，重叠部分是四边形，此时；②过点N作，交于点Q，则四边形是平行四边形，，当E，N，Q三点共线时，取得最小值，解答即可．【详解】（1）解：①∵，，∴；∵平行四边形，得到，，∴点C与点D的纵坐标相同即，设直线的解析式为，解得，故的解析式为．∵矩形的顶点，设点，代入解析式，得，解得，故点．②过点H作于点Q，∵平行四边形，∴，∵矩形∴，∴四边形为平行四边形．∵，∴，据勾股定理，得，∵，∴,∴四边形为菱形．（2）①∵，，设直线的解析式为，解得，故的解析式为．∵矩形的顶点，设点，代入解析式，得，解得，故点．过点G作于点P，则，当时，重叠部分是菱形，此时；过点H作于点N，∵，，当时，重叠部分是四边形，此时，，；此时；②根据题意，得的中点为，矩形对角线的交点为，则直线是矩形的对称轴，∴，∵，∴；∴；∴，，过点N作，交于点Q，则四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∵，∴当E，N，Q三点共线时，取得最小值，设与的交点为R，根据题意，得，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，，过点H作于点P，则四边形是矩形，∴；，∵，，∴，∴，∴，此时的值为：．【点睛】本题考查了待定系数法，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定，三角形中位线定理的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定是解题的关键．3．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）利用全等三角形的性质证明，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论；（2）如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，证明四边形是正方形，推出，再证明，可得结论；（3）如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接，过点作于点，过点作于，交于点，交于点．由，推出，由，推出的最小值，求出，即可解决问题．【详解】（1）解：如图1中，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，，，．（2）证明：如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得．由（1）可知，，，，，，，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，四边形是菱形，，关于对称，，，，，，，，，，，，，，．（3）如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接，，点在以为直径的圆上运动，四边形是菱形，，是等边三角形，，，，，，是等腰直角三角形，过点作于点，过点作于，交于点，交于点．，，，，，的最小值，是等边三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，的最小值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考压轴题．4．(1)见解析(2)4(3)7【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．5．（1）；（2）见解析；（3），【分析】（1）如图①中，连接PC．利用勾股定理求出PC，再证明AM=MC，推出AM+PM=PM+CM≥PC，由此可得结论．（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．（3）首先说明E，N，M，C共线时，AM+BM+CM的值最小，此时点M在EC与BD的交点处，求出直线EC，BD的解析式，构建方程组可得结论．【详解】解：（1）如图①中，连接．四边形是正方形，，，，是的中点，，，，，，，，，，，的最小值为．故答案为：．（2）证明：由旋转的性质可知，，是等边三角形．（3）解：如图②中，过点作轴于，连接．由旋转的性质可知，，是等边三角形，，，，，，，共线时，的值最小，此时点在与的交点处，，，，，，，，，，设直线解析式为，则有，解得，，同法可得直线的解析式为，由，解得，，．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的应用，最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．6．（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）由题知为等腰直角三角形，根据，算出，再利用特殊角三角函数求出即可；（2）过作交延长线于，根据证，即可得出结论；（3）根据题意知，当点向右移动，点向右上移动时变大，当点向左，点向左下移动时也变大，分别求出两种情况的最大值，再比较得出的最大值，然后根据面积公式求出三角形面积即可．【详解】解：（1）由旋转知，为等腰直角三角形，，，又，；（2）过点作交延长线于，，，，为等腰直角三角形，点为其斜边上的中点，，，，，又，，，在和中，，，，，为等腰直角三角形，，即；（3）根据题意知，当点向右移动，点向右上移动时变大，当点向左，点向左下移动时也变大，取两种情况下的最大值再比较大小，确定的最大值，①当与重合，与重合时，如图3，此时，，②当，，三点重合时，如图4，，，，，当，，三点重合时，即图4情况下最大，此时，为的中位线，，，即当最大时，的面积是．【点睛】本题主要考查特殊角三角函数，全等三角形的判定和性质，图形的旋转等知识点，用临界值法找出PB的最大值是解题的关键．7．（1）1；（2）证明见解析；（3）3【分析】（1）过点作与点，根据菱形的性质得到，侧H是CD的中点，利用锐角三角函数求出DM的长；（2）证明，可以得到，再根据菱形和平行四边形的性质证明，，就可以得到；（3）连接，作过对称点，连结，利用轴对称的性质得到，的最小值就是．【详解】（1）如图，过点作与点，四边形是菱形，平分，，，，在中，，；（2），，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，；（3）如图，∵四边形ABCD是菱形，∴，，∵，∴，∴，连接CN并延长交AB的延长线于点P，∵，，∴四边形CDMN是平行四边形，∴当点M从点D向点B运动时，点N从点C向点P运动，，由（2）知，四边形ABNM是平行四边形，∴，∴，而最小，即最小，作点B关于CP的对称点，当点A、N、在同一条直线上的时候，最小，即的最小值为，连接、，由对称得，，∴是等边三角形，过点作于点Q，∴，∴，∴，在中，根据勾股定理得，∴最小值是3．【点睛】本题考查平行四边形和菱形的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，以及线段和最小问题，解题的关键是掌握这些几何的性质定理，掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法，用轴对称的性质求线段和最小值的方法．8．（1）见解析；（2）作图见解析，【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形，根据折叠的性质得到，然后又菱形的判定定理即可得到结论；（2）由四边形是平行四边形，得到是菱形，推出与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过作于，解直角三角形得到，，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：证明：（1）将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形；，，，，是菱形；（2）四边形是菱形，与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过作于，，，，，，，，的最小值为．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（1）90，45；（2）；（3）【分析】（1）当点与点重合时，是的中垂线，得出；当点与点重合时，此时；（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度；（3）连接，设．由折叠知：，，，证明，得出，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）当点P与点A重合时，如图4，是AD的中垂线，．

当点E与点A重合时，如图5，此时，

故答案为：；．（2）如图6所示，连接，则是的中垂线，∴，在中，，即，当点与点重合时，；当与重合时，的值最小，连接，由折叠的性质得：，在中，由勾股定理得，∴，∴线段的取值范围是．故答案为：．

（3）如图7所示，连接，设．由折叠知：，，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，，在中，，∴，解得．∴．

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．10．（1）300；（2）；（3）【分析】（1）如图所示，过点作交的延长线于点，先根据现有条件求出AK，然后即可求出平行四边形的面积；（2）如图所示，延长到使得，先证明得出，，，再证明，得出即可求出BG；（3）如图所示，作点关于直线的对称点，连接、、，以为圆心，为半径作圆，根据已知推出点在与直线夹角为且经过点的直线上运动，设直线与交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，过点作于，当点与重合时，取得最小值，易得，然后证明为等腰三角形，求出，，，，，根据得出即可求出答案．【详解】（1）如图所示，过点作交的延长线于点，，，，，，，平行四边形的面积为；（2）如图所示，延长到使得，，，，，，又，，由，，，，，，，由（1）得，在中，，，，，，，，，；（3）如图所示，作点关于直线的对称点，连接、、，以为圆心，为半径作圆，，点、在上，，，点在与直线夹角为且经过点的直线上运动，设直线与交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，过点作于，当点与重合时，取得最小值，易得，，又，，为等腰三角形，，由（2）得，，，又，，在中，，由，，，，即的长度的最小值是．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用几何图形的性质是解题的关键．11．(1)90；4(2)(3)(4)【分析】（1）利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；（2）过点作的平行线，分别交，于点，，利用相似三角形的判定与性质求得，则此时点到边的距离为；（3）过点作的平行线，分别交，于点，，连接，利用矩形的判定与性质和三角形的中位线定理求得，则的最大值可求；当时，经过旋转后，使点落到边上，平移和旋转过程中边扫过的面积为一个矩形和一个以点为圆心，为半径的扇形的和，分别计算矩形与扇形面积即可；设交于点，由题意可知的最小值为，则的取值范围可得；（4）设在正方形内部绕点逆时针方向旋转，点落在边上的处，点旋转至点处，过点作于点，则的最大值为，利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．【详解】（1）解：中，，，，．当时，旋转到点落在上时，点到的距离最小，旋转90度时，点到的距离最小，最小值为．故答案为：90；4；（2）如图，当时，经过旋转后，点落在边上，过点作的平行线，分别交，于点，，

则四边形为矩形，，，，，，，，，．由题意得：，，，，，，．点到边的距离为；（3）过点作的平行线，分别交，于点，，连接，如图，

则四边形为矩形，，为的中点，，，的最大值为．，，，当时，经过旋转后，使点落到边上，平移和旋转过程中边扫过的面积为一个矩形和一个以点为圆心，为半径的扇形的和，此时，，，设旋转后点落在点处，则，

，，，，的旋转角度为，．平移和旋转过程中边扫过的面积．设交于点，，则的最小值为．此过程中的取值范围为：．（4），，，．设在正方形内部绕点逆时针方向旋转，点落在边上的处，点旋转至点处，如图，

则点旋转至处时，取得最大值，，，．过点作于点，则的最大值为．，点为的中点，，．在中，，，，，旋转角为，，，，在中，，，的最大值为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，图形的平移与旋转的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，扇形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．12．(1)(2)在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为(3)点在射线上运动过程中，长的最大值为【分析】（1）由翻折得：，根据勾股定理可得，再由，即可求得答案；（2）以为圆心，长为半径作，可得点在上运动，当点在线段上时，最小，此时，，由勾股定理可得，即可求得的最小值为；（3）以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，根据三角形中位线定理可得，则最大时，最大，由于点在上运动，当经过点时，最大，即可求得答案．【详解】（1）当点落在边上时，如图1，四边形是矩形，，，，由翻折得：，在中，，；（2）如图2，以为圆心，长为半径作，由翻折得：，点在上运动，当点在线段上时，最小，此时，，在中，，，故在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为；（3）如图3，以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，

，点是的中点，点为的中点，是的中位线，，则最大时，最大，

由翻折得：，点在上运动，当经过点时，最大，如图4，在中，，，，故点在射线上运动过程中，长的最大值为．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，圆的有关性质，点到圆上各点距离的最大值和最小值的应用，解决问题的关键是运用三角形中位线定理和圆中的最值．13．(1)；(2)，S的最大值为10；(3)存在，；(4)．【分析】（1）证明，则，即可求解；（2）由，即可求解；（3）当点在的平分线上时，则，在中，，即可求解；（4）当点Q与点D重合时，点P到达线段的中点，点M到达线段的中点，点M始终在射线上，过点B作，当点M与点重合时，线段最短，据此求解即可．【详解】（1）由题意得：，，，，如下图，点在上时，，，，，，则，即，解得：；（2）如上图，，，四边形是菱形，则，，为等腰三角形，则，过点作于点，则，即，解得：，则，设中边上的高为，则，，故有最大值，当时，的最大值为10；（3）存在，理由：如下图，过点作于点，当点在的平分线上时，则，在中，，解得：．（4）如图，由题意得，当点Q与点D重合时，点P到达线段的中