7 4　直线 平面垂直的判定与性质-2026版53高考数学总复习A版精炼

7.4直线、平面垂直的判定与性质五年高考考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2023全国甲理,11,5分,中)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC面积为()A.22答案C2.(2023全国乙文,16,5分,中)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=.

答案23.(2021新高考Ⅰ,20,12分,中)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.解析(1)证明:在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD,又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,∴AO⊥CD.(2)解法一:在△ABD中,过E作EN∥AO交BD于N,则由AO⊥平面BCD得EN⊥平面BCD,∴EN⊥BC,∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.在△BCD中,过N作NM∥CD交BC于M,则NM⊥BC.连接EM,∵BC⊥EN,BC⊥NM,EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN,∴EM⊥BC,∴∠EMN为二面角E-BC-D的平面角,又知二面角E-BC-D的大小为45°,∴∠EMN=45°,∴△EMN为等腰直角三角形,又由DE=2EA得DN=2NO,∴MN=23CD=23∴AO=OD=1,∴VA-BCD=13故三棱锥A-BCD的体积为36解法二:由OC=OD=OB得BC⊥CD,由(1)知AO⊥平面BCD,以C为原点,CD,CB,OA的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则C(0,0,0),B(0,3,0),设AO=a.则E23,33,23a,∴CB=(0,3,0),CE=23,3则n·CB=0,n·CE=0,即3y=0,∴n=(a,0,-1),易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),由题可知|cos<m,n>|=m·n|m|·|n|∴a=1,即AO=1.∴VA-BCD=13故三棱锥A-BCD的体积为364.(2020新高考Ⅰ,20,12分,中)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.解析(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.因为PD∩DC=D,PD,DC⊂平面PDC,所以AD⊥平面PDC.因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.又AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.因此l⊥平面PDC.(5分)(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).设平面QCD的法向量是n=(x,y,z),则n·可取n=(-1,0,a).所以cos<n,PB>设PB与平面QCD所成角为θ,则sinθ=33×331+2aa2因为331+2aa2+1≤63,当且仅当a=1时等号成立,所以

三年模拟基础强化练1.(2025届广东深圳红山中学月考,5)设l为直线,α为平面,则l⊥α的必要不充分条件是()A.直线l与平面α内的无数条直线垂直B.直线l与平面α内任意直线都垂直C.直线l与平面α内两条不平行直线垂直D.直线l与平面α都垂直于同一平面答案A2.(2024江苏南通二模,2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列关系正确的是()A.AD⊥B1CB.A1D⊥BDC.AC1⊥A1CD.AC1⊥CD1答案D3.(2024浙江温州二模,3)在正三棱台ABC-A1B1C1中,下列结论正确的是()A.VABC−A1B1C1=3C.A1B⊥B1CD.AA1⊥BC答案D4.(2025届河北邯郸部分学校月考(二),7)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,AB=1,AA1=3,点M在线段BC上,且AM⊥MD,则当三棱锥A1-AMD的体积最小时,线段BC的长度为()A.32答案C

能力拔高练1.(多选)(2024河北石家庄一模,10)如图,在圆柱O1O中,轴截面ABCD为正方形,点F是AB上一点,M为BD与轴O1O的交点,E为MB的中点,N为A在DF上的射影,且EF∥平面AMN,则下列选项正确的有()A.CF∥平面AMNB.AN⊥平面DBFC.DB⊥平面AMND.F是AB的中点答案BCD2.(2025届福建省浦城第一中学期中,14)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E、F分别是AB1、BC1的中点,则EF与C1D所成的角为;平面B1EF与平面BDD1B1的关系是(填垂直或不垂直).

答案60°;垂直3.(2024湖南岳阳二模,15)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PB⊥平面DEF;(2)求二面角B-DE-F的正弦值.解析(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD,所以PD⊥BC,因为四边形ABCD是矩形,所以CD⊥BC,又因为PD、CD⊂平面PCD,PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,又DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE,又因为PD=DC=2,E是PC的中点,所以DE⊥PC,又PC,BC是平面PBC内的两条相交直线,所以DE⊥平面PBC,又PB⊂平面PBC,所以DE⊥PB,又EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.(2)以D为原点,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1),P(0,0,2),则DE=(0,1,1),DB=(1,2,0),由(1)知PB⊥平面DEF,所以PB=(1,2,-2)为平面DEF的一个法向量,设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则由n·DE=0,n·DB=0得y+z=0,则cos<n,PB>设二面角B-DE-F的平面角的大小为θ,则sinθ=1−cos所以二面角B-DE-F的正弦值为53(2024福建厦门二模,15)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1是边长为2的菱形,∠ABB1=π3,AC=22,M为A1B1中点,CM=11(1)证明:平面ABC⊥平面ABB1A1;(2)若BC=2,求平面ABC与平面ABC1夹角的余弦值.解析(1)证明:连接AM,AB1,在菱形ABB1A1中,A1A=A1B1=2,∠AA1B1=∠ABB1=π3,故△AA1B1为正三角形又M为A1B1的中点,故AM⊥A1B1,且AM=3,又AB∥A1B1,故AM⊥AB,由CM=11,AC=22,AM=3得AM2+AC2=CM2,故AM⊥AC,而AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,故AM⊥平面ABC,又AM⊂平面ABB1A1,故平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由BC=AB=2,AC=22得BC2+BA2=AC2,故CB⊥AB,又平面ABC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面ABB1A1=AB,CB⊂平面ABC,故CB⊥平面ABB1A1,取BB1的中点O,由△ABB1为正三角形,得AO⊥BB1,作OH∥BC,交CC1于H,故OH⊥平面ABB1A1,又BB1,OA⊂平面ABB1A1,故OH⊥OA,OH⊥OB1,则OA,OB1,OH两两垂直,以O为坐标原点,分别以OA,OB1,OH所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,-1,0),C(0,-1,2),C1(0,1,2),M32,32,0,则BA=(3,1,0),BC1=因为AM⊥平面ABC,所以AM=−32设平面ABC1的法向量为n=(x,y,z),则n·即3x+y=0,2y+2z=0,令y=−故cos<n,AM>而平面ABC与平面ABC1夹角的范围为0,π故平面ABC与平面ABC1夹角的余弦值为27创新风向练1.(创新知识交汇)(多选)(2024贵州贵阳适应性测试(一),11)在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AB=3,平面ABC内动点D的轨迹是集合M={D||DA|=2|DB|}.已知C,Di∈M且Di在棱AB所在直线上,i=1,2,则()A.动点D的轨迹是圆B.平面PCD1⊥平面PCD2C.三棱锥P-ABC体积的最大值为3D.三棱锥P-D1D2C外接球的半径不是定值答案ABC2.(创新考法)(2025届湖南师大附中月考,16)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AD=2AB=2BC=2.点P在底面的射影点Q在线段AC上.(1)在图中过A作平面PCD的垂线段,H为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若PA=PD=2.求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值.解析(1)连接PQ,则PQ⊥平面ABCD,因为CD⊂平面ABCD,所以PQ⊥CD.在等腰梯形ABCD中,过C作CE⊥AD于E,则DE=12,所以cos∠ADC=12,所以∠ADC=由余弦定理求得AC=3,故AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD.又因为PQ∩AC=Q,PQ,AC⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC.又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC.过A作AH垂直PC于点H,则由面面垂直的性质定理得AH⊥平面PCD.(2)连接DQ,依题意,AQ=PA2−PQ2=DQ,故Q为AC,BD所以AQ=23AC=23在平面PAC内,过C作直线PQ的平行线l,则l,AC