北京市某中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

北京市育才学校2024-2025学年高二(下)期中数学试卷

1

1.已知/0)=3则/(1)=()

A.0B.1C.-1D.-2

2.下列求导运算正确的是()

A.(%+1)'=KB.(1)z=InxC.(s讥久)'=cosxD.(e*)'=xex~1

3.袋中共有5个球，其中3个白球，2个黑球.从袋中抽取2个球，其中恰有一个白球的概率为()

3313

A-5ByC.-D.-

4.已知函数/(X)在R上可导，其部分图象如图所示，设等誓=a,则下列不等式正确的是()

z—1

A.尸(1)<尸(2)<aB./(1)<a<r(2)

C.((2)<((1)<aD.a</(1)</(2)

-15

5.在等比数列九｝中，的=2,a4=；.若％n=2,则m=()

A.17B.16C.14D.13

6.设是公比为q的等比数列，则“q>r是为单调递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

a

7.若等差数列｛册｝满足期>。，。7+io<。，则当｛an｝的前几项和最大时,n=()

A.7B.8C.9D.10

8.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件/=｛两个点数互不相同｝,8=｛出现一个5点｝,则

P(B|/)=()

9.等比数列中，ar=8,a4=-1,记=nEN*,则数歹U｛加｝()

A.无最大项，无最小项B.有最大项，有最小项

C.无最大项，有最小项D.有最大项，无最小项

10.已知%是等差数列｛5式九6N*)的前n项和，且55>S6>S*以下有四个命题：

①数列｛Sn｝中的最大项为Si。；

②数列的公差d<0；

③Si。>0；

④Su<0.

其中正确的序号是()

A.②③B.②③④C.②④D.①③④

11.已知函数/'(x)=xlnx,则/''(1)=.

12.一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为0.9,0,8,0.8,在

一小时的过程中，求至少有一台机床需要照顾的概率.

13.已知｛即｝为等差数列，Sn为其前几项和,若%=1,ai+a2=a3,则公差d=,数列｛二｝的前5项

和为.

14.是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，写出一个满足条件的数列的通项公式；如果不

存在，说明理由.

15.已知数列满足的,>0,a=a+工也手0),给出下列四个结论：

n+1nan

①存在鼠使得｛an｝为常数列；

②对任意的k>0,｛即｝为递增数列；

③对任意的k>0,｛an｝既不是等差数列也不是等比数列；

④对于任意的k,都有谥2a亥+2k(n-1).

其中所有正确结论的序号是.

16.已知等差数列｛即｝满足：的=2,且%,a2,成等比数列，数列｛厮｝的前项和为Sn.

(1)求数列｛5｝的通项公式，前几项和几；

(2)是否存在正整数几，使得%>60n+800?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

17.某高中组织学生研学旅行,现有4,B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行,研学旅

行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：

高一高二IWJ三

a地B地4地B地a地B地

满意122183156

一般226568

不满意116232

假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率.

(I)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；

(II)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去8地的概率；

(III)对于上述样本，在三个年级去4地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为比，调查

结果为不满意的学生人数的方差为受，写出式和s/的大小关系.(结论不要求证明)

18.已知函数f(x)=?.

(1)求f(久)在点力(1,e)处的切线方程；

(2)/i(x)=x■/(x),若拉(%)的一条切线I恰好经过坐标原点，求切线，的方程.

19.已知在数列｛即｝中，%=2,bn=2。",,其中n€N*.

(I)求数列｛心｝的通项公式；

(II)求证：数列｛,｝是等比数列；

(III)求数列｛每+3｝的前般项和

从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答.

①前n项和%—n2+n；

a

@n+i-2=an；

(^)口4=8_且2<1血+1—a7z+d-fi-^2'

“地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图(如图)，考虑到受市场影响，预测该

地区明年冬小麦统一收购价格情况如表(该预测价格与亩产量互不影响).

明年冬小

麦统一收

购价格(单2.43

位：元/

kg)

概率0.40.6

假设图中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.

(I)试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；

(II)设“地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望；

(III)”地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增

加50kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.

21.己知数列｛斯｝满足的=：厮+1=(2an+2n_奇数，数列｛心｝的前几项和为%,数列｛b｝满足

I一%:-几九为偶数

bn=。2九，其中九EN*

(I)求。2+。3的值；

(II)证明：数列｛,｝为等比数列；

(III)是否存在n(neN*),使得S2n+i-?=b2/若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:f'(x)=则，(1)=-1,

故选：C.

先根据导数的基本公式求导，再带值计算即可.

本题考查了导数的基本公式，和导数值的求法，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：(x+l)'=l,故A错误；

C)'=T，故B错误；

(sinx)7=cosx,故C正确；

(ex)'-ex,故£>错误.

故选：C.

直接运用导数运算公式求解即可.

本题考查导数的运算，属基础题.

3.【答案】A

【解析】解：袋中共有5个球，其中3个白球，2个黑球.从袋中抽取2个球，

基本事件总数n=Cl=10,

其中恰有一个白球包含的基本事件个数机=废废=6,

其中恰有一个白球的概率为P='=卷=|.

n105

故选：A.

基本事件总数n=底=10,其中恰有一个白球包含的基本事件个数爪=废6=6,由此能求出其中恰有

一个白球的概率.

本题考查概率的求法，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题.

解题时根据图象和导数的几何意义即可判断.

【解答】

解：由图象可知，当％>0时，函数的增长越来越快，

尸(1)与尸(2)分别代表在x=1,x=2处的切线的斜率，

即，(2)>((1),

•••等誓=a,a表示(1"(1)),(2)(2))两点连线的斜率,

Z—1

.•.r(i)<a<r(2),

故选8.

5.【答案】A

【解析】解：a1=2,a=

44

1

-1

--4-

28-

•・q-ai

则q=g，

12m

Vam=2T5=QiqM—i=2x(p^=2-,

•*-2—m=-15,

即m=17,

故选：X.

根据等比数列的通项公式进行求解即可.

本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件求出公比是解决本题的关键.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键，根据

等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.

【解答】

解:等比数列-1,—2,—4,…，满足公比q=2〉1,但不是递增数列，充分性不成立，

若a“=-1X弓尸-1为递增数列，但q=^>1不成立，即必要性不成立，

故“q>1”是“｛即｝为递增数列”的既不充分也不必要条件，

故选D

7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

由题意和等差数列的性质求出的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此能求出结果.

【解答】解：•.•等差数列满足a7+aw<0,

•*,CLQ++。10V0，

a8>0,a9<0,•••a9—a8=d<0,

.•.等差数列｛&J的前8项为正数，从第9项开始为负数，

.,•当5｝的前几项和最大时n的值为8.

故选：B.

8.【答案】A

【解析】解：由题意事件4=｛两个点数都不相同｝,包含的基本事件数是36-6=30,

事件8：出现一个5点，有10种，

.•.P(B|4)=卷10制1，

故选：A.

此是一个条件概率模型的题，可以求出事件4=｛两个点数都不相同｝包含的基本事件数，与事件8包含的

基本事件数，再用公式求出概率.

本题考查古典概率模型及条件概率计算公式，解题的关键是正确理解事事件4两个点数互不相同，事件

B：出现一个5点，以及P(8|4),比较基础.

9.【答案】C

【解析】解：设等比数列的公比为q,则。4=£1也3=一1,BP8q3=-1,解得q=—看

由q<0且|q|<l,可得：｛时｝的各项正负交替出现，且随n的增大而减小.

所以7；=anan+1<0恒成立，且随着九的增大，|&|变小.

因此，当72=1时，=的(12最小，且7?T+8时，TnT0,无最大值.

故选：C.

根据题意可知等比数列的公比q<0,由此结合la1的变化规律进行分析，即可得到本题的答案.

本题主要考查等比数列的通项与性质、数列的单调性等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档

题.

10.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

S5>S6>S4,可得as>0,a6<0,a5+a6>0,d<0,再利用等差数列的通项公式、求和公式及其性

质即可判断出结论.

【解答】

解：S5>S6>S4,a5>0,a6<0,a5+a6>0,

d<0,数列｛Sn｝中的最大项为S5.

W(aaio)

S10=^=5(as+a6)>0,

Sn==lla6<0.

因此只有②③④正确.

故选8

1L【答案】1

【解析】解：因为/(久)=久"％,

所以/(x)=lnx+1,则之(1)=1.

故答案为：1.

先对函数求导，然后把尤=1代入即可求解.

本题主要考查了函数的求导，属于基础题.

12.【答案】0.424

【解析】解：根据题意，设“第一、二、三台机床不需要照顾”分别为事件久,人2,人3，

设“至少有一台机床需要照顾”为事件B,则后为“三台机床都不需要照顾”，

由题意A2,4相互独立，且P(4)=0.9,P(A2)=0.8,P(A3)=0.8,

则P(B)=「⑶&甸=P(4)xPP2)xP03)=0.9x0.8x0.8=0.576.

贝IJP(8)=1-P(B)=1-0.576=0.424.

故答案为：0.424.

根据题意，设“第一、二、三台机床不需要照顾”分别为事件4,A2,A3,设“至少有一台机床需要照

顾”为事件B,由相互独立事件的概率公式求出P(3),由对立事件的性质计算可得答案.

本题考查概率的性质，涉及对立事件的性质，属于基础题.

13.【答案】1|

【解析】解：根据题意，设数列｛/｝的前5项和为T,

｛a九｝为等差数列，若的=1,ar+a2=a3,则有1+l+d=l+2d,

解可得d=1,

又由a1=1,贝U。九="1+（九—l）d=7i,

故S_（。1+—.）＞＜九_几（九+1）,

则T=1x2+2x3+3x4+4x5+5x6=2[。-1）+（|-1）+……+（1-7）]=I-

故答案为：1;

根据题意，由等差数列的通项公式求出第一空答案，求出土的表达式，结合裂项相消法计算可得第二空答

案.

本题考查数列的求和，涉及等差数列的性质和应用，属于基础题.

14.【答案】存在，如数列an=5

【解析】解：根据题意，存在这样的数列，

如数列｛an｝,其通项为即=5—《产，

当几＞1且n£Z时，有即=5-（今11＜5,

且即+i-即=[5--[5-（1）n]=（|）n+1＞0,该数列为递增数列，

符合题意.

根据题意，举出例子，验证其是否符合题意，即可得答案.

本题考查数列的函数特性，涉及函数的单调性，属于基础题.

15.【答案】②③④

【解析】解：已知数列满足的＞0,a=a+—（fc丰0）,

n+1nan

若为常数列，即有的i+i=a九=%,可得k=0,不成立，故①错误；

若任意的々〉0,又的＞0,可得册＞0,即有册+1＞。九，则为递增数列，故②正确；

任意的k＞0,由等差数列和等比数列的定义，结合an+i=an+&（kR0），

an

可得既不是等差数列也不是等比数列，故③正确；

当72=1时，不等式感之於+2忆（九一1）成立；当72=2时，不等式成之於+2七（九一1）,即为避之於+

2k,

>>z

又g=a1+可得a亥+2k+滔Na亥+2/c,成乂；

k_k

由％i+i=aH----(kW0),可得九之2时，ct=d-iH--------，

nannnan-l

,2

两边平方可得嫌=c^n-i+2kd—2—>碎-1+2k>..>a亥+2k(n—1),故④)正确.

an-l

故答案为：②③④.

由数列的递推式和常数列、等差数列和等比数列的定义、数列的单调性和不等式的性质，对选项分析可得

结论.

本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的定义，以及不等式的性质，考查转化思想和运算能力，属

于中档题.

2

16.【答案】a”—2或an=4n—2,Sn=2zi或％=2n；

Sn=2n时，不存在正整数m，使得配>60n+800成立；当立=2"时，存在正整数n=41,使得%>

60n+800成立.

【解析】解：(1)设等差数列但"的公差为d,

由的=2,且的，a2,as成等比数列，

得(2+d)2=2(2+4d),解得d=0或d=4,

当d=0时，an=2,Sn-2n；

咖2

当n=4时，an=2+4(n—1)=4n—2,Sn==2n.

(2)当5„=2n时，Sn<60n+800,此时不存在正整数n,使得%>60n+800成立；

当立=2/时，由0>60n+800,得2层>60n+800,解得n>40或n<—10.

此时存在正整数n=41,使得%>60n+800成立.

(1)由已知列式求解公差，可得数列的通项公式及前n项和；

(2)把与分类代入%>60n+800,求解得答案.

本题考查等差数列的通项公式及前几项和，考查数列的函数特性，是中档题.

17.【答案】(I)获

(II)焉

(III)sf>si.

【解析】解：(I)从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为12+2+18+3+

15+6=56,

因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为盖=~

(II)设事件4：抽取的高一学生选择去B地，

事件42：抽取的高二学生选择去B地，

事件4：抽取的高三学生选择去B地，

事件G：抽取的3人中恰有i人选择去B地，i=2,3,

事件。：抽取的3人中至少有2人选择去B地，

从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为12+2+1+2+2+1=20,

选择去B地的总数为2+2+1=5,所以P(2)可估计为嘉=p

抽取的100名学生中高二年级学生总数为18+6+6+3+5+2=40,

选择去B地的总数为3+5+2=10,所以P(4)可估计为告=P

抽取的100名学生中高三年级学生总数为15+6+3+6+8+2=40,

选择去B地的总数为6+8+2=16,所以P(43)可估计为索=1>

因为。=c2UC3=ArA2A3UArA2A3UArA2A3UA1A2A3,

所以尸(D)=P(C2UC3)=P(A1A2A3\JArA^A3\JArA2A3\JArA2A3)

=0(4>(&)P(彳3)+P(4)尸“2)P(4)+P(彳1)「(人)尸(4)+PG4I)P(4)PG43)，

所以抽取的3人中至少有2人选择去B地的概率可估计为

11-2、，c1—1、2,11217

-x-x(l--)+2x-x(l-?)x-+-x-x-=-;

(III)在三个年级去4地研学旅行的学生中，

调查结果为满意的学生人数的平均数为五=[12+18+15)=15,

则调查结果为满意的学生人数的方差为受=|[(12-15尸+(18-15)2+(15-15)2]=6,

调查结果为不满意的学生人数的平均数为石=g(1+6+3)=与，

则调查结果为不满意的学生人数的方差为4=聂(1-y)2+(6-y)2+(3-给2]=等

则S/>S2.

(I)利用频率估计概率即可求解；

(II)利用频率估计概率即可求解，结合相互独立事件的概率公式求解即可；

(Ill)求出4sL比较大小即可.

本题考查了相互独立事件的概率公式和方差的计算，属于中档题.

18.【答案】y-e=0；ex-y=0.

【解析】解：(1)因为/(久)=?,所以r0)=丝萨=史『，

所以((1)=0,

所以所求切线方程为y-e=0；

(2)因为h(x)=x-/(%)=ex,所以八'(x)=ex,

设过原点的切线，切九(%)于点(t,e「)，

则切线方程为：y—N=N(%—。，又其过原点，

所以一N=N(T),所以[=1,

所以切线/的方程为y-e=e(x-1),即为e%-y=0.

(1)根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解；

(2)根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，建立方程，即可求解.

本题考查函数的切线问题的求解，属中档题.

19.【答案】(I)册=2几；

(II)证明见解析；

(111)7^=|x4n+1+n2+n—

【解析】(I)解：若选择①：前?1项和匕=H2+H,

22

则?！>2时，an=Sn-Sn_1=(n+n)—[(n—l)+(n—1)]=2n,

当ri=1时，4=2=2x1,也适合几>2的式子.

综上所述，数列的通项公式为册=2几；

若选择②：an+1-2=an,则%i+i-a九=2(常数)，

可知数列构成公差为2的等差数列，首项的=2.

所以数列｛an｝的通项公式为an=2+(n-1)x2=2n；

右=8且2(1九+1=CLn+%i+2，贝—Qn=%i+2—%1+1，

可知数列是等差数列，

设公差为d,则由口4=。1+34=8,得2+3d=8,解得d=2.

所以数列｛an｝的通项公式为an=2+(n-1)x2=2n.

(II)证明：若%=2。%则由(I)的结论=2八，可得狐=2?71=4",

因为与±1=+=4(常数)，且瓦=2%=4,

所以数列｛如｝是首项为4,且公比q=4的等比数列；

(III)根据册=2n,6“=4%结合等差数列与等比数列的求和公式，可得：

Tn=(a1+瓦)+(a2+b2)+—F(an+Z?n)

=(a]+a2+……+<2n)+(瓦+62+……+bn)

=2n+x2+4(；]:)=n2+n—^+|x4n+1=1x4n+1+n2+n—

即=、一+n2+n-^.

(I)若选择①，根据即与土的递推关系列式算出的通项公式；

若选择②，先证出｛5｝构成公差为2的等差数列，然后根据等差数列的通项公式算出答案；

若选择③，先证出｛厮｝构成等差数列，然后根据的、求出公差d,结合等差数列的通项公式算出答案.

(II)根据｛an｝的通项公式，可得勰=2/=4%然后根据等比数列的定义证出所求结论；

(III)根据等差数列与等比数列的前几项和公式加以计算，化简即得心的表达式.

本题主要考查等差数列的定义与通项公式、等比数列的定义与通项公式、运用公式法求数列的前几项和等

知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题.

20.【答案】解：(I)由频率分布直方图知，亩产量为400kg的频率为0.005x50=0.25,亩产量为450kg

的频率为0.01x50=0.5,亩产量为500kg的频率为0.005x50=0.25,

只有当亩产量为500kg,且收购价格为3元，才能使得明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元，故所求的

概率为0.25x0,6=0.15.

(II)由亩产量为400kg,450kg,500kg,收购价格为2.4元，3元，可知随机变量X的所有可能取值为

960,1080,1200,1350,1500,

P(X=960)=0.25x0.4=0.1,

P(X=1080)=0.5X0,4=0,2,

P(X=1200)=0.25x0.6+0.25x0.4=0.25,

P(X=1350)=0.5x0.6=0.3,

P(X=1500)=0.25x0.6=0.15,

所以X的分布列为

X9601080120013501500

p0.10.20.250.30.15

数学期望E(X)=960x0.1+1080X0.2+1200x0.25+1350X0.3+1500x0.15=1242元.

(III)增产后，小麦的亩产量变为450kg,500kg,550kg,

由(II)可知，X的分布列为

X108012001320135015001650

p0.10.20.10.150.30.15

数学期望E（X）=1080X0.1+1200X0.2+1320X