反比例函数-2025年中考数学几何模型专练

反比例函数

模型原理

1.反比例函数面积问题的基本公式

过反比例函数y=#°）图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点组成一个矩形，矩形的面积s=|%

Hy1=1盯1=1k|..（如图2-1—1）

作一个坐标轴的垂线，连接垂足、原点所围成三角形的面积为|三|.（如图2-1-2）

2.反比例函数面积问题的解题方法

（1）利用k的几何意义进行面积转化.

如图2-1-3过点AB作x轴的垂线垂足分别为EF，则根据k的几何意义可得，SA。"=SAO^E，而SA0BF+S

梯形=SMB+S△加，所以S=S^.

悌形AB卜匕0AB

1.如图，点A在双曲线yi=~（%>。）上，连接AO并延长,交双曲线丫2=£（x<0）于点B，点C为x轴上一

点且AO二AC,连接BC,若^ABC的面积是6,则k的值为（）

B.3C.4D.5

2.坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF中心，EF〃x轴，点E在双曲线y=/k为常数，k>0）上，将正

六边形ABCDEF向上平移、百个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k值为（)

X.4V3B.3V3C.2V3D.3

3如图，过y=：3。）的图象上点A,分别作X轴，y轴的平行线交y=-：的图象于B,D两点，以AB,A

D为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为SISIS,若S2+S3+S4=河k的值为（

C.2D.1

4.如图，在平面直角坐标系中,一次函数y=+6的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函

数y=£在第一象限内的图像交于点C.若点A坐标为（（2,0）筹=十则k的值是（）.

B.2V3C.3V3D.4V3

5.如图，直线y=x+l、y=x-1与双曲线y=久公0）分别相交于点A、B、C、D.若四边形ABCD的面积为4,

则k的值是（）

4

A.C.-

5D.1

6.如图，在坐标系中，点A、B在函数y=^(fc)O,%>0)的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当

OA与x轴相切、。：8与丫轴相切时，连结AB,4B=3VX则k的值为()

7如图，矩形OABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且4。=反比例函数

y=W⑻。)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD,OM,DM若△ODM的面积为3,则k的值为

0

A.2B.3C.4D.5

8如图，在平面直角坐标系中，△。力B三个顶点的坐标分别为0(0,0),A(2V3,0),B(V3,D,AOA'B与△OAB

关于直线OB对称，反比例函数y=：(k)0,x>0)的图象与A'B交于点C.若A'C=BC.,则k的值为()

X.2V3B.等C.V3D.y

9.如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=：(x>0)的图象上.点A的坐标为(m,2).连接OAQ

B,AB.若0A=AB,A0AB=90。,则k的值为.

10.如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=B（七＞。）和y=0（卜2〉0）的图象上若BD〃y轴，点D的

横坐标为3,则七+七=（）

A.36B.18C.12D.9

11如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tanZABO=3,

以AB为边向上作正方形ABCD若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=：则图象经过点D的反比例函数的

解析式是______.

12如图，在平面直角坐标系中，Rt△048的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一

象限，反比例函数y=§（X〉O）的图象经过OA的中点C,交AB于点D,连接CD.若△ACD的面积是1,则k的

值是_____.

13.如图，反比例函数y=l(公0)在第一象限的图象上有A(1,6),B(3,b)两点，直线AB与x轴相交于点C,

D是线段0A上一点若AD•BC=AB,。。,连接CD记△ADC,ADOC的面积分别为SiS，则-S2的值为

14.如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=久式〉0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B

(点B不与点M重合).若AB_LOM于点B,则k的值为.

15.已知反比例函数y=空勺图象经过点A(2,3).

(1)求该反比例函数的表达式.

(2)如图，在反比例函数y=9的图象上点A的右侧取点C,过点A作y轴的垂线交直线CH于点D.

①过点A,点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O,B,D三点共线.

②若AC=2OA,求证:/AOD=2NDOH.

16.已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=久久〉0)图象上的一个动点，连接AO,AO的延长

线交反比例函数y=：(fc)0,%<0)的图象于点B,过点A作AEEly轴于点E.

(1)如图1,过点B作BF团x轴于点F，连接EF.

①若k=1,,求证：四边形AEFO是平行四边形.

②连接BE,若k=4,求△BOE的面积

(2)如图2,过点E作EP||4B,交反比例函数y=^k)0,x<0)的图象于点P,连接0P.试探究：对于确定的实

数k,动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化?请说明理由.

1.如图，点A在双曲线=-(x)0)±,连接AO并延长，交双曲线内=f(%<0)于点B,点C为x轴上一

X4X

点且AO二AC,连接8。若4ABC的面积是6,则k的值为().

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】如图，过A作AD，x轴于D.

由题意,8A(a*)(a〉0),

VAO=AC,AD±OC,

.*.OC=2OD=2a.

又设直线0A为y=mx,

k

•••ma=-

a

k

•••m=—.

，直线。力为y=--x.

口

联¥—以i―｛r丫=嬴k丫=/k居

2。2

4

.a

・•・％=+-

-2

\22aJ

^^LABC=S^BOC+Su。。

=加.|坊I+Rc,igI

••,原点O为正六边形ABCDEF的中心，

OE=OD/EOD=—=60",

6，

•••△OED是等边三角形，

ADE=OD,

VEHXOD,

i

.・.OH=DH=-OH

2

BH=y/DE2-DH2=—OD,

2

设OD=2m,则OH=m,HE=V3m,

B（m,V3m）,D（2m,0）,

•••将正六边形ABCDEF向上平移必个单位长度，点D恰好落在双曲线上，

...点（26，b）在双曲线上，

又•••点E也在双曲线上，

k=2m-V3=m-解得m=2或m=0（舍去），

k=2m-V3=4-\/3,

故选:A.

2如图，过y=：（久〉0）的图象上点A,分别作x轴，y轴的平行线交y=-抑图象于B,D两点，以AB,A

D为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为Si,Sz,S3,S&,若52+S3+S4=3,则k

的值为（).

=ix2ci(-+-)

2\2aa)

2

又•••S△ABC=6,

-k=6.

2

/.k=4.

故选:C.

3.如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF〃z轴，点E在双曲线y=黑为常数,k>

0）上，将正六边形ABCDEF向上平移旧个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（）

A.4V3B.3V3C.2V3D.3

【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定

理等等，过点E作EH±x轴于H,连接OE,可证明△OED是等边三角形，则DE=OD,OH=DH=|。从进而得

到EH=手。。,设OD=2m,则OH=m,HE=遍则E（m,8m）,D（2m,0）,即可得到点（2m,遮在双曲线上，再由

点E也在双曲线上，得到k=2m•遮=m•百加据此求解即可.

【详解】解：如图所示，过点E作EHLx轴于H,连接OE,

C.2D.1

【答案】C

【解析】设A(a,b),则1Bb),D(a，-,C

.点A在y=£(久)0)的图象上，则Sr=ab=k,

同理，；B,D两点在y=-抑图象上，则$2=S4=1故S3=|-1-1=最

S3=(-9x㈢=押*=|,故ab=2,

Ak=2,

故选:c.

【标注】【知识点】矩形的周长与面积

【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）

【知识点】反比例函数的系数k的几何意义

4如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=V3x+b的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函

数y=纸第一象限内的图像交于点C.若点A坐标为（2,0）酷=测k的值是（）.

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

【答案】C

【解析】解:如图所示，过点C作CD±y轴于点D,则CD//OA

ABOA-BDC

CD_BC

'AQ-BA

器="(2,0)

,BC_3

"BA~3

,CD_3

••2—2

解得CD=3

•.•点A(2,0)在y=<3x+b±

■-2>/3+b—0

解得：b=-2V3

，直线AB的解析式为y=V3x-2V3

当x=3时,y=V3

即C(3,V3

又反比例函数在第一象限内的图象交于点C

k=3聒,

故选:C.

5.如图直线y=x+l.y=z-l与双曲线y=三⑻0）分别相交于点A、B、C、D.若四边形ABCD的面积为4,则k的

值是（）.

.3

A.-8.返D.1

42

【答案】A

【解析】连接四边形ABCD的对角线AC、BD,过D作DE±z轴，过C作CF±x轴，直线y=x-l与z轴交于点M

，如图所示：

根据直线y=x+l、y=x-l与双曲线y=§⑻0）交点的对称性可得四边形ABCD是平行四边形，

11一

•*,S^COD=7sXABCD=1=QOM,（DE+CF）.

•・•直线y=x-l与x轴交于点M,

.••令y=0则x=l,.\M（l,0）,OM=l,

Vy=x-1与双曲线y=2〉0）分别相交于点C、D,

y=x—1

•联立｛、k即y=--l,

Jy=-X,y

-l±Vl+4k

/y=-=-2-----.

工X]Xf-1+V1+4fc_-1T1+4/C)_]

V4FT1=2,解得k=；.

4

故选A.

6如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=l(k)O,x>0)的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径

作圆，当。A与x轴相切、。：8与丫轴相切时，连结AB,43=3短则卜的值为()

V2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

过点A,B分别作y,z轴的垂线，垂足分别为EiD,AE,BD交于点C,得出B的横坐标为1,A的纵坐标

为1,设A(k,l),B(l,k),则AC=k-l,BC=k-l根据AB=3短即可求解.

【详解】

解:如图所示，过点A,B分别作y,x轴的垂线，垂足分别为E,D,AE,BD交于点O,

依题意，B的横坐标为1,A的纵坐标为1,设A(k,l),B(l,k)

贝！jAC=k-l,BC=k-l,

又•ZCB=90。,48=3Vx

2

(fc-l)2+(/c-l)2=(3V2)

.•.k-l=3(负值已舍去)

解得:k=4,

故选:c.

【点睛】

本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.

【标注】【知识点】反比例函数的解析式

【知识点】反比例函数与几何综合

【知识点】切线的性质定理

7如图,矩形OABC的顶点A,0分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，.且4。=反比例函数

y=久幻0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连接OD,OM,ODM的面积为3,则k的值为(

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】解：：四边形OCBA是矩形，

.,.AB=OC,OA=BC,

设B点的坐标为(a,b),

:矩形OABC的对称中心M,

•延长OM恰好经过点B,M仔，9，

'•.点D在AB上，且AD=\AB,

4

・•・。(初小),

・•・BD=-a

4f

1h1

SABDM=-BD-h=-x-ax(b-^)=—ab

•••D在反比例函数的图象上，

•••-ab=k,

4

=—

丁S^ODM=S^AOB~S^AOD~S"DM22IF=$

法-矍=3,解得:ab=16.

1j.

k7=-ab=4,

4

因此本题答案选c.

【标注】【知识点】反比例函数

8如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为0(0,0),A(2V3,0),B(V3,1),AOA'B与4OAB

关于直线OB对称,反比例函数y=£(fc)0,x>0)的图象与A'B交于点C.若A'C=BC,则k的值为().

B号C.V3D片

【答案】A

【解析】解：如图所示，过点B作BD±x轴,

•••O(0,0),A(2V3,0),B(V3,l),

BD=l,0D=V3

：.AD=OD=^,^BOA=^=^-

OB=AB=y/OD2+BD2=2,ZBOX=^BAO=30°

•••乙OBD=^ABD=60°,AOBA=120",

AOA'B与4OAB关于直线OB对称,

：.ZOBA'=120°,

.,.ZOBA*4-ZOBD=180°,

A*,B,D二点共线.

.*.A'B=AB=2,

•・・AC=BC,

ABC=1

：.CD=2

AC(V3,2).

将其代入y=：(k)Q,x>0)得:k=2V3

故选:A.

【标注】【知识点】反比例函数与三角形综合

9如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=久久〉0)的图象上.点A的坐标为(m,2).连接OA,O

B,AB.若OA=AB,NOAB=90。,则k的值为.

【答案】2V5-2

【解析】解:如图所示，过点A作CD±y轴于点D,过点B作BCXCD于点C,

ZC=ZCDO=90°,

•••OA=AB,^OAB=90°,

・•・^DAO=90°一乙CAB=ACBA

AVDAO^VCBA

.*.DA=CB,AC=OD

・・,点A的坐标为(m,2).

・•・AC=OD=2,AD=2C=m

••・8(2+mf2-m)

解得m=V5-1或m=-遥-1(舍去)

・•・k=2m=2V5—2

故答案为2A/5—2

【标注】【知识点】反比例函数

10.如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=B(k»0)和V=§(的〉0)的图象上-若3口〃丫轴，点D

的横坐标为3,则七+七=()

C.12D.9

【答案】B

【解析】解：连接AC,与BD相交于点P,

设PA=PB=PC=PD=t(t#)).

•••点D的坐标为(3，仔)，

点C的坐标为(3—t'~+t).

•••点C在反比例函数y=0的图象上，

.•.(31)得+1)=卜2化简得：”3—果

•••点B的纵坐标为等+2”当+2(3—•=6—枭

.••点B的坐标为(3,6—骸,

3x(6-g)=七,整理得:七+k2=18.

因此正确答案为：B.

【标注】【知识点】反比例函数

11.如图，已知在平面直角坐标系zOy中，点A在z轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tanZABO=3,以

AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=：则图象经过点D的反比例函数的解析

式是______.

【解析】过点C作CE±y轴于点E,过点D作DFLz轴于点F,如图:

.♦•点A的坐标为(-3x,0),点B的坐标为(0,-x).

:四边形ABCD是正方形,

/.AD=AB=BC,ZDAB=ZABC=90°,

ZADF+ZDAF=ZDAF+ZBAO,

ZADF=ZBAO,

同理可证:NADF=/BAO=/CBE.

•••^AFD=Z.BOA=乙CEB=90°,

/.AADF^ABAO^ACBE,

OA=FD=EB=3x,OB=FA=EC=z,

；.OE=OF=2x,

点C的坐标为(x,2z),点D的坐标为(-2x,3x),

•••点C在反比例函数y=扣勺图象上.

..2x2=1］即x2=1

1

•••—2x-3x=-6x7=­6x-=—3,

2

，经过点D的反比例函数解析式为y=-|,

因此正确答案为：y=

X

12如图，在平面直角坐标系中，RtAOAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点0与原点重合，点A在第一象

限，反比例函数y=§（久〉0）的图象经过OA的中点C,交AB于点D,连接CD.若△ACD的面积是1,则k的值是—

【解析】

【分析】

连接OD,过C作CE〃AB，交x轴于E,利用反比例函数k的几何意义得到S40cB=S.BD=*根据OA

的中点C,利用△OCE-AOAB得到面积比为1：4,代入可得结论.

【详解】

解:连接OD过G作CE〃AB,交x轴于E,

：/ABO=90。,反比例函数y=久盼0）的图象经过OA的中点C,SAACD=1,

=

SHCOE=S^BODSAAOD=1=S^0CD,2.0C=OA,

：CE〃AB,

:.AOCE-AOAB,

.S^OOB_rOC、2__1

"S^QAD~-I'

•••AS^OOE=S^OAB=S^AOD+S^OOQ+S^OBD

11

4x-fc=l+l+-fc,

22

・•.k=-,

3

故答案为：

【点睛】

本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=y=:图象中任取一点,过这一个点向x轴

和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点

和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是j/k,且保持不变、也考查了相似三角形的判定与性质.

【标注】【知识点】反比例函数的系数k的几何意义

【知识点】相似三角形的性质与判定综合

13如图，反比例函数y=：(公0)在第一象限的图象上有A(1,6),B(3,b)两点，直线AB与x轴相交于点C,

D是线段OA上一点.若AD-BC=ABDO,连接ADC,ADOC的面积分别为Sx,S2，则Sx-S2的值为.

【答案】4

【解析】解：如下图所示，连结BD,

VADBC=ABDO

AD_AB

DQ-BQ'

—=L,而NDAB二NOAC,

/.ADAB△OAC,

:A(1,6)在反比例函数图象y=B

，k=6,即反比例函数为y=p

:B(3,b)在反比例函数图象y=h,

..b=2,即B(3,2),

设直线AB为:y=mx+n,

｛丁L八一B解得：m=_2n=8,

・,•直线AB为:1y=—2x+8,

.当y=0时,x=4,

..C(4,0),

S^AOO=5x4x6=12,

DAB^AOAC,

f

S"OC-IyA)~9AC~AO~3

2I

Si=(x12=8$=|x12=4,

S]—S2=4.

因此正确答案为：4

【标注】【知识点】反比例函数

14如图，△OMN是边长为10的等边三角形反比例函数y=£(幻。的图象与边MN、OM分别交于点A、B(点

B不与点M重合).若ABXOM于点B,则k的值为.

【答案】9V3

【解析】解:过点B作BCLx轴于点C,过点A作AD±x轴于点D,如图,

AOMN是边长为10的等边三角形，

.OM=MN=ON=10,ZMON=ZMNO=ZM=60°,

,ZOBC=ZMAB=ZNAD=30°,

设OC=x,JJ!!!OB=2x,BC=V3x,MB=10-2x,MA=2MB=20-4x,

/.NA=10-MA=4x-10,DN=|NA=2X-5,AD=遮DN=V3(2X-5)=2底-5V5

.OD=ON-DN=15-2x.

点B(x,Wx),点A(15-2x,2V3x-5V8),

反比例函数y=£(盼0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B,

x-V3x=(15-2%)(2V3x-5V3),

解得x=5(舍去)或x=3,

点B(3,3点).

k=9V3.

因此正确答案为：9V3

15已知反比例函数y=:的图象经过点A(2,3).

⑴求该反比例函数的表达式.

(2)如图，在反比例函数y=强勺图象上点A的右侧取点C,过点