北京市某中学2024-2025学年上学期八年级数学期中检测卷（解析版）

北京十四中2024—2025学年度第一学期期中检测

初二数学测试卷

注意事项

1.本试卷共6页，共28道小题，满分100+10分.考试时间100分钟.

2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题用25铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.答题不得使用任何涂改工具.

一、选择题（每小题2分，共20分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1.下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，可以看作轴对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查轴对称图形的识别.根据能否找到一条直线使图形折叠后能够完全重合，进行判断即

可，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键.

【详解】解:A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

°、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项正确.

故选：D.

2.如图，AABC^ADCB,若4c=7,3E=5,则DE的长为（）

A.2B,3c,4D,5

【答案】A

【解析】

【分析】根据全等三角形的对应边相等推知然后根据线段的和差即可得到结论.

【详解】解：；A/5CQDCB,

BD=AC=1,

-BE=5,

DE=BD-BE=2,

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键.

3.下列计算正确的是()

=cr'+f—'D.(y'=T'『

【答案】D

【解析】

【分析】根据同底数塞的乘法法则：同底数基相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项

的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把

所得的幕相乘；幕的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算判断，即可解题.

【详解】解：A,X3x3=xf,选项运算错误，不符合题意；

B、门」=',选项运算错误，不符合题意；

C、♦与f不是同类项，不可以合并，选项运算错误，不符合题意；

444

D.''1一、「，选项运算正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数嘉的乘法、积的乘方、幕的乘方，解题的关键是正确掌握各

计算法则.

4.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是()

A.(a+2)(a-2)=aJ-4B.丁’+丫一】=(1一】)(x+2)+1

Cax+bx+c=x(a+b)+cDa%-=ab(a-b)

【答案】D

【解析】

【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，直接利用因式分解的定义分析

得出答案.

【详解】解：A、一＞4,从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项

不符合题意；

B、r+i=-LT+从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；

c、+=不是因式分解，故此选项不符合题意；

D、。-6),从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意.

故选D.

【点睛】考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键.

5.如果X'+]E1+9是一个完全平方式，则m的值是(

A.3B.土3C.6D.=

【答案】B

【解析】

【分析】根据完全平方公式可进行求解.

,.(A±3)3=XJ±6.Y+9

【详解】解:

如果1+2-n.v+9是一个完全平方式，则机的值是±3；

故选B.

【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

6.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为6的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如

图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）.通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的

公式为（）

口=a'+2ab+b'

D.

ca，一从=（a-b）（a+b）D(a-6|(a+6)=a'

【答案】c

【解析】

【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.分别表示出图甲和

图乙中阴影部分的面积，二者相等，即可解题.

【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为『-川,

乙图形阴影部分的长为。+3宽为a-b,则其面积为

iia+tI

即，

故选：c.

7.如图，在△ABC中，8C的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.若△ABC的周长为22,BE=4,则

△A3。的周长为（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到。B=OC,8C=28E=8,根据三角形的周长公式计算即可.

【详解】•••£）£是8c的垂直平分线，

:・DB=DC,BC=2BE=8,

・・•△ABC的周长为22,

：.AB+BC+AC=22,

AAB+AC=14,

AABD的周长=AD+30+AB=AD+CZ）+A8=A3+AC=14,

故选A.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离

相等是解题的关键.

8.下列尺规作图，能确定是一独「的中线的是（）

【解析】

【分析】根据5种基本作图对各选项进行判断即可得到答案.

【详解】解：A.为BC边的中线，所以A选项符合题意；

B.点。为A8的垂直平分线与BC的交点，则D4=OB,所以B选项不符合题意；

C.为/8AC的平分线，所以C选项不符合题意；

D.为8C边的高，所以D选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了三角形的平分

线、中线和高.

9.在L43C中，AB-3,AC-5t延长E「至6使CD=BC,连接4D,则4D的长度的取值范围

是（）.

A.7<AD<13B,2<AD<14c2<AD<7D.5<AD<11

【答案】A

【解析】

【分析】画出图形，延长4C,使=连接DE,证明3ABe得到。B=48=3,

再利用三角形的三边关系求解即可.

【详解】解：如图，延长月0,使08=47,连接0E,

在和」且?「中，

AC=CE

-^ACB=乙ECD

BC=CD

•.•AABC^AEDC(SAS)，

.45-二£,

vAB-3,AC=5,

...,4£=L4C=10,DE-3,

.♦.10-3<ZZX10+3,即7V4ZK13,

故选：A.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形解决问题是

解答的关键.

10.设a,b是实数，定义一种新的运算：a㊉〃=B+bJ,则下列结论：①a㊉5=0,则1=0且

5-0；②a8b=baa；③a6(b+c)=a㊉b+a@c；④a@b=(-a)8(-b),正确的有()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据a母b=(a+b)’，分别表示出各项的意义，再比较是否相等.

【详解】解：..•a®*b=(a+b)’，

①若。㊉5=0,则(。+5『=0,则a,b互为相反数，故错误；

②aeb=g+61=b$a=(b+a)［故正确;

③a8(b+c)=(a+b+c|3_^a©b+a@c=|a+b|3+(a+<r)a故俨误

④a畲b=(a+b/，(-a)由(-6)=(-a-6)’=(a+6］，故正确.

故选B.

【点睛】本题考查了定义新运算，解题的关键是理解题中所给的运算法则，以及整式的混合运算.

二、填空题（第11—18题每题3分，共24分）

11.计算："一

【答案】1

【解析】

【分析】根据零指数累计算，即可求解.

【详解】解：（"一>=1

故答案为：1.

【点睛】本题考查了零指数塞的定义，掌握零指数累：=是解题的关键.

12.在平面直角坐标系中，点'关于无轴对称的点的坐标为.

［答案］（士一？）

【解析】

【分析】本题考查了坐标与轴对称，关于丫轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，据此即可

求解.

【详解】解：点（*）关于无轴对称的点的坐标为

故答案为：（3.-2）

13.已知等腰三角形的两边长分别为3和7,则这个等腰三角形的周长为.

【答案】17

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论

的思想方法.求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好

习惯，把不符合题意的舍去.题目给出等腰三角形有两条边长为3和7,而没有明确腰、底分别是多少，

所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，

由于一,+3<7,则三角形不存在；

（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.

所以这个三角形的周长为7+7+3=17.

故答案为：17.

14.如图，点8、A、。、E在同一直线上，EC=EF,BCEF,要使一ABC'二一DM,则只需添

加一个适当的条件是（只填一个即可）

DE

BA

F”

【答案】BA=ED(或NC=4或/即C=NRD尸)

【解析】

【分析】3C=E尸，根据平行线的性质得一8=/E,若比4=RD,根据条件利用二A二即可得证；若

一：「=一尸，根据条件利用A./A即可得证；若添加一3.4'=」EDF，根据条件利用A&S即可得证.

【详解】解：vBC//RF,

•：BC=EF,

若添加比4=RD,

在一由S'C和_DEF中，

'BC=EF

<Z5=Z5

BA=ED

....A?「一二底和5与；，；

若添加一C="，

在」?Lff(7和尸中,

Z.C-Z.F

，BC=EF

ZJ=Z£，

...△2CIS△询(ASA).

若添加£BAC-Z£DF,

在二Hi1(7和OEF中，

2sAe=&DF

1Zfi=ZR

BC=EF

...一450，二DEF、心、.

故答案为：BA=ED(或NC=N斤或NMC=NRD尸).

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.

15.如图，在二＜3。中，AB-4,AC=6,N/BC和的平分线交于。点，过点。作8C的平

行线交朋于M点，交4c于N点，贝UA/AW的周长为.

【解析】

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质将

周长转换为43+是解本题的关键.利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到

MB-MO,NC=NO,将三角形周长转化为AB+乩'，求出即可.

【详解】解：为/或C的平分线，CO为的平分线，

UBC-CBO,=JC。，

vMN.BC,

^MCB=^O3C,ZNCC=^BCO,

LABO=4CR,ANOC=ZACO,

MB=MO,NC=NO,

MN=MO+NO=MB+NC,

AB=4,AC=6,

周长为■+A4V+XAT=W+A4B+M+M7=^5+4C=10,

故答案为：io

16.如图，在二4BC中，ZJ=ZC,BF=CD,BD=CE,4DE=65°,则/4的度数是

【答案】50：##50度

【解析】

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握

相关知识.根据题意证明丁田P,结合三角形内角和，三角形外角性质得到

=最后利用三角形内角和求解，即可解题.

【详解】解：•・•在△.。中,-8--C,BF=CD,BD=CS,

4DBF@aECD《SAS\

..ABDF=^CED,

一CW+NC=ABDE=ABDF+ZFDE,

..NC="DE,

•：£FDB=65°,

Z3=ZC=65°,

Z^=180°-Za-ZC=508.

17.已知a-21'=10,nb=5,则T+45’的值是.

【答案】120

【解析】

【分析】利用完全平方公式的变形'+4%'=s-"进行求解即可.

【详解】解:•.•"-%=10,a$=5,

...(。-邮=1。。,4就=20,

33

•.•a+4b=(a-2d)Ma&=100+20=120，

故答案为：120.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确得到『二从’+4ab是解题的关

键.

18.在平面直角坐标系中，点'(二°),8(03),。(°二)，点。在第二象限，且一月。3”一。8.

(1)点。的坐标为；

(2)点P在坐标轴上，且J以。是等腰三角形，则P点的个数为.

【答案】①U-3Z)②.6个

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，坐标与图形，以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全

等三角形的性质.

(1)根据全等三角形的性质，即可得到点D的坐标；

(2)根据等腰三角形的判定与性质，分情况①4c=4P,②/C=CP,③i4P=CP,讨论求解，即

可解题；

【详解】解：(1)根据题意作图如下：

点。的坐标为(-3,2)；

故答案为：(-3,2).

(2)根据一24°是等腰三角形，点尸在坐标轴上，

①"=心，

以A为圆心，长为半径，画弧与坐标轴有2个交点,

②工C=CP,

以「为圆心，.4C长为半径，画弧与坐标轴有3个交点,

③AP=CP,

作4(7的中垂线，与坐标轴有1个交点，

综上所述，则P点的个数为6个，

故答案为：6个.

三、解答题（第19、20题各9分，第21、23、24、25题各6分，第22、26题各7分，共

56分）

19.计算

（2）+

（3）11-111+I—l-111+51

【答案】（1）36.?

（2）二'，"'+7m-15

（3）--6'/—+6

【解析】

【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式运算法则计算，即可解题;

（2）根据多项式乘多项式运算法则计算，即可解题；

（3）利用平方差公式，以及整式的混合运算法则计算求解，即可解题.

【小问1详解】

解：

=4x39xJ

=36、'；

【小问2详解】

解Q»T）（.+5）

=2m3+10w-3w-15

=»'+7m-15；

【小问3详解】

（1-5力）（1+5力）一（〃-1）（刀+5]

解:

=l-25n3-（«3+4n-5|

=1-25/---4〃+5

=一二6，「一二”+1?

【点睛】本题考查整式的混合运算，积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式，平方差公式.正确按

“先乘方，再乘法，最后算加减”的顺序及相关法则计算是解题的关键.

20.因式分解

（1）":5"

（2）+3

（3）9^"（T-.VI+（.V-VI

【答案】⑴"5-5）

⑵3（”记

⑶（v-yII3/w-n113rn+nI

【解析】

【分析】本题主要考查了因式分解，熟悉运算规则以及乘法公式是解题的关键.

（1）运用提公因式法因式分解即可；

（2）首先提公因数，然后运用完全平方公式进行因式分解即可；

（3）首先提公因式，然后运用平方差公式进行因式分解即可.

【小问1详解】

n-5n=»（n—5）

【小问2详解】

3m3-6w+3

=3(6'-2m+1)

=3(m-l)3

【小问3详解】

9m3(i-.v|+nJ(.r-vi

=(x-y)(9mJ-wJj

=(x-yl(3w-»)(3w+ni

21.先化简,再求值:（”+y）+（x+2y-+?其中i=y=2.

【答案】3秒一y,2

【解析】

【分析】本题考查了整式的混合运算的化简求值，完全平方公式，单项式除单项式，熟练掌握整式的混合

运算是解题的关键.先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后将X与y的值代入化简后的式

子中计算，即可解题.

【详解】解：

=x'+W+y+x'f+%一夕一4

=3v：,

当1=1,y-时，

原式=3,1•二一二=5-4=二.

22.根据题意，完成作图及推理：

已知：在一必0中，NC=90°,NSAC的平分线交于点0,CD=1,43=4.

（1）作出一84C的平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；

（2）求一A50的面积.

解：（2）过。作DE/45于点E（不要求尺规作图）

90。，

DC±于点c,

•.•4D平分，847,

.=CD（）,

•;CD=1,

.DE=,

-AB=4,

：.S：JOD=.

【答案】（1）见解析（2）4（7,DE,角平分线的性质，1,J

【解析】

【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，解题的关键在于掌握角平分线的尺规作图步骤作

图.

（1）根据尺规作图作角平分线的步骤作图即可；

（2）结合题干步骤，利用角平分线的性质作得到即可求出面积.

【小问1详解】

解：所作的平分线4D如图所示：.

D

B

【小问2详解】

•••ZC=9D°,

,0C4C于点c,

:HD平分一£4。，

□E=CD（角平分线的性质）,

vCD=l,

.DE=\,

AB=

.S”=W。吟4*1=2

故答案为：AC,DE,角平分线的性质，1,2.

23.已知：如图，CB=DE,&=£E,£BAE-Z.CAD.求证：AC-AD,

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查全等三角形性质和判定，根据题意证明一亡一4即，利用全等三角形性质即可证明

AC=AD.

【详解】证明：：血&=NC4D,

二BAE-』CAE=』CAD-/CAX,

在一与一,4五口中，

^BAC-^EAD

&=空

{CB=DE

^ABC^t^AED\AAS)

:.AC=AD.

24.如图，乙3。中，NA4c*=90°,AD1BC,郎平分/期C交4D于点E,交4。于点P,求

证：一W是等腰三角形.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据角平分线的定义得出一2E=-FBC,根据直角三角形两锐角互余得出

4E4+乙4期=90°,4M+/咫0=90°,根据余角性质得出=根据对顶角相等

得出二的。=」八即，求出一鱼声=乙行方，根据等角对等边得出儿？■”，即可证明结论.

【详解】证明：：/平分

LABE^LFBC,

•.•血(?=90。，

_6£4+乙458=90。，

■：AD1BC,

..ZAD5=90°,

JED+」^C=90°,

&FA=&ED,

,:£BEErAAEF,

.•一月罚=J油，

AR=AF,

一郎是等腰三角形.

【点睛】此题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义，余角性质，等腰三角形的判定.难度适中，注

意掌握数形结合思想的应用.

25.阅读下面的材料：

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解.如尤2—4/—

2x+4y,细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别分

解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式.具体过程如下：

X2—4y2—2x+4y

=(x2—4y2)—(2x~4y)

=(x+2y)(x—2y)—2(%—2y)

—(x一2y)(x-\-2y—2).

像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法.

利用分组分解法解决下面的问题：

(1)分解因式：X2-2xy+y2-4：

(2)已知△ABC的三边长b、c满足一次?一碇+尻=0,判断△ABC的形状并说明理由.

【答案】(l)('-F+?)(x-F-?)；(2)等腰三角形，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可.

(2)前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2-ab-

ac+bc分解因式，进而判断出AABC的形状即可.

【详解】解：⑴原式="一》-?、3/?)^-J'-2),

故答案为.

⑵：一ab-ac+be-口

...。一一0|n-b।二口，

...(a-b)(a-c)=O,

...(.一与=0或(”「=0,

...a=6或a=c,

.,.△ABC为等腰三角形.

故答案为等腰三角形.

【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条

件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.

26.已知：如图，在--找工'中，一二4£=90°,点。为上的一点，，也=从5,点E为6月延长线上

一点且=连接ED并延长交于点乩连结".

(1)求证：/-FCA=Z.AEF.

（2）作A点关于3c的对称点加，分别连接儿F".

①依题意补全图形；

②用等式表示EECF-'之间的数量关系并证明.

【答案】（1）见解析（2）①见解析；②庭=CF+，4Af,理由见解析

【解析】

【分析】（1）证明一C空一£9（3”「，即可证明NPC4=N®；

（2）①依题意补全图形即可；

②证明AF防，在E尸上截取点N,使NB=CF,证明一空得出口⑷/和

-AKW是腰长相等的两个等腰直角三角形，推出=据此即可求解.

【小问1详解】

证明：•.•NC45=90°,

ACAB=£EAD=90°,

'：AD=AB,AE=AC,

：.ZBCA=NAED,即404=乙4即；

【小问2详解】

解：①依题意补全图形即可；

②EF=CF+/LW,理由如下：

•：^CA-LAED,又一一工2•4DA,

"CED=ZADR=9Q。,即跖J8C,

:点A、点M关于3C对称，

.•.wise,/AFB=ZA/FB,AF=MF,

儿/EF,

在EF上截取点N,使NE=CF,

.-CAF<A.?i

••，

：.AF^AN,ZAFC^^ANE,/CAF=^EAN,

:.ZAFN=^NF=jiFB,dAN="AE=90。，AF=AN=FM,

^AFN=_4NF=UFB=^MFB,

.•.」£=>!=_B尸E=90°,

二心N和.儿3是腰长相等的两个等腰直角三角形，

：.W=FN,

:邱=EN+FN=CF+AM,

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题

的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

四、附加题（共10分）

27.在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成三上是整数）的形式，则称这个数

为“智慧数”.例如：5是“智慧数”，因为5=P+1［再如：M='+2xj'+A'=（*+】‘『+『

（T.、是整数），所以M也是“智慧数”

（1）请你再写一个小于10的（5除外）“智慧数”,并判断）9是否为“智慧数”

（填“是”或者“否”）；

（2）已知S=?+4j,+4x-12j，+t（x,y是整数），左是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条

件的一个人值.

【答案】（1）8；是

（2）1S

【解析】

【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键.

（1）利用“智慧数”的定义可得；

（2）利用配方法，将S配成智慧数，可求女”直.

【小问1详解】

8是“智慧数”.

小于10的（5除外）“智慧数”为S；（答案不唯一），

V29=23+53

；29是“智慧数”.

【小问2详解】

S=F+4j：+4x-12j，+*r

=（x+2]-4+（》一3广-9+k

=（x+2）3+（2.v-3）'+无一13

是“智慧数”，

t=13.

.当*=1?时，s为“智慧数”.

28.对于平面直角坐标系内的任意两点尸（X1，%）,<?（*2»2）,定义它们之间的“直角距离”为

山只。1=卜「士|+卜1-4|.对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N,给出如下定义：尸为图形

M上任意一点，。为图形N上任意一点，如果P,。两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值

为图形M、N间的“直角距离”，记作*MM.

⑴已知川L0）、加0:），则小从加=,D（O,AB^；

⑵已知4L"即°」），若。）=1,则/的取值范围是；

（3）已知山[0）,若坐标平面内的点尸满足d