陕西省汉中市十校联考2024-2025学年高一年级下册期末数学试卷

陕西省汉中市十校联考2024-2025学年高一下学期期末数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数Z=上,则Z的虚部为（）

1.1.

A。—2B—ic.D.——i

2-22

4JT

2.已知角a的终边过点,则tana=()

2’2

A.显

BC.D.Y

3一行

3.某校举办“迎七一”红歌比赛，五位评委给某参赛班级的评分分别为87,87,89,m,90,

若这组数据的平均数为88,则这组数据的中位数为（）

A.88B.87C.89D.90

丫+2

4.设XER,贝2WXK—1”是“——W0”的（）

x+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.下列命题正确的是（）

A.三个点可以确定一个平面

B.用斜二测画法画等边三角形的直观图为等腰三角形

C.一个棱柱至少有五个面

D.如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行

6.已知集合4={引y=log3X,尤>1},3=,yly=,x>l>,则等于（）

C.L1<y<l

D.0

7.已知。涉是两条不重合的直线，d夕是两个不重合的平面，则下列错误的是（）

A.若e_L£,an6=a,6~L。，则匕_LaB.若aA.0,aA./3,a/.a,则a〃a

C.若a_Lc,<7J■6，则a//£D.若aue,a_L耳，则

8.已知sinc=-|,c为第四象限角，则tan[a+：]=()

A.—7B.7C.—D.

77

二、多选题

9.关于平面向量％,反工，下列说法正确的是（）

A.若2//%//",则之/不

B.若向量及c不共线，对于平面内任一向量2，都存在唯一实数4〃使。=+

C.若Z石不相等，则一定不共线

D.若|2+引=|1引,则％_1_3

10.已知函数/（x）=sin2x-cos[2x-£],下列说法正确的是（）

A./（x）的最小正周期为兀

5兀

B./（尤）的一条对称轴为九二?

6

71JT

c./（X）在-五上单调递增

D.将丫=$皿2》的图象上各点的横坐标向右平移7T;个单位（纵坐标不变）可得/（x）的

6

图象

11.在棱长为2的正方体ABCD-A耳G2中，E为AB的中点，M为C。的中点，F为棱BC

上一动点，下列说法正确的是（）

A.平面AEF_L平面A8C

B.直线BQ与平面ABC,的交点H是的重心

试卷第2页，共4页

C.直线AM与直线3G的夹角余弦值为典

5

4

D.三棱锥B-ADE的体积为§

三、填空题

12.已知Ig2=a,lg5=b,则°+。=.

13.函数y=tan12x-力的定义域为.

14.已知四面体A8C。的各个面均为全等的等腰三角形，且C4=CB=2AB=4,则该四面

体外接球的体积为.

四、解答题

15.已知复数z=2-i,Z1=i2+(l+i)2；

⑴求2,㈤；

⑵若彳，4在复平面内的点分别是对应向量工B的坐标，且(筋+2初，(2£-折，求％的值.

16.在VABC中，角A,3,C的对边分别为a,b,c,且J§acosB=》sin=2.

⑴求角B；

(2)若VABC的面积为G，求VABC的周长.

17.已知函数/0)=$m(2苫一|^"€1<.

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

IT7T

⑵若方程/⑴-左=0在区间-五,1上有解，求实数上的取值范围.

TT

18.如图(1),在直角梯形A3CD中，AD〃2C,/A3C=5,46=3。=24。=4,乱尸分别

是AB,CD的中点，沿跖将梯形ABCD翻折，使AB=2,如图(2)

(1)⑵

⑴证明：即〃平面ABCD；

(2)证明：平面EFCB_L平面ABE；

⑶求C。与平面EFCB所成角的余弦值.

19.布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利・布洛卡于19世纪提出，它通

过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典

几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设P是VABC内一点，若4W=N

PBC=APCA=e,则称点P为VABC的布洛卡点，角。为VABC的布洛卡角.如图，在VABC

中，记它的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,6,c°ABC的面积为S,点尸为VABC

的布洛卡点，其布洛卡角为。，请完成以下各题：

JT

⑴若ZABC=—,AC=2,AB=1,求tan。；

IT

(2)已知。二:，

6

①若S=6,求。2+/+，的值；

②若a=2,求S.

试卷第4页，共4页

《陕西省汉中市十校联考2024-2025学年高一下学期期末数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ADBBCAADBDACD

题号11

答案ABC

1.A

【分析】根据复数的四则运算化简得z=?，求出虚部判断选项.

11+i1+i11.i

z=

【详解】=T-=(1.i)(1+i)—虚部为于

故选：A

2.D

【分析】利用任意角三角函数的定义可求得tane的值.

【详解】由题意，

因为角0的终边过点-母］，

••tana=-――x2=-•

2

故选：D.

3.B

【分析】根据给定的平均数求出如再利用中位数的定义计算作答.

【详解】依题意,87+87+89+m+90=5x88,解得〃z=87,

参赛班级所得分从小到大依次为：87,87,87,89,90,

所以这组数据的中位数为87.

故选：B.

4.B

【分析】根据充分条件和必要条件的含义进行辨析即可.

【详解】因为一24无4—1,所以x+2N0,x+l<0,

Y-L0V-L0

当尤+1=0时，%无意义，所以“-2W-T时，“三《0”不一定成立;

x+1x+1

y-L0丫+?

当——V0时，一24%<—1,所以“——能推出“一24工«—1”.

x+1x+1

所以“-2Wx4-1”是“JY+2vo”的必要不充分条件.

x+1

答案第1页，共11页

故选：B.

5.C

【分析】当三个点位于同一直线时则不能确定一个平面可对A判断；等边三角形的直观图

不为等腰三角形可对B判断；根据棱柱的知识可对C判断；当两条直线异面时也没有公共

点即可对D判断.

【详解】A：当三个点位于同一直线时则不能确定一个平面，故A错误；

B：如图，等边AABC,设其边长为2,以A3边的中点为原点建立直角坐标系，在其直观图

中0C=且，

2

在AC'OA中由余弦定理可得

A'C'2=OC+OA-26^^（1°2=-+4x立xx—=-+^,

42242

同理可得AC"=OC"+08°-困STB'1,2=-+4-x走xx—=--^

42242

则A'C'2KB'C'2wA'8'2,故B错误；

c：因三棱柱有五个面，则可得所有的棱柱至少有五个面，故c正确；

D：当两条直线异面时，这两条直线没有公共点且不平行，故D错误.

故选：C.

6.A

【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，可求得集合A,8,根据集合的交集运算，即

可求得答案.

【详解】因为y=log3尤是（0，+8）上的单调递增函数，log3x>log3l=0,

J.

y=是R上的减函数，故时,

I3141

答案第2页，共11页

即5=1yly=I，工>1>={y[O<y<；}

故Ac5=y0<y<g

故选：A

7.A

【分析】根据线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的判定与性质对选项逐一判断.

【详解】对于选项A：

若a1/3,ac0=a,b1a,那么上戊可能垂直，可能相交，可能在平面。上，所以A错误;

对于选项B：

若尸夕且［不在平面。内，那么平面外的直线与该平面平行，即所以B正

确；

对于选项C：

若那么垂直于同一直线的两平面平行，即。//口，所以C正确；

对于选项D：

若那么经过垂线的平面与另一平面垂直，即所以D正确.

故选：A.

8.D

【分析】根据同角三角函数的关系与和差的正切公式求得结果即可.

【详解】因为sina=-'3。为第四象限角，所以cosa=g4.

ll…sina3

所以tana=-------=——

cos。4

71

tancr+tan—

所以tan(a+；卜4

Y兀

1-tancrtan—

4

故选：D.

9.BD

【分析】当石=G时，即可对A判断；由平面向量基本定理可对B判断；由平面向量的共线

知识即可对C判断；由|£+治=|£-可化简得到原5=0，即可对D判断.

【详解】A：当5="可满足，〃反5〃1,但不一定得到日//人故A错误;

答案第3页，共11页

B：由平面向量的基本定理，若向量瓦工不共线，对于平面内任一向量£,都存在唯一实数

使m5+必，故B正确.

c：当力=-石时，乙与B不相等，但商与B共线，故c错误;

D：由|2+年|£-5|,两边同时平方得舒+2江+后=泮一万5+5)，解得痴=0,即M_L5,

故D正确.

故选：BD.

10.ACD

【分析】先根据和差的余弦、正弦公式对函数化简，然后根据正弦函数的最小正周期、对称

轴、单调性、平移变换等对选项逐一判断.

【详解】因为函数

/(x)=sin2x—cosf2无一色]=sinlx—cos2xf^~-sin2x^~=—sin2x—^-cos2x=sin(2x-P],

6J2222

所以函数/(%)的最小正周期为T=T=无，所以A正确；

令2%—]=^+配'左£Z,解得x=1+与，左£Z,

SirS57r

所以x=?时，k=^Z,所以X=?不是函数的对称轴，所以B错误；

当一+2E<2x-j<^-+2E,ZEZ时，函数/(x)单调递增，

解得一卷+配4元+令k=0,所以-。工是函数的单调递增区间，C正确；

将了=$皿2》的图象上各点的横坐标向右平移与个单位，可得：

0

=sin12x-|^=/(尤)，所以D正确.

故选：ACD.

11.ABC

【分析】对于选项A,要证明面面垂直,则需通过证明线面垂直推导出面面垂直，即证明AEA.

平面AfC；对于选项B,先证明四面体。-ABG为正四面体，然后证明。瓦，平面ABC-

从而可得到结果；对于选项C,直线AM与直线8G的夹角是直线AM与直线A2的夹角

/MAQ,然后通过边角关系求得其余弦值；对于选项D,根据线段关系求得三棱锥的体积

答案第4页，共11页

即可.

【详解】对于选项A：

因为ABC。-A4CQ1为正方体，所以BCJ■平面凡8与4,

因为AEu平面ABB|A，所以3c.

因为AE=历，所以AE^AB.

又48门8。=民4尻8(7匚平面42(7,所以平面ABC.

因AEu平面AEF,所以平面AEF_L平面ABC,所以A正确；

对于选项B：

连接DA，DC],则DA=DC\=DB=AB=AG=BG,

则四面体。-ABG为正四面体，

因为AG-L〃耳,AG工B[B,QB]cB[B=B],D[B[,B[Bu平面BBXDXD,

所以AG1平面BBXDXD,因为DB,u平面BBRD,所以4G工。耳.

同理可得与，因为A£CA8=A，ACI，ABU平面A^G.

所以。4,平面垂足为H,又四面体D-ABG为正四面体，

所以H为AABG的中心，即H为AABG的重心，所以B正确；

对于选项C：

因为BC"/AR,所以直线AM与直线BC｛的夹角是直线AM与直线ADX的夹角ZMADt.

因为物=20,40=。阳=方，所以COS/，K4Z?=3肛_应_M,C正确；

'AM755

答案第5页，共11页

因为显.=-xABxAD=2,

17

所以三棱锥B-4龙的体积为丫=：x2xl=：,所以D错误.

故选：ABC.

12.1

【分析】利用对数的运算即可求解.

【详解】由Ig2=a,lg5=b,则a+6=lg2+lg5=lgl0=l.

故答案为：L

[I3兀E7」

13.《w---1----，左

82

【分析】根据正切函数的定义域结合整体思想即可得解.

【详解】由2%一工3四+航，nx^—+—,k^Z,

4282

14.9后

【分析】根据已知条件得出D4=CB=03=AC=4,OC=A3=2,再结合长方体的外接球半

径公式求解进而得出体积即可.

【详解】四面体ABC。的各个面均为全等的等腰三角形，且C4=CB=2AB=4,可知

DA=CB=DB=AC=4,DC=AB=2,

将四面体ABCD放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为％Xz,

则x1+y2=4,X2+z2=16,V+z2=16,解得x=y=①,z=V14,

由于z=m，四面体Age。的外接球半径为咤=逑,

答案第6页，共11页

4

四面体外接球的体积为］=1x手=9后联

故答案为：9A/2TT

15.(l)z=2+i,|z1|=V5

(2)1

【分析】（1）根据共辗复数定义得出N,计算Z=-l+2i计算模长即可;

（2）先应用向量坐标线性运算得出坐标，再根据向量垂直的坐标运算求参即可.

【详解】(1)-.-z=2-i,:.z=2+i

22

•.-Z1=i+(l+i),.-.Z1=-l+2i

^=J(-l)2+22=y/5

(2)由题设知:a=(2,l),S=(-l,2)

/.(ka+2b)-(-2+2%,4+%),(2〃-b)=(5,0)

(ka+2b)_L(2a-B),:.(ka+2b)-(2a-b)=0

.•.5(—2+2左)=0,左=1.

71

16.(l)y

(2)6

【分析】（1）根据正弦定理对等式进行化简，可求得角反

（2）根据三角形面积公式可求得收的值，然后根据余弦定理求出a+c,进而可求出三角形

的周长.

【详解】(1)由正弦定理得：gsinAcos8=sin8sinA,

,1•Ae(0,7t),sinA0,A/3COSB=sinB,

tanB=y/3

3

(2)由S=:acsinB=6,得ac=4.

答案第7页，共11页

由余弦定理k=<72+c2—2tzccosB,得4=〃2+/—々°.

即4=(a+—3ac,/.a+c=4,

:.^ABC的周长为a+Z?+c=6.

5兀i11兀i,jr-r\

17.(1)+kn,+ku(左wZ)；

⑵T，¥.

【分析】(1)应用整体法求正弦型函数的单调递减区间;

(2)根据正弦函数性质判断区间单调性，进而求值域范围，结合方程有解确定参数范围.

冗IT37r57r11jr

【详角军】(1)令一+2析《2犬——<--1-2kn{kGZ),则\-kn<x<+kn(keZ),

2321212

5冗11冗

.•./(X)的单调递减区间为—+kn,—+knGfceZ)；

⑵/、…「卜兀冒兀,

C兀兀兀

2xG,—.

3L23_

JT7T

・••/(X)在上单调递增，

方程7(xi=0在区间-三上有解，％的取值范围为-1,孝

18.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)叵

4

【分析】(1)利用线面平行即可求解；

(2)利用线面垂直可得斯_L平面ABE,即可证明；

(3)利用线面垂直证明。〃，平面后"方，即"CH为C。与平面3CFE所成角，即可求

解.

【详解】(1)由题可得历〃BC,EPa平面ABC。，BCu平面ABCD,

所以£F//平面ABCD.

答案第8页，共11页

jr

(2)由题知：ADUBC,ZABC=-,E,尸分别是48,CD的中点，

所以所//AD//3C,所以

又E4rlEB=E,EA,EBu平面ABE,

所以EF_L平面ABE,又EFu平面£FCB,

所以平面EFCB1平面ABE.

(3)取防中点尸，连接AP,

由题筋=74£=3£=2,所以AABE为等边三角形，所以且4尸=若，

又平面EFCBJ_平面ABE,平面EFCBC|平面ABE=BE,APu平面ABE,所以AP工平面

EFCB,

如图，过P作尸H//BC,且尸H=2,过H作垂足为M,连接"C,

所以故四边形尸为矩形，

所以MH=BP=1,BM=PH=2,MC=2,

又AD//BC,所以PH//AD,且PH=">,故四边形P〃D4为平行四边形,

所以3H//AP,DH=AP=6,

因为AP工平面EFCB,所以

所以DHLBE,DHLBC,BCcBE=B,

所以DHL平面EFCB,故即为C。与平面3CEE所成角，

则CH=ylHM2+CM2=Vl2+22=底CD=272

CHA/5V10

月f以cos/DCH=----=--f==-------.

CD2A/24

故CD与平面BCFE所成角的余弦值为叵.

4

19.(l)tan0=—

4

(2)①12；②⑺

答案第9页，共11页

27r7T

【分析】(1)由题，可得ZAPC=7，NAP3=5,在△"<?,△APB中，分别由正弦定理

可得A尸=sin。,AP=cos0,运算得解；

43,

(2)由S"BC=SAQB+SA.C+S<PB，^PAAB+PBBC+PCAC=4S,①在△APB,

△CPB,中由余弦定理可得l+^+cZnglHVAB+PB.BC+PCAC),运算得解；

,结合①可得

【详解】(1)在VA5C中，NA3C=m，AC=2,A3=l,所以cosA=；,A=g,

所以/PAC=四一e,/A3P=色一6»,/APC=」,/APB=四，

3232

APAC_4^/3Q

在△APC中，sing.2兀3，所以AP=-----sin。，

sin_3

AP