高中数学必修2第2课时直观图与中心投影、平行投影

第2课时直观图与中心投影、平行投影

h预习导学二挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.

2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.

3.了解中心投影和平行投影.

［知识链接］

1.一般地，在一个几何体的三视图中，左视图与正视图高一样；俯视图与正视

图是一样；左视图与俯视图宽一样.

2.梯形的面积S=g色土她（其中〃，〃为两底长，〃为高）.

［预习导引］

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

⑴画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点。.画直观图时，

把它们分别画成对应的V轴与），'轴，其交点为。'，且使/£。，'=成。（或135。）,

它们确定的平面表示水平面.

⑵画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于工

轴或V釉的线段.

（3）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变,平行

于〉轴的线段，长度为原来的二笠.

2.立体图形直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面voy垂直的轴O/,且平

行于ON的线段长度保挣原长度不变,其他同平面图形的画法.

3.投影

⑴投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象

叫作投影.其中，我们把光线叫作投影线,把留下物体影子的屏幕叫作投影面.

（2）投影的分类

①中心投影：光由Bl四处散射形成的投影.

②平行投影：在一束血侬照射下形成的投影.

当投影线正对着投影而时,叫做正投影，否则叫做斜投影.

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要点一画水平放置的平面图形的直观图

例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

解画法：（1）如图所示，取A3所在直线为x轴，A3中点。为原点，建立直角

坐标系，画对应的坐标系voy,使N『oy=45。.

y

DEC

⑵以。，为中点在V轴上取4夕=43,在y轴上取OE=：OE,以E为中点画

轴，并使CO=CD.

（3）连结9C,DW,所得的四边形就是水平放置的等腰梯形ABCO的直

观图.

规律方法1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.

2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般

要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标

轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.

跟踪演练1用斜二测画法画如

A

图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.

解（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线40所在的

直线为y轴.

（2）画对应的V轴、y轴,使NVOy=45。.

在V轴上截取07r=。'。=。8=。。=2cm,在），‘轴上取。⑷=goA,连结47T,

4C,则三角形A7TC即为正三角形A8C的直观图，如图②所示.

要点二由直观图还原平面图形

例2如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为。的正方形，则

原平面图形的面积为（）

A.坐层B.2y[2a2

C.a2D.2a2

答案B

解析

由直观图还原出原图，如图，所以S=〃・2吸。=2吸序.

规律方法由直观图还原平面图形关键有两点：

（I）平行v轴的线段长度不变，平行y轴线段扩大为原来的2倍；

（2）对于相邻两边不与广，）/轴平行的顶点可通过作V轴、），'轴的平行线变换确定

其在xQy中的位置.

跟踪演练2一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形0/5C的面

积为明，则原梯形的面积为（）

如图②所示.

规律方法1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图

形，再画Z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.

2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系

不变.”

跟踪演练3画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.

解画法：（1）画轴.

画Ox轴、0》轴、Oz地，/宜万=45。（或135。），NxOz=90。，如图（1）.

（2）画底面.

以。为中心在X。），平面内，画出正方形水平放置的直观图A8CD

（3）画顶点：在Oz轴上截取0P,使0尸的长度是原四棱锥的高.

⑷成图：顺次连结以，PB,PC,PD,并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图

（2）.

要点四中心投影与平行投影

例4下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一

点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直

线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线,其中正确的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直

线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平

行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交

于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，③不

正确.

规律方法判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投

影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.

跟踪演练4下列命题中，正确的是（）

A.矩形的平行投影一定是矩形

B.梯形的平行投影一定是梯形

C.两条相交直线的投影可能平行

D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条

线段投影的中点

答案D

解析平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形

状，因而A,B不正确.两条相交直线的投影不可能平行，即C错.两条线段平

行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确.故选D.

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1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是

（）

A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直

C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点

答案B

解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.

2.关于用斜二测画法得到的直观图，下列说法正确的是（）

A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形

B.正方形的直观图为平行四边形

C.梯形的直观图可能不是梯形

D.正三角形的直观图一定为等腰三角形

答案B

3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形4867）为（）

A.平行四边形B.梯形

C.菱形D.矩形

答案D

解析因为NOA9=45。，由斜二测画法规则知ND4B=90。，又因四边形

A夕C77为平行四边形，所以原四边形ABCQ为矩形.

4.一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是.

①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体.

答案②⑤

解析线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长

方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点.

5.如图所示的直观图△A'OTT,其平面图形的面积为.

答案6

解析由直观图可知其对应的平面图形aAOB中，NAO3=9()。，OB=3,0A=

4,SAAOB=^OAOB=6.

课堂小结

1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找

它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定

其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.

2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等

于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

3.理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所照成

的影子，研究两者的不同之处.另应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直

线或线段不平行于投焉线的情况.

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一、基础达标

1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若NA的两边分别平行于x轴、)，轴，

且NA=90。，则在直观图中NA=()

A.45°B.135°

C.45。或135°D.90°

答案C

解析在画直观图时，NA的两边依然分别平行于V轴、V轴，而//0y=45。

或135°,故选C.

2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，49〃了轴，则原图中△ABC是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.任意三角形

答案B

解析・・・A7T〃y,所以由斜二测画法可知在原图形中BAA.AC,故△ABC是直

角三角形.

3.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个

边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是（）

答案A

解析直观图中正方形的对角线为镜，故在平面图形中平行四边形的高为2班,

只有A项满足条件，故A正确.

4.如图所示，△A7TC是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中

线中，最长的线段是（）

A'/y

{oy//

/wD'C'""；

A.ABB.AD

C.BCD.AC

答案D

解析还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.

5.四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）

效果如图，则在字母乙K,。的投影中，与字母N属同一种投影的有（）

队，k电

A.L,KB.C

C.KD.L,K,C

答案A

解析N和L,K属中心投影，。属平行投影.

6.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知HC=3,夕C=2,则AB

边上的中线的实际长度为.

答案|

解析将直观图△从夕。复原，其平面图形为Rtz\ABC,且AC=3,BC=4,故

斜边AB=5,所以AB边上的中线长为|.

7.画出水平放置的四边形（如图所示）的直观图.

解⑴过点C作。E_Lx轴，垂足为E,如图（1）所示，画出对应的犬轴、V轴,

使Nx'O3，'=45。，如图⑵所示.

(2)如图(2)所示，在尸轴上取点夕，E,使得。，9=。8,OE=OE；在_/轴上取

一点使得07/=；。。；过E作£C〃y轴，使EC=/C

(3)连结EC,CD，,并擦去V轴与y轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形

07TC。就是所求的直观图.

二、能力提升

8.如图所示，/VTO0表示水平放置的△AOB的直观图，夕在尸轴上，40,和f

轴垂直，且40=2,则△AOB的边03上的高为()

A.2B.4

C.2^2D.4^2

答案D

解析由直观图与原图形中边OB长度不变，得S,原图形=2y5S丸观国，得/。6力=

2啦X：X2.0E,

・・・。8=0'夕，・・・〃=4姬.

9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形A6CO,如图所示，ZABC

=45。，A8=AO=1,DCLBC,则原平面图形的面积为.

答案2+乎

解析过A作AE_LBC,垂足为E,

又•・・QC_LBC且AD〃BC,・•・四边形4DCE是矩形,：.EC=AD=}9由NA3C=

45。，AB=AD=\知5石=鲜，，原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1

和1+乎，高为2,・••原平面图形的面积为£x（l+l+阴X2=2+乎.

10.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则此正方

形的面积是.

答案16或64

解析在直观图中边长为4的边若与V轴平行，则原图中正方形的边长为4,此

时面积为16；若与V轴平行，则正方形的边长为8,此时面积为64.

11.用斜二测画法画棱长为2cm的正方体的直观图.

解画法；（1）画轴.如图①，画x轴、y轴、z缅，三轴相交于点使NxOy

=45。，ZxOz=90°.

（2）画底面.以点。为中点，在x轴上取线段使MN=2cm；在y轴上取线

段P0,使尸。=1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点。和。作x轴的

平行线，设它们的交点分别为A,B,C,£>,四边形AB