2025年上海高考数学二轮复习：热点题型7 导数及其应用（七大题型）原卷版+解析

热点题型•选填题攻略

专题07导数及其应用(七大题型)

O----------------题型归纳•定方向----------♦>

题型012023-2024年高考+春考真题..............................................................1

题型02导数及其应用.........................................................................2

题型03导数的实际应用(含与立体几何、三角函数等结合)....................................2

题型04导数、抽象函数等综合.................................................................6

题型05求极限、分段函数问题.................................................................7

题型06导数与数列、空间向量与立体几何.....................................................8

题型07其他补充强化训练......................................................................9

♦>----------题型探析・明规律-----------♦>

【解题规律•提分快招】

1、求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

2、)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

⑶复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

3、求函数f(x)在闭区间［a,b］上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)

的各极值进行比较得到函数的最值.

4、若所给的闭区间［a,b］含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得

到函数f(x)的最值.

5、题源注明：因题源有限，导数的实际应用中，选用适量解答题来练习填选题

题型012023-2024年高考+春考真题

【典例1-1］.(2024•上海)已知函数/(x)的定义域为R,定义集合/={刈|刈611,尤e(-oo,刈)，/(x)

</(xo)},在使得1,1］的所有/(x)中，下列成立的是()

A.存在无)是偶函数

B.存在/(x)在x=2处取最大值

C.存在/(x)为严格增函数

D.存在/(x)在x=-1处取到极小值

【典例1-2］.(2024•上海)现定义如下：当xG(%w+1)时(”GN),若/(尤+1)=/(x),则称/(无)

为延展函数.现有，当xd(0,1)时，g(x)=/与/?(x)=f°均为延展函数，则以下结论()

(1)存在(k,Z>eR；k,毋0)与y=g(无)有无穷个交点

(2)存在(k,bGR；k,卬0)与y=/7(x)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.（1）成立（2）不成立D.（1）不成立（2）成立

【典例1-3].（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米,

坡面与水平面所成夹角为。.行人每沿着斜坡向上走消耗的体力为（1.025-cos。），欲使行人走上斜

坡所消耗的总体力最小，则。=.

题型02导数及其应用

【典例2-1].（24-25高三上•上海•阶段练习）已知函数y=，若（⑴=1,则lim"1+2/7）1）=_______.

20h

【典例2-2】•（24-25高三上•上海•阶段练习）设〃x）=tanx,则（]）=.

【变式2-1].（23-24高二下.上海•期中）函数〃力=*2—sinx在区间[0,句上的平均变化率为.

【变式2-2】.（25-26高三上•上海•单元测试）函数y=2/-6x+l的驻点为.

【变式2-3】.（23-24高二下•上海•期末）已知函数〃x）=l+x-sinx,xe（0,2兀），则该函数的严格增区间

是.

【变式2-4】.（24-25高三上•上海浦东新•阶段练习）已知函数〃力=/+2%，则“力在点处的切

线的倾斜角为.

【变式2-5】.（24-25高三上•上海•阶段练习）函数/（》）=/-2111苫在点（1,〃1））处的切线方程为.

【变式2-6].（2024•上海浦东新•三模）已知g（x）=一?为偶函数，若〃“）=11,贝心=_____.

"（无）,彳＜0

【变式2-7】.（23-24高二下•上海•阶段练习）若函数/（尤）=：无3+：尤2-彳+：在上存在严格减区间，

32612）

则m的取值范围是

题型03导数的实际应用（含与立体几何、三角函数等结合）

【典例3-1].（24-25高三・上海•随堂练习）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64兀，且用料最省，

则该圆柱形水桶的底面半径为.

【典例3-2].（23-24高三上.上海闵行•期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36%，

则该正四棱锥的体积最大值为.

【变式3-1】.（23-24高三上•上海嘉定・期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正

比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为左（左＞。）.现已知相距18km的A,8两家化工厂（污染源）

的污染强度分别为。，b,它们连线段上任意一点C处的污染指数了等于两化工厂对该处的污染指数之和.

设AC=x（km）（O＜x＜18）.若a=l,且x=6时，＞取得最小值，则人的值为.

【变式3-2】.（23-24高二下・上海•期末）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏

斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R,它的值是固定的.当炸药包埋的深度为可

使爆破体积最大.

炸药包

2

【变式3-3】.（23-24高二下.上海•期中）如图，用一块形状为半椭圆Y+'nKyNO）的铁皮截取一个以短

轴为底的等腰梯形记所得等腰梯形的面积为S,则S的最大值是

【变式3-4].（24-25高三上•上海•阶段练习）如图，某城市公园内有一矩形空地ABC。，AB=300m,

AD=180m,现规划在边A3,CD,ZM上分别取点E,F,G,且满足AE=跖，FG=GA,在AE4G内建

造喷泉瀑布，在A£FG内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则

当sinNA£G=时，栈道EG最短.

【变式3-51.（2025•上海高考复习•专题练习）如图所示，ABC。是边长为30c相的正方形硬纸片，切去阴

影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,

正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积V（cM）最大，则族的长为

【变式3-6】.（23-24高三下•上海•阶段练习）某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半

球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示,

两头是半圆形，中间区域是矩形ABC。，其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半

球体积之和.假设AD的长为2尤毫米.

（1）求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）y关于x的函数关系式；

（2）如何设计与相的长度，使得y最大？

【变式3-7】.（22-23高三上•上海虹口・期中）如图所示，由圆。的一段弧MPN（其中点P为圆弧的中点）

和线段构成的图形内有一个矩形ABC。和△PDC（其中AB在线段MN上，C、。两点在圆弧上），已

知圆。的半径为20,点P到的距离为25,设直线OC与的夹角为"

⑴用6分别表示矩形ABCD和APDC的面积，并确定sin6的取值范围；

⑵当。为何值时，S=4S矩形ABCD+3s△阳c有最大值，最大值是多少？

【变式3-8].（24-25高三上•上海•阶段练习）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下

拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需

另投入流动成本c（x）（万元）与In木成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要

流动成本ln2万元，每件产品的售价p（x）与产量x（台）的函数关系为耳龙）=一念+上+益（万元）（其

1UUX

中X210）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润=销售收入-生产成本）为“X）万元.

⑴求函数“X）的解析式；

⑵当产量X为何值时，该工厂的年利润“X）最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1）

【变式3-9】.（21-22高三下•上海浦东新•期中）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通48两地，A处

位于东西方向的直线MN上的陆地处’2处位于海上一个灯塔处’在A处用测角器测得在A

处正西方向1km的点C处，用测角器测得tanN3CN=l.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在

岸上选一点P,选匕BPN=6,先沿线段人尸在地下铺设，再沿线段尸8在水下铺设，预算

地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.

（1）求A、8两点间的距离；

（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.

【变式3-10].（2025•上海高考复习•专题练习）如图，某公园内有一半圆形人工湖，。为圆心，半径为1

千米.为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在AOCD区域种荷花，在AOBD区域建小型

水上项目.己知ZAOC=ZCOD=3.

（1）求四边形OCDB的面积（用。表示）；

（2）当四边形OCDB的面积最大时，求BD的长（最终结果可保留根号）.

【变式3-11].（2025•上海高考复习•专题练习）设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱A由GR-ABCD,

上部的形状是正四棱锥尸-A耳GQ,且该帐篷外接于球。（如图所示）.

P

（1）若正四棱柱A瓦G2-ABCD是棱长为2m的正方体，求该帐篷的顶点P到底面A2CD中心5的距离;

7T

⑵若该帐篷外接球。的半径3m,设NPOG=，,。€（0,万），该帐篷的体积为V,则当cosd为何值时，体积V

取得最大值.

题型04导数、抽象函数等综合

【典例4-1].（23-24高三上.上海虹口•期中）对于两个定义在R上的函数y=/（x）与y=g（x）,构造新函

数y=/?（尤）如下：对任意不eR,h（x0）=f（x0）+g（x0\现已知y=〃（无）是严格增函数，对于以下两个命题：

①>=/（尤）与y=g（x）中至少有一个是严格增函数；②y=/（x）与y=g（尤）中至少有一个函数无最大值.其

中（）

A.①和②都是真命题B.只有①是真命题

C.只有②是真命题D.没有真命题

【典例4-2].（2023.上海闵行.一模）已知函数y=与它的导函数y=/'（x）的定义域均为R,现有下

述两个命题：

①“y=/（x）为严格增函数”是“y=/'（%）为严格增函数”的必要非充分条件.

②"y=为奇函数”是“y=尸（力为偶函数”的充分非必要条件；

则说法正确的选项是（）

A.命题①和②均为真命题B.命题①为真命题，命题②为假命题

C.命题①为假命题，命题②为真命题D.命题①和②均为假命题

【变式4-1].（2024.上海.模拟预测）设正数不全相等，诋=1,函数〃x）=（l+/）（l+Z/）（l+c）关

于说法

①对任意G〃x）都为偶函数，

②对任意a,b,c,f（x）在[0.01,0.02]上严格单调递增，

以下判断正确的是（）

A.①、②都正确B.①正确、②错误C.①错误、②正确D.①、②都错误

【变式4-2].（2024.上海.模拟预测）定义集合河=同xoeR,xe（-«,xo）,/（x）</（xo））,在使得知=[-1,1]

的所有/（x）中，下列成立的是（）

A.存在/（x）是偶函数

B.存在/Xx）在x=2处取最大值

C.存在F。）严格增

D.存在f（x）在x=-l处取到极小值

【变式4-31.（2024.上海.三模）已知函数y=/（尤）的定义域为（0,2）,则下列条件中，能推出1一定不是

y=的极小值点的为（）

A.存在无穷多个(0,2),满足

B.对任意有理数%«0,1)。。，2),均有

C.函数y=〃尤)在区间(。,1)上为严格减函数，在区间(1,2)上为严格增函数

D.函数>=/(尤)在区间(0,1)上为严格增函数，在区间(L2)上为严格减函数

【变式4-4】.(24-25高三上•上海奉贤・期中)已知定义在R上的函数y=〃x),其导数为/'(x),记

g(x)=/'(x),且/'(x)-〃—x)=4x,g(x)+g(2—X)=0,则下列说法中正确的个数为()

①g(O)=l；②y=/(立的图象关于(0,2)对称;③〃力+/(2-x)=0；④fg㈤=〃-1

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式4-5】.(23-24高三上•上海浦东新•期中)已知函数/(%)为定义在R上的单调连续函数，/(1)=1,

函数尸("=""+2，,有以下两个命题：①存在函数“X)使得尤=1为函数尸(x)的极大值点:②若

尸对任意xeR恒成立，则/(2)=-1：则()

A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

【变式4-6】.(2024・上海•模拟预测)现定义如下:当尤«的+1)时(〃N),若〃x+l)=广⑺，则称/'(x)

为延展函数.已知当xe(O,l)时，g(x)=e'.且〃(力=储°,且g(x),/z(x)均为延展函数，则以下结论()

(1)存在丁=米+。化力eR,4力力0)与y=g(x)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k,beR,k,bw0)与y=h(x)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

题型05求极限、分段函数问题

【典例5-1].(21-22高二上•上海浦东新•阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，点列

=；(%+%)

%+i

A(，，%),4(%’%),,■■'4(V'?)-‘1两足':,若A(U)，则

%+i=5(X"-%)

我(。4|+|。匈+…+|。4|)=

尤，(%,2)

【变式5-1】.(23-24高二下•上海•期末)已知函数〃尤)=，22.”~,若在区间(1,y)上存

/2(_/+812)(尤>2)

在〃(〃..2)个不同的数周,不,…,尤“，使得/⑷=小口=…工⑷成立，则n的取值集合是.

玉工2%

题型06导数与数列、空间向量与立体几何

【典例6-1].(22-23高三下•上海杨浦•开学考试)无穷数列｛为｝满足：0<4<1,且对任意的正整数"，均

有e联=(3-4户”，则下列说法正确的是()

A.数列｛4｝为严格减数列B.存在正整数小使得。“<。

C.数列｛%｝中存在某一项为最大项D.存在正整数〃，使得%>耳

【变式6-1].(24-25高三上•上海黄浦•期末)设函数y=f(尤)在区间/上有导函数y=/'(%),且尸(x)<o在

区间/上恒成立，对任意的xe/,有对于各项均不相同的数列｛。“｝,qe/,«„+1=/(«„),下列

结论正确的是()

A.数列｛/.J与｛%“｝均是严格增数列

B.数列他与｛%｝均是严格减数列

C.数列｛%T｝与｛g“｝中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列

D.数列｛外,｝与均既不是严格增数列也不是严格减数列

【变式6-2].(2025•上海高考复习•专题练习)如图，在正方体4BCZ)-EFGH中，尸在棱上，BP=x,平

行于2。的直线/在正方形所G5内，点E到直线/的距离记为d,记二面角为A-/-P为仇已知初始状态下

x=0,d=Q,贝lj()

A.当尤增大时，。先增大后减小B.当x增大时，8先减小后增大

C.当d增大时，8先增大后减小D.当d增大时，。先减小后增大

题型07其他补充强化训练

【典例7-1】•(24-25高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习)已知函数〃x),g(x)的定义域为R,g'(x)

是g(x)的导数，且〃尤)+g'(x)=5,/(x-l)+g(5-x)=5,若g(x)为偶函数,则()

k=\

A.80B.75C.70D.65

【变式7-2】.(2024.青海•二模)已知定义在R上的函数/(x),其导数为尸(无)，且满足

f(x+y)^f(x)+f(y)+xy(x+y),=,/(1)=0,给出下列四个结论：①/⑺为奇函数；②

尸(10)=99；③"3)=3：④在(0,1)上单调递减.其中所有正确结论的序号为()

A.①②B.①③C.②③④D.①②④

【变式7-3].(24-25高三上•北京海淀•期中)已知函数/(好;等四，其定义域记为集合给

Inx

出下列四个结论：

①。=｛引x>0且xwl｝；

②若“6=1,则若3)-fS)|>l；

③存在。片6,使得/3)=/(力；

④对任意。，存在6使得/(«)+f3)=1.

其中所有正确结论的序号是.

0---------------题型通关•冲高考-----------♦>

一、填空题

1.(2023・上海徐汇・三模)对任意数集4=｛49，％｝，满足表达式为丁=^+/-1-1且值域为人的函数个数

为P.记所有可能的P的值组成集合B,则集合8中元素之和为.

2.(2021.上海.一模)若定义在N上的函数/(元),g(x)满足：存在使得/'(x0)<g(x0)成立，则称/(彳)

与g(x)在N上具有性质尸(fg),设函数/(x)="与g(x)=d,其中，a>0,已知/1(x)与g(x)在N上

不具有性质P(fg),将a的最小值记为劭.设有穷数列也｝满足々=1,加=l+a(”eN*,〃V504x[g]),

这里[⑸]表示不超过％的最大整数.若去掉抄“｝中的一项2后，剩下的所有项之和恰可表为小2(“zeN*),

b

则t+m的值为.

二、单选题

3.(2024・上海青浦二模)如图，已知直线>=云+"与函数y=/(x),xc(0,+8)的图象相切于两点，则函数

y=/(x)-丘有().

A.2个极大值点，1个极小值点B.3个极大值点，2个极小值点

C.2个极大值点，无极小值点D.3个极大值点，无极小值点

4.（2024.上海虹口二模）已知定义在R上的函数/（x）,g（x）的导数满足给出两个命题:

①对任意国,々eR,都有|/（为）-”工2）闫8（占）-8（%2）|；②若g（x）的值域为卜",切,/（一1）=根,〃1）=",

则对任意xeR都有=g（x）.

则下列判断正确的是（）

A.①②都是假命题B.①②都是真命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题

5.（2024.上海金山.二模）设/（X）=X3-3X,有如下两个命题:

①函数y=/（x）的图象与圆/+产=1有且只有两个公共点；

②存在唯一的正方形ABC。，其四个顶点都在函数y=/（x）的图象上.

则下列说法正确的是（）.

A.①正确，②正确B.①正确，②不正确

C.①不正确，②正确D.①不正确，②不正确

6.（2023・上海嘉定•一模）已知/'（x）=sinx+lnx,定义极值点数列：将该函数的极值点从小到大排列得到

的数列，对于任意的正整数小判断以下两个命题：（）

甲：此数列中每一项都在（2E+〃TI,2E+师+兀），左wZ中.

2n—1

乙：令极值点数列为｛%｝,则——5—无1｝为递减数列.

A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误

C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误

7.（2023.上海闵行.一模）已知函数,=的导函数为y=/'（x）,xeR,且y=7'（x）在R上为严格增函

数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）

①“为＞%”是“/&+1）+/（W）＞/（W）+/（々+1）”的充要条件;

②“对任意X＜0都有“X）＜〃0）”是“y=〃力在R上为严格增函数”的充要条件.

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

热点题型•选填题攻略

专题07导数及其应用(七大题型)

♦>-----------题型归纳•定方向----------O

题型012023-2024年高考+春考真题.............................................................1

题型02导数及其应用.........................................................................3

题型03导数的实际应用(含与立体几何、三角函数等结合)....................................6

题型04导数、抽象函数等综合................................................................19

题型05求极限、分段函数问题................................................................26

题型06导数与数列、空间向量与立体几何....................................................28

题型07其他补充强化训练.....................................................................33

♦>-----------题型探析・明规律------------O

【解题规律•提分快招】

1、求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导........

2、)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

3、求函数f(x)在闭区间［a,b］上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)

的各极值进行比较得到函数的最值.

4、若所给的闭区间［a,b］含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得

到函数f(x)的最值.

5、题源注明：因题源有限，导数的实际应用中，选用适量解答题来练习填选题

题型012023-2024年高考+春考真题

【典例1-1］.(2024•上海)已知函数/(X)的定义域为R,定义集合/={尤OMCR,底(-8,xo),/(无)

<f(xo)},在使得-1,1］的所有/(x)中，下列成立的是()

A.存在无)是偶函数

B.存在/(%)在x=2处取最大值

C.存在了(%)为严格增函数

D.存在/(x)在x=-1处取到极小值

【分析】根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可.

【解析】解：对于A,x<尤o时，f(x)<f(xo),

当XO=1时，xo€[-1,1],

对于任意尤(-8,1),f(x)<f(1)恒成立，

若了(无)是偶函数，此时/(1)=/■(-1),矛盾，故A错误;

对于2,若/(%)函数图像如下：

当尤<-1时，/(x)=-2,-IWXWI时，f(无)e[-1,1],当无>1,f(无)=1,

所以存在/(x)在x=2处取最大值，故B正确；

对于C,在x<-l时，若函数/(x)严格增，

则集合M的取值不会是[-1,1],而是全体定义域，故C错误；

对于D,若存在/(x)在尤=-1处取到极小值，

则在尤=-1左侧存在X=",f(M)>-1,与集合M定义矛盾，故D错误.

故选：B.

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及最值等性质，属中档题.

【典例1-2].(2024•上海)现定义如下：当xe(n,«+1)时(neN),若/(x+1)=f(x),则称/(尤)

为延展函数.现有，当尤C(0,1)时，g(x)=，与％(%)=3°均为延展函数，则以下结论()

(1)存在(k,bER；k,6W0)与y=g(无)有无穷个交点

(2)存在y=fcc+6(k,6€R；k,b中0)与y=/z(x)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立

【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得g(x)是周期为1的周期函数，结合一

次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案.

【解析】解：根据题意，当(0,1)时，g(x)=/与/?(无)=工1°均为延展函数，

对于①，对于g(X)=^,g(尤+1)=g'(x)=ex,

则g(无)是周期为1的周期函数，其值域为(1,e),

因为左?0,>=履+6与y=g(无)不会有无穷个交点，所以(1)错；

对于②，当％=10!时，存在b使得直线>=日+6可以与人(%)在区间(9,10)的函数部分重合，因而

有无穷个交点，所以(2)正确.

故选：D.

【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题.

【典例1-3].(2023•上海)某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，

坡面与水平面所成夹角为&行人每沿着斜坡向上走Im消耗的体力为(1.025-cos0),欲使行人走上斜

坡所消耗的总体力最小，则。=arccos丝.

41―

【分析】先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函

数的最值即可.

【解析】解：斜坡的长度为/==匕，

sinb

上坡所消耗的总体力y=—Vx(1.025-cos0)=4.l-4*s8,

'sin8sin8

函数的导数y=4sin8"sin8-(4.l-4cos8)cos8=4-4.lcos8,

•2a•2Q

sinDsm0

由y'=0,得4-4.1cos0=0,得cosO=^^,0=arccos-^-,

4141

由，(x)>0时cosOV殁，即arccos毁<。<生时，函数单调递增，

41412

由(无)<0时cose>3&,即0<e<arccos仁&时，函数单调递减，

4141

即0=arccos殁，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小.

41

【点评】本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键,

是中档题.

题型02导数及其应用

【典例2-1].(24-25高三上•上海•阶段练习)已知函数y=/(无)，若Al)=l,则lim"l+2/?)-"l)=______

2°h

【答案】2

【分析】利用导数的定义得到1加，0+2/7)->⑴=2尸⑴=2.

2。hV7

【解析】

Dhgo2h

故答案为：2

【典例2-1】•(24-25高三上•上海•阶段练习)设/(x)=tanx,则尸

【答案】4

【分析】运用导数的运算法则求导，再代入数值即可.

【解析】f(x)=tanx=^^,

COSX

故答案为：4

【变式2-1】.(23-24高二下•上海•期中)函数〃x)=x2-sinx在区间[0,句上的平均变化率为.

【答案】兀

【分析】根据平均变化率的公式，代入计算即可.

【解析】根据题意，/(x)=x2-sinx,

在区间[0,兀I上,有Ay=/(兀)-/(0)=兀2,Ax=7t-O=7t,

则其平均变化率半=兀.

Ax

故答案为：兀.

【变式2-2].(25-26高三上・上海・单元测试)函数y=2Y-6x+l的驻点为.

3

【答案】|

【分析】对/(x)求导，得至lj/'(x)=4x—6,令/'(x)=4比一6=0,即可求解.

【解析】因为/(x)=2x2_6x+l,所以((彳)=4无一6,

令/'(x)=4x-6=0,解得尤=j所以x为函数〃x)=2x2-6x+l的驻点，

,3

故答案为：—.

2

【变式2-3].(23-24高二下•上海•期末)己知函数〃x)=l+x-sinx,xe(0,2兀),则该函数的严格增区间

是.

【答案】(0,2兀)

【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间.

【解析】因为"x)=l+x-sinx,xe(0,2TI),则/'(x)=l—cosx＞。对Vxe(0,2兀)恒成立，

所以该函数的严格增区间是（0,2兀）.

故答案为：（0,2兀）.

【变式2-4].（24-25高三上•上海浦东新•阶段练习）已知函数〃力=丁+2*，则〃x）在点处的切

线的倾斜角为.

【答案】arctan5

【分析】利用导数求出切线斜率，然后由反三角表示即可.

【解析】因为「（尤）=3炉+2,所以/”）=3+2=5,

记“X）在点处的切线的倾斜角为。，则tan6=5,则。

所以。=arctan5.

故答案为：arctan5

【变式2-5】.（24-25高三上•上海•阶段练习）函数/。）=炉-21nx在点（1"（1））处的切线方程为.

【答案】x-y=o

【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果.

【解析】由题意可知，"1）=1，则切点为（1/），因为「（口=3/-[,贝I]附1）=3-2=1,

所以〃尤）在点（U）处的切线斜率为1,则切线方程为y-l=L（xT）,即彳->=。

故答案为：x-y=O

【变式2-6].（2024•上海浦东新三模）己知g（无）=?：：2一?2°为偶函数，若=则。=_____.

[f（x）,x<0

【答案】2或-2

【分析】由导数判断出g（x）的单调性，当。20,求解方程=结合偶函数的性质，即可求得。的值.

【解析】因为g（x）为偶函数，所以g（-x）=g（尤），

当xNO时，g（x）=x3+2x-l,g'（x）=3x2+2xln2>0

所以双元）在（。,+8）单调递增，在（F,0）单调递减，

若a»0,W+2"-l=n,解得a=2,

由g（x）为偶函数得,当。<0时,/（-2）=11,

故。的值为2或-2,

故答案为：2或-2.

【变式2-7】.（23-24高二下•上海•阶段练习）若函数/（元）=（三+；尤2-x+J在佶,21上存在严格减区间，

326<27

则m的取值范围是

【答案】m<|

【分析】借助函数与导数的关系，再参变分离，可得在区间(4,2〕上有解，结合g(x)=L-x的单

调性计算即可得解.

【解析】f\x)=x2+rwc-l,

函数/(X)在[；，2)上存在严格减区间，则尸(无)<0在区间G，2)上有解.

即机<g-x在区间上有解，

令g(x)=1-x,因为g(x)在区间上严格递减，

所以g(x)<g(gj=3，故有机〈1.

故答案为：，〃心.

题型03导数的实际应用(含与立体几何、三角函数等结合)

【典例3-11•(24-25高三・上海•随堂练习)做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64兀，且用料最省，

则该圆柱形水桶的底面半径为.

【答案】4

【分析】设底面半径为「，由体积，用「表示出高"进而用「表示出表面积S(r),通过求导得到S(。取最

小值时r的值即可.

【解析】设圆柱的底面半径为「，由体积丫二兀/人得高为/z=647r=364

nrr

64128

则圆柱的表面积为S(r)=++2nrx^—=7i|r2+

r

S，⑺=;t(2r一学

r2

令S'(r)<0,得re(O,4),S⑺单调递减，令S'⑺>0得re(4,E),S⑺单调递增.

所以S(。在厂=4时取得最小值，要使得用料最省，底面半径为4.

故答案为：4.

【典例3-2].(23-24高三上•上海闵行•期中)已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36兀,

则该正四棱锥的体积最大值为.

【答案】y64/21j1

【分析】先求出外接球的半径，再根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理可

得32=2〃+(6-3)2,进而由体积公式转化为关于九的函数，利用导数可求出函数的最值.

【解析】因为球的体积为:兀&=36兀，所以球的半径为R=3,

如图，设正四棱锥的底面边长AB=2a,高PO=h,外接球的球心为M,

根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，又0D=缶，

在RtZXMOD中，MD2=OD2+OM2,即3?=2a?+(/?一3了,

112

所以正四棱锥的体积为丫=§S〃=]X4a2h=-[9-(h-3)2]/Z,

2

整理得卜二一^^+助?①>0),『=一28+8〃=一2〃(〃一4),

当0<//<4时，V>0,当/z>4时，V'<0,

所以V=一；〃3+4/e>0)在(0,4)上递增，在(4,e)上递减,

764

所以当〃=4时，V取得最大值-铲43+4x42=1，

64

故答案为：—.

【变式3-1].(23-24高三上•上海嘉定•期中)据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正

比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为左(后>°)•现已知相距18km的A,3两家化工厂(污染源)

的污染强度分别为。，b,它们连线段上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.

设AC=x(km)(O<x<18).若a=l,且尤=6时，>取得最小值，则人的值为.

【答案】8

【分析】根据AC=x,xe(O,18),得BC=18-x,分别求出两个污染指数即可得出函数关系，求出函数的导

函数，依题意可得y'k6=°，即可求出》的值，再检验即可.

【解析】依题意点C受A污染源污染程度为,(o<x<18),点C受B污染源污染程度为荷二了，其中左为

比例常数，且%>0,

从而点C处受污染程度丫=导。自孑，（0<x<18）；

kkb-22b

因为。=1,所以>=1+(]8_.2'贝1

7十(18-x)3

、

2b

当尤=6时，y取得最小值，必是极小值，所以/工=6=上63+(18-6)1=0,

解得力=8,

(18-x)3-(2x)3

此时y'=-2屋

x3(18-x)3

(18-3x)[(18-+(2X)2+(18-X)(2X)]

=-2k-xe(0,18),

x3(18-x)3

当o<x<6时，y<o,函数单调递减，当6<x<i8时，y>0,函数单调递增,

所以在x=6时，y取得极小值，也是xe（0/8）的最小值,

所以污染源B的污染强度6的值为8.

故答案为：8

【变式3-2】.（23-24高二下•上海•期末）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏

斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R,它的值是固定的.当炸药包埋的深度为.可

使爆破体积最大.

【答案】BR

3

【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处〃的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得V的最大值点，从

而得解.

【解析】结合图形，可知圆锥的体积为V=；口”,

又因为炉=/+/，即产=笈一后,

所以^二:^叱一/^二:花匠/一:兀/，he（0,R）,贝!!/=：兀叱-n兴,

令V>0,M0</z<—7?:令VYO,M—；

33

所以丫=］找人;而在।上单调递增，在1当尺尺上单调递减，

所以在力=走R处V=:无尺力-：无〃3取得最大值，

333

所以炸药包要埋在立R深处.

3

故答案为：

3