高等数学（工科类专业适用）教案 2.2.1函数单调性的判断_第1页
高等数学（工科类专业适用）教案 2.2.1函数单调性的判断_第2页
高等数学（工科类专业适用）教案 2.2.1函数单调性的判断_第3页
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2.2.1函数单调性的判断教学目标：（1）结合图像，分析导数的符号与函数的单调性的关系；（2）理解驻点，不可导点的概念，掌握利用导数判断函数的单调性的方法，会求函数的单调区间。教学重点： 函数单调性的判别与函数的单调区间的求法。 教学难点： 导数符号与函数的单调性的关系。授课时数：2课时.教学过程过程备注观察 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导．观察函数图像（图2－6）可以看出，曲线上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦．由于恰好是弦的斜率，而为曲线在点处的切线的斜率．故．图2－6结合动画演示讲授8′新知识由此得到微分中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在内至少存在一点，使成立．即．设函数在上连续,开区间内可导，、，且，由中值定理有，其中．如果对任意，都有（或），则必有（或），从而有（或），那么可以判断函数在区间内为增函数（或减函数）．由此得到判断函数单调性的方法：设函数在上连续，在内可导.（1）如果在内恒有，那么函数在上单调增加；（2）如果在内恒有，那么函数在上单调减少.说明：（1）如果将闭区间换成其他各种区间（包括无限区间）上述结论仍然成立．（2）如果在区间I内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负），那么，在区间I内的仍旧是增（或减）函数．教师讲授20′知识巩固例1判断函数在区间（1，3）内的单调性．解．因为在区间（1，3）内，．故函数在区间（1，3）内为增函数．例2判断函数在区间上的单调性.解，在区间内，当时，，对有．故和都是函数的增区间．此时函数在上是增函数. 例3求函数的单调区间解函数的定义域为（-∞，+∞）．，令，得．以为分点，将定义域分成区间（-∞，1）和（1，+∞）．当时，；当时，．因此函数的减区间为（-∞，1），增区间为（1，+∞）．教师讲授在教师引领下完成教师讲授40′新知识使的点叫做函数的驻点．如果驻点的两侧的导数异号，那么称为增减区间的分界点，如例3中的；如果驻点的两侧的导数同号，那么不是分界点，如例2中的．说明：除了驻点有可能是分界点外，导数不存在的点也可能是分界点.因此，确定函数单调区间的一般步骤是：（1）确定定义域并求；（2）找出可能的分界点，分界点将定义域分为若干个部分区间；（3）依次判断函数在这些部分区间的单调性.教师讲授50′知识巩固例4求函数的单调区间 解函数的定义域为，且．令，得．它们把定义域划分成三个区间:． 当时，，故区间为增区间；当时，，故区间为减区间；当时，，故区间为增区间．教师讲授65′练习2求下列函数的单调区间（1）；（2）；（3）.学生课上完成85′小结新知识：利用导数

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